数学（陕西卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5分） 16．（5分） 17.（5分） 18.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（5分） 20（5分） 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（7分） 23．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 25．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学押题预测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．农历2025年是乙巳蛇年，数字2025的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是130°，那么第二次的拐角∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．150° 4．不等式3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥3 D．x≤3 5．将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5 6．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 7．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OC，若∠B＝40°，则∠OCA的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：2m2﹣32＝　 　 ． 10．如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　 　 ． 11．如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，将大正方形分割为长斜（等腰梯形）、右半斜和左半斜（直角梯形）、闺、小三斜和大三斜（等腰直角三角形）．现取长斜一张、大三斜两张、小三斜四张拼成如图②所示的图形．若设长斜的最长边为y，小三斜的直角边为x，则y与x的关系可以表示为 　 　 ． 12．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，C在双曲线上．若直线AB的函数表达式为，则k的值为　 　 ． 13．如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）解不等式：． 15．（5分）计算：． 16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝3． 17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在边AC上求作一点P，连接BP，使得∠APB＝2∠C．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，AC＝BD． 求证：DE＝CF． 19． （5分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？ 20．（5分）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小瑞同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若小瑞从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为　 　 ； （2）小瑞和小洁玩游戏，小瑞从这四张卡片中随机抽取一张，小洁再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则小瑞胜，否则小洁胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 21．（6分）如图①，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤杆上的秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤盘上所放物重x（kg）之间满足一次函数关系，其函数图象如图②所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当秤盘上所放物重为7kg时，求秤砣到秤纽的水平距离． 22. （7分） 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡BD的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD的高度为10米，火箭发射，雷达中心C测得火箭底端A点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至的M处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.96，tan14°≈0.25） 23．（7分）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）： 6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长x（h） 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 6.0≤x＜6.5 2 12.7 B 6.5≤x＜7.0 a 27.0 C 7.0≤x＜7.5 6 43.7 D 7.5≤x＜8.0 5 b E 8.0≤x＜8.5 3 24.2 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填写表格中所缺数据，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是　 　 h，平均数是　 　 h； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有多少台？ 24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若cos∠BAC，DE＝4，求BE的长． 25．（8分）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 已知：桥洞L1最大高度OC为8米，跨度AB＝32米，桥洞L2，L3关于y轴对称，最大高度均为4米． （1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式； （2）如图所示，现需要在桥洞L2，L3上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度． 26．（10分）问题提出 （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠CBD的度数为　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，求线段PQ长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形ABCD是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中AB＝50m，AD＝100m，∠A＝60°，∠C＝150°，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．农历2025年是乙巳蛇年，数字2025的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【考点】倒数． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：2025的倒数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【考点】几何体的展开图． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，即可进行解答． 【解答】解：根据题意可得：这个几何体可以是圆锥． