专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（19-20八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1 8．（21-22八年级上·湖南怀化·期末）不等式最大整数解是的解，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 9．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如果，，可得，当且仅当时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·福建莆田·期末）在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（    ） 2、 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解不大于1，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）满足方程：的正整数有序数对个数为 ． 14．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 15．（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 16．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    17．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是 ． 18．（22-23八年级上·广西贵港·期中）先阅读下面的材料，然后解答问题通过观察，发现方程 的解为；的解为； 的解为；…；的解为； 则关于x的方程的解是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 21．（本小题满分10分）（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： （1）解方程； （2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 （1）求的值； （2）茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（19-20八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 解：A、是分式方程，故此选项符合题意； B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； C、不是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点拨】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程、算术平方根的非负性、二次根式有意义的条件等知识点，掌握算术平方根的非负性成为解题的关键． 根据解分式方程、算术平方根的非负性逐项判断即可． 解：A．去分母得，又当时，分母无意义，故此时原方程无解，故A不合题意； B．方程左边是非负数+1，不可能为0，故此时方程无解，故B不合题意； C．，且，故，方程左边右边，故此时方程无解，不合题意． D．由题意可得：或，又，故，（不合题意，舍去），故此时方程有实数根． 故选：D． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得． 解： 方程两边同时乘得：， 解得：， 方程有增根， ， ， ， ． 故选： D． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，解分式方程，由迷得运算法则求出，代入分式方程，然后解分式方程即可求解． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴原方程变为， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故选A． 7．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，解分式方程．直接代入计算可判断选项A；解分式方程可判断选项B；利用求差法可判断选项C；利用分式的性质可判断选项D． 解：当时，，原说法错误，选项A不符合题意； 当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，选项B不符合题意； 当时，∵， ∴，原说法错误，选项C不符合题意； 当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，选项D符合题意； 故选：D． 8．（21-22八年级上·湖南怀化·期末）不等式最大整数解是的解，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据不等式2（1-2x）≤12-6x求得x的最大整数解，代入，即可求得a的值． 解：2（1-2x）≤12-6x， 2-4x≤12-6x， 6x-4x≤12-2， 2x≤10， x≤5， ∴不等式2（1-2x）≤12-6x最大整数解是5， 把x=5代入得，， ∴=5， ∴a=， 经检验，a=是方程的解且符合题意， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解分式方程，通过解不等式求得不等式的最大整数解是解题的关键． 9．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如果，，可得，当且仅当时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本不等式，根据题意将化为，再根据基本不等式即可求解．正确理解题意是解题的关键．也考查了解分式方程． 解：∵， ∴，， ∴ ， 当时，等号成立， 解得：或， 经检验，是分式方程的根且符合题意， ∴的最小值为． 故选：C． 10．（23-24八年级上·福建莆田·期末）在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，由卖得15个铜板即可判断；②甲农妇带了个鸡蛋，由乙农妇卖得个铜板即可判断；③100个鸡蛋所卖得的钱数是，即可判断；④由等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，即可判断； 找出等量关系式，理解每个量是解题的关键． 解：①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，甲农妇所卖鸡蛋的单价是， 故①正确，符合题意； ②乙农妇所卖鸡蛋的单价是， 故②正确，符合题意； ③100个鸡蛋所卖得的钱数是 ， 故③错误，不符合题意； ④等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同， 故④正确，符合题意； 综上所述：①②④正确； 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解不大于1，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0． 先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解不大于1，列出不等式，即可求解． 解：两边都乘以，得， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵， ∴，解得：， ∵该分式方程的解不大于1， ∴，解得：， 综上：a的取值范围是且． 故答案为：且． 12．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）满足方程：的正整数有序数对个数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是求出的取值范围．化简方程，根据题意得出，，分别代值求解即可； 解：∵不定方程， ∴， ∴， 由题意可知， 当时，， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，． 故方程：的正整数有序数对为：，，，，共4个． 故答案为：4． 14．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 【答案】 4或 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是通过将等式两边构造成相似的形式， （1）通过将等式两边构造成相似的形式，可得，故可得 （2）由题意可得，故可得 解：（1）， ， 可得或， 故答案为：或； （2）， ， 故可得 故答案为： 15．（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键． 先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围，然后根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴，解得：， 解方程，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，是偶数，解得且，a是偶数， ∴且，a是偶数， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：8． 16．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 【点拨】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 17．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是 ． 【答案】9 【分析】过P点作，.根据角平分线的性质可得，，由与的面积比为2∶1，列比例式求解即可. 解： 过P点作， ∵点P在的平分线上， ∴， ∶=2∶1， 2∶1 ∴ ∶=2∶1， ∶ =2∶1， ， 故答案为：9 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.掌握以上知识是解题的关键. 18．（22-23八年级上·广西贵港·期中）先阅读下面的材料，然后解答问题通过观察，发现方程 的解为；的解为； 的解为；…；的解为； 则关于x的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把变形为的形式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的解为 ∴或， ∴，． 【点拨】本题考查了知识创新类题目，理解题目提供的解题方法是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． （1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于的方程的解是解题的关键．先解方程求得值，再根据题意可求得的解为，将代入方程可得关于的方程，解方程即可求解． 解：解方程得， ∵关于的方程的解比的解多， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得， ∴ 21．（本小题满分10分）（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【答案】（1）每套A型系统进价为1万元；（2）该公司购买A型系统最少5套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键． （1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可． 解：（1）解：设每套A型系统进价为万元， 则每套B型系统进价为万元． 依题意，得，解得， 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 答：每套A型系统进价为1万元． （2）解：每套B型系统进价为（万元）， 设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套． ，解得． 所以的最小整数解为5． 答：该公司购买A型系统最少5套． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： （1）解方程； （2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本考查了解无理方程等知识，解题的关键是： （1）仿照材料求解即可； （2）根据解分式方程，无理方程，二元一次方程组，解一元一次方程等知识解答即可． 解：（1）解：两边平方，得， 化简，得， ∴， 经检验，是原方程的增根，故不是方程的解；是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解：①解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元； ②解分式方程方法是通过去分母等方法转化为整式方程，注意要检验； ③解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，注意要检验．（答案不唯一） 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 （1）求的值； （2）茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】（1）100；（2）40 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）解：由题意可知， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶斤，那么乙茶叶斤，利润为， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，的最小值为：， 解得：， 的最大值为40． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$