专题5.3 分式的乘除法（专项练习）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.3 分式的乘除法（专项练习）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法， 根据分式的基本性质约分即可得出答案． 解：原式． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 解：， 故选：． 3．（2024七年级·全国·竞赛）灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是（    ） A．160米分 B．140米分 C．60米分 D．120米分 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为，则上、下坡的总路程为，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案． 解：设上坡的路程为，则上、下坡的总路程为，上坡时间为，下坡时间为，总时间为，所以平均速度为（米分）． 故选D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 5．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘除运算法则逐项计算即可． 解：，故A选项计算正确，不合题意； ，故B选项计算正确，不合题意； ，故C选项计算正确，不合题意； ，故D选项计算错误，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解题的关键． 6．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮得分？ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 解：（1）当时，分式有意义，该小题正确； （2）当时，分式的值为该小题正确； （3）该小题错误； （4）当时，该小题错误； （5）该小题正确； 张小亮答对了4道题， 他的得分应是（分）． 8．（22-23八年级上·山西大同·期中）如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定听装饮料的总数量，然后计算出小球的总体积和纸箱的容积，最后计算二者的比，即为所求的纸盒的空间利用率． 解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料， ∴长方体的长边放置的球的数量为， 长方体的宽边放置的球的数量为， ∴听装饮料的数量为， ∴听装饮料的总体积：，纸箱容积为, ∴纸盒的空间利用率为． 故选A． 【点拨】本题主要考查了分式的乘除运算，根据题意列出整式并化简求值是解题的关键． 9．（2023·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 解： ， ∴ ， 故选：A． 【点拨】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 10．（20-21七年级上·广东佛山·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【答案】D 【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可； 解：当a取互为相反数的值时，即取m和-m，则-m+m=0， 当a取m时，① ，当a取-m时，② ， ①=②，故A正确； B、当a取互为倒数的值时，即取m和 ，则 ， 当a取m时，①，当a取时，② ①=②，故B正确； C、可举例判断，由＞1得，取a=2，3（2＜3） 则＜ ， 故C正确； D、可举例判断，由得，取a=，（＞） ， 故D错误； 故选：D． 【点拨】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】本题主要查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 根据分式的除法运算法则解答，即可． 解：． 故答案为： 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式乘法，掌握运算法则是解题关键． 按分式乘法法则进行运算即可． 解：， 故答案为：． 13．（2025·上海·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可． 解：， 故答案为： 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，解题的关键是熟记幂的乘方及积的乘方法则． 把化为，把代入即可求解． 解：． ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 16．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： （1）上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； （2）由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； （3）以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【答案】（1），；（2）约分；（3）二， 【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． （1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，； （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分； （3）解：第二步出现错误， ， 故答案为：二，． 【点拨】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 20．（本小题满分8分）（2024八年级下·安徽·专题练习）已知是方程的一个根，求值： （1） （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时考查了完全平方公式和平方根． （1）把代入方程，得到，即可求解； （2）将两边同时除以可得，再根据完全平方公式和平方根的定义即可求解． 解：（1）把代入方程，得 ； （2）， 如果，代入方程中，得，不成立，说明不能为0． 两边同时除以可得， 则， ∵ 则． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； （3）应用运算规律，计算： ． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3）1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 解：（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①，②方案C；（3） 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 解：（1）， 故答案为：； （2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）______（用>或<填空）；式子的最小值为______； （2）求分式的最小值 （3）应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【答案】（1）；；（2）6；（3）用来做对角线的竹条至少要100厘米长 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）将化为根据题意即可解答； （3）得到，在根据题中公式即可解答． 解：（1）解：根据题意可得； ， 故式子的最小值为， 故答案为：；； （2）解：， ∴的最小值为6； （3）解：四边形的面积； ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 分式的乘除法（专项练习）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是（    ） A．160米分 B．140米分 C．60米分 D．120米分 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 5．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮得分？ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 8．（22-23八年级上·山西大同·期中）如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 10．（20-21七年级上·广东佛山·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 2、 D．当时，越大，的值就越大 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 13．（2025·上海·二模）化简： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 （用含的代数式表示）． 15．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 16．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： （1）上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； （2）由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； （3）以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 20．（本小题满分8分）（2024八年级下·安徽·专题练习）已知是方程的一个根，求值： （1） （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； （3）应用运算规律，计算： ． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）______（用>或<填空）；式子的最小值为______； （2）求分式的最小值 （3）应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$