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的展开图，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图是扇形． 3．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是130°，那么第二次的拐角∠B的度数为（　　） A．50° B．40° C．150° D．130° 【考点】平行线的性质． 【分析】直接根据两直线平行内错角相等作答即可． 【解答】解：∵一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同． ∴水渠转弯前与转弯后方向平行， ∵第一次的拐角∠A是130°， ∴∠B＝∠A＝130°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．不等式3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x≥1 D．x≤1 【考点】解一元一次不等式． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解决问题． 【解答】解：3（x﹣1）≥6， x﹣1≥2， x≥3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 5．将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．3 【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的定义． 【分析】求出平移后的函数为y＝﹣5x+3﹣m，再由题意可得方程3﹣m＝0，求出m的值即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣5x+3﹣m， ∵平移后为正比例函数， ∴3﹣m＝0， 解得m＝3， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的性质，正比例函数的定义是解题的关键． 6．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】由BD是△ABC的中线，得CD＝AD，由AE∥CF，得∠DFC＝∠E，而∠CDF＝∠ADE，即可根据“AAS”证明△CDF≌△ADE，则S△CDF＝S△ADE＝3，由CF是△BCD的中线，得BF＝DF，则S△CBF＝S△CDF＝3，所以S△ABD＝S△CBD＝6，求得S△ABC＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴CD＝AD， ∵AE∥CF，△ADE的面积为3， ∴∠DFC＝∠E， 在△CDF和△ADE中， ， ∴△CDF≌△ADE（AAS）， ∴S△CDF＝S△ADE＝3， ∵CF是△BCD的中线， ∴BF＝DF， ∴S△CBF＝S△CDF＝3， ∴S△ABD＝S△CBD＝2S△CDF＝6， ∴S△ABC＝2S△ABD＝12， 故选：C． 【点睛】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出CD＝AD，∠DFC＝∠E，进而证明△CDF≌△ADE是解题的关键． 7．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OC，若∠B＝40°，则∠OCA的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】先根据圆周角定理可得：∠AOC＝80°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OA， ∵∠B＝40°， ∴∠AOC＝2∠B＝80°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+c， ∴图象开口向上，对称轴为直线x， ∵﹣1＜b＜4， ∴2， ∵x2﹣x1＝t，﹣2＜x1＜2， ∴t﹣2＜x2＜t+2， ∴t﹣4＜x1+x2＜t+4， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1， ∴当t＞0时，x2＞x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，则2，即x1+x2＞4， ∴t﹣4＞4， ∴t＞8， 当t＜0时，x2＜x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的左侧，则，即x1+x2＜﹣1， ∴t+4＜﹣1， ∴t＜﹣5， 综上，t的取值范围是t＜﹣5或t＞8， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：2m2﹣32＝　　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2（m2﹣16）＝2（m+4）（m﹣4）， 故答案为：2（m+4）（m﹣4） 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　　 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接OB、OA、OH，由∠GOH＝∠HOA＝∠AOB＝∠BOC＝45°，得∠GOH+∠HOA+∠AOB+∠BOC＝180°，所以点O在CG上，连接CA、OD，则OD＝OC＝OA，由∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，得∠AOC＝90°，所以∠OCA＝∠OAC＝45°，CAOAOD，可证明CA∥OD，则△ACM∽△DOM，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接OB、OA、OH， ∵∠GOH＝∠HOA＝∠AOB＝∠BOC360°＝45°， ∴∠GOH+∠HOA+∠AOB+∠BOC＝4×45°＝180°， ∴G、O、C三点在同一条直线上， ∴点O在CG上， 连接CA、OD，则OD＝OC＝OA， ∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°， ∴∠AOC＝2×45°＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC＝45°，CAOAOD， ∴∠OCA＝∠COD， ∴CA∥OD， ∴△ACM∽△DOM， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 11．如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，将大正方形分割为长斜（等腰梯形）、右半斜和左半斜（直角梯形）、闺、小三斜和大三斜（等腰直角三角形）．现取长斜一张、大三斜两张、小三斜四张拼成如图②所示的图形．若设长斜的最长边为y，小三斜的直角边为x，则y与x的关系可以表示为　　 ． 【考点】函数关系式；等腰三角形的性质． 【分析】根据图形可得AC＝2AB＝2x，根据勾股定理可得AD＝CDAC2x，进而得出答案． 【解答】解：如图所示， ∵AB＝BC＝x，AE＝2AD＝y，△ACD是等腰三角形， ∴AC＝2AB＝2x， ∴AD＝CDAC2x， ∴AE＝2AD＝2， ∴y＝2． 故答案为：y＝2． 【点睛】本题主要考查函数关系式，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，C在双曲线上．若直线AB的函数表达式为，则k的值为　　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数的性质． 【分析】过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，可证明△ABM≌△BNC，得到BN＝AM，BM＝CN，可证明△BOE∽△BNC，得到BN＝2CN，设C（4+2a，a），则B（4﹣a，2a），得到k＝（4+2a）•a＝（4﹣a）•2a，求得a的值，得到C的坐标，从而求得k的值． 【解答】解：分别过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠BMA＝∠CNB＝90°， ∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠MBA+∠BAM＝90°，∠MBA+∠CBN＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN． 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∴BN＝AM，BM＝CN， 由直线，可知B（4，0），E（0，﹣2）， ∵∠OBE＝∠NBC，∠BOE＝∠BNC＝90°， ∴△BOE∽△BNC， ∴， ∴BN＝2CN， ∴设C（4+2a，a），则A（4﹣a，2a）， ∵A、C都在y（k＞0，x＞0）上， ∴k＝（4+2a）•a＝（4﹣a）•2a， 解得a＝1． ∴C（6，1）， ∴k＝6×1＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键． 13．如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为　　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理． 【分析】构造一线三垂直得△ADE≌△CEM，再利用三角形两边之和大于第三边解答即可． 【解答】解：过E作EM⊥ED，且EM＝ED，连DM，MC． 取ME中点N，连ND、NC、NF． ∵∠ADE+∠AED＝90°， ∠AED+∠MEC＝90°， ∴∠ADE＝∠MEC， 在△ADE和△CEM中， ， ∴△ADE≌△CEM（SAS）， ∴∠ECM＝∠DAE＝90°． 设AF＝1， ∵F为DE中点， ∴DE＝2AF＝2．， ∴EM＝2， ∵N为EM中点， ∴CN＝EN＝1． ∴DN， ∵ND+NC≥DC， ∴CD最大值1， ∴（1）÷11， 故答案为：1， 【点睛】本题考查了全等三角形的知识，构造一线三垂直是解题关键． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．解不等式：． 【考点】解一元一次不等式． 【分析】根据解一元一次不等式的相关运算方法即可求解． 【解答】解：， x+5＞2x﹣2， x＜7． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的相关运算． 15．计算：． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质计算即可． 【解答】解：原式＝29+2 9+2 ＝11． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．先化简，再求值：，其中x＝3． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解： • ， 当x＝3时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 17．如图，已知△ABC，请用尺规作图法在边AC上求作一点P，连接BP，使得∠APB＝2∠C．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—复杂作图． 【分析】作线段BC的垂直平分线，交AC于点P，则点P即为所求． 【解答】解：如图，作线段BC的垂直平分线，交AC于点P，连接BP， 此时BP＝PC， ∴∠C＝∠PBC， ∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2∠C， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，AC＝BD． 求证：DE＝CF． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】由AC＝BD，推导出AD＝BC，由AE∥BF，证明∠A＝∠B，而AE＝BF，即可根据“SAS”证明△ADE≌△BCF，则DE＝CF． 【解答】证明：∵点A，B，C，D在同一条直线上，AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， ∴AD＝BC， ∵AE∥BF， ∴∠A＝∠B， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出AD＝BC，∠A＝∠B，进而证明△ADE≌△BCF是解题的关键． 19．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设共有x人，y辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设共有x人，y辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小瑞同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若小瑞从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为　　 ； （2）小瑞和小洁玩游戏，小瑞从这四张卡片中随机抽取一张，小洁再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则小瑞胜，否则小洁胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）若小瑞从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为， 故答案为：； （2）公平， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人抽到的卡片有“D．印刷术”的有6种结果，没有的有6种结果， 所以小瑞获胜的概率为，小洁获胜的概率为， 所以此游戏规则公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．如图①，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤杆上的秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤盘上所放物重x（kg）之间满足一次函数关系，其函数图象如图②所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当秤盘上所放物重为7kg时，求秤砣到秤纽的水平距离． 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把x＝7代入一次函数解析式，求出y的值即可． 【解答】解：（1）∵秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系， ∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝5.5x+2.5； （2）把x＝7代入y＝5.5x+2.5得： y＝5.5×7+2.5＝41， ∴当秤盘上所放物重为7kg时，秤砣到秤纽的水平距离为41cm． 【点睛】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22. 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡BD的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD的高度为10米，火箭发射，雷达中心C测得火箭底端A点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至的M处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.96，tan14°≈0.25） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】过C点作CE⊥AM于点E，延长CD交BA的延长线于点F，设DF＝x，则BF＝0.75x，利用勾股定理求出x的值，再利用正切的定义求出EC、ME，即可得解． 【解答】解：过C点作CE⊥AM于点E，延长CD交BA的延长线于点F， 在Rt△DBF中，坡度为1：0.75，BD＝50米， 设DF＝x米，则BF＝0.75x米， ∴502＝x2+（0.75x）2， ∴x＝40， ∴AE＝CD+DF＝10+40＝50（米），DF＝40米， ∵， ∴米， ∵∠MCE＝76°， ∴∠M＝14°， ∵， ∴（米）， ∴MA＝ME+EA＝800+50＝850（米）， ∴850÷2＝425（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）： 6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长x（h） 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 6.0≤x＜6.5 2 12.7 B 6.5≤x＜7.0 a 27.0 C 7.0≤x＜7.5 6 43.7 D 7.5≤x＜8.0 5 b E 8.0≤x＜8.5 3 24.2 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填写表格中所缺数据，a＝　4　 ，b＝　38.4　 ； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是　7.3　 h，平均数是　7.3　 h； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有多少台？ 【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表；算术平均数． 【分析】（1）根据统计表数据求解即可； （2）根据中位数和平均数的定义求解即可； （3）总数量乘样本中工作时长不小于7.5h数量所占比例即可． 【解答】解：（1）由统计表数据可知，“6.5≤x＜7.0”有4台，故a＝4；“7.5≤x＜8.0”组内工作总时长为：7.5+7.6×2+7.8+7.9＝38.4（h），即b＝38.4； 故答案为：4，38.4； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是7.3（h）， 所抽取机器人工作时长的平均数为（12.7+27+43.7+38.4+24.2）＝7.3（h）； 故答案为：7.3，7.3； （3）2000800（台）， 答：估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有800台． 【点睛】本题考查了频数分布表，算术平均数，中位数，样本估计总体，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． 24．如图，△ABC中，AB＝AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若cos∠BAC，DE＝4，求BE的长． 【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【分析】（1）连接AO，如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到AO⊥BC，AO平分∠BAC，则∠BAC＝2∠OAC，再根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠OAC＝∠DBC，从而得到结论； （2）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODE＝90°，再根据圆周角定理得到∠COD＝2∠DBC，则∠COD＝∠BAC，接着在Rt△ODE中利用余弦的定义得到cos∠EOD，则设OD＝3x，OE＝5x，所以DE＝4x＝4，解得x＝1，然后计算OB+OE即可． 【解答】（1）证明：连接AO，如图， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠OAC， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠BCD＝90°， ∵∠OAC+∠BCD＝90°， ∴∠OAC＝∠DBC， ∴∠BAC＝2∠DBC； （2）解：连接OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°， ∵∠COD＝2∠DBC， ∠BAC＝2∠DBC， ∴∠COD＝∠BAC， ∴cos∠COD＝cos∠BAC， 在Rt△ODE中，∵cos∠EOD， ∴设OD＝3x，OE＝5x， ∴DE4x， 即4x＝4， 解得x＝1， ∴OD＝3，OE＝5， ∴BE＝OB+OE＝3+5＝8． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 25．一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 已知：桥洞L1的最大高度OC为8米，跨度AB＝32米，桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米． （1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式； （2）如图所示，现需要在桥洞L2，L3上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）依据题意得，顶点C（0，8），可设桥洞L1所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+8，又AB＝32，故B（16，0），则256a+8＝0，从而a，即可判断得解； （2）依据题意，由桥洞L1所在抛物线的函数表达式yx2+8，且三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，从而可设桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+k，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+k（h＞16），又桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米，故k＝4，从而桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+4，结合A（﹣16，0），B（16，0），求出h后，再令y＝2，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点C（0，8）， ∴可设桥洞L1所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+8． ∵AB＝32， ∴B（16，0）． ∴256a+8＝0． ∴a． ∴桥洞L1所在抛物线的函数表达式yx2+8． （2）由题意，∵桥洞L1所在抛物线的函数表达式yx2+8，且三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同， ∴可设桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+k，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+k（h＞16）． 又∵桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米， ∴k＝4． ∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+4． 又∵A（﹣16，0），B（16，0）， ∴（16﹣h）2+4＝0． ∴h＝16+8或h＝16﹣8（舍去）． ∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣16﹣8）2+4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+16+8）2+4． 令y＝2， ∴x＝8+8或24+8（舍去）；x＝﹣8﹣8或﹣24﹣8（舍去）． ∴PQ＝8+8（﹣8﹣8）＝（16+16）（米）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 26．问题提出 （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠CBD的度数为　35°　 ； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，求线段PQ长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形ABCD是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中AB＝50m，AD＝100m，∠A＝60°，∠C＝150°，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）根据AB＝AC＝AD，得点B、C、D在以点A为圆心，以AB长为半径的圆上，得； （2）当点P位于的中点时，根据PQ⊥AB，得PQ过点O，证明∠OAB＝∠OBA＝45°，可得AQ＝OQ，根据OA＝2，得，，为最大值； （3）连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，可知点C是在以∠C＝150°为圆周角的⊙O的一段弧上，在BD另一侧圆上取点G，连接OB，OD，BG，DG，得∠G＝30°，∠BOD＝60°，△OBD是等边三角形，得OB＝BD，当点C在中点时，CE最大，△BCD面积最大，此时直线CE过点O，取AD中点F，连接BF，可得AB＝AF，由∠A＝60°，得△ABF是等边三角形，可得∠BDF＝∠DBF＝30°，∠ABD＝90°，，得OE＝75，，得绿化区域ABCD面积的最大值，S＝S△ABD+S△BCD． 【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB长为半径的圆上， ∵∠CAD＝70°， ∴； 故答案为：35°； （2）在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上的一点，PQ⊥AB于点Q，如图②，当点P位于的中点时，PQ最大， ∴直线PQ过点O， ∵OA＝OB， ∴， ∵∠OQA＝90°， ∴∠AOQ＝90°﹣∠OAB＝45°， ∴AQ＝OQ， 在直角三角形AOQ中，由勾股定理得：AQ2+OQ2＝OA2，OA＝OP＝2， ∴， ∴； （3）连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，如图③， ∵∠BCD＝150°， ∴点C是在以∠BCD为圆周角的圆弧上， 设圆心为O，在BD另一侧圆上取点G，连接OB，OD，BG，DG， 则∠G＝180°﹣∠BCD＝30°， ∴∠BOD＝2∠G＝60°， ∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴OB＝BD， 由（2）知，当点C在中点时，CE最大，△BCD面积最大，此时直线CE过点O， 取AD中点F，连接BF， ∵AD＝100， ∴， ∵AB＝50 ，∴AB＝AF， ∵∠A＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴BF＝AF，∠AFB＝60°， ∴∠BDF+∠DBF＝∠AFB＝60°，BF＝DF， ∴∠BDF＝∠DBF＝30°， ∴∠ABD＝∠ABF+∠DBF＝90°， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形BOE中，由勾股定理得：， ∴， ∴S＝S△ABD+S△BCD ． 故绿化区域ABCD面积的最大值为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，熟练运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考押题预测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 9._________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分） 15．（5分） 16．（5分） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22. （7分） 23.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （8分） 24. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学押题预测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．农历2025年是乙巳蛇年，数字2025的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是130°，那么第二次的拐角∠B的度数为（　　） A．50° B．40° C．150° D．130° 4．不等式3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x≥1 D．x≤1 5．将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．3 6．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 7．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OC，若∠B＝40°，则∠OCA的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：2m2﹣32＝　 　 ． 10．如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　 　 ． 11．如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，将大正方形分割为长斜（等腰梯形）、右半斜和左半斜（直角梯形）、闺、小三斜和大三斜（等腰直角三角形）．现取长斜一张、大三斜两张、小三斜四张拼成如图②所示的图形．若设长斜的最长边为y，小三斜的直角边为x，则y与x的关系可以表示为 　 　 ． 12．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，C在双曲线上．若直线AB的函数表达式为，则k的值为　 　 ． 13．如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）解不等式：． 15．（5分）计算：． 16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝3． 17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在边AC上求作一点P，连接BP，使得∠APB＝2∠C．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，AC＝BD． 求证：DE＝CF． 19．（5分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？ 20．（5分）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小瑞同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若小瑞从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为　 　 ； （2）小瑞和小洁玩游戏，小瑞从这四张卡片中随机抽取一张，小洁再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则小瑞胜，否则小洁胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 21．（6分）如图①，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤杆上的秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤盘上所放物重x（kg）之间满足一次函数关系，其函数图象如图②所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当秤盘上所放物重为7kg时，求秤砣到秤纽的水平距离． 22. （7分） 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡BD的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD的高度为10米，火箭发射，雷达中心C测得火箭底端A点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至的M处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.96，tan14°≈0.25） 23．（7分）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）： 6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长x（h） 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 6.0≤x＜6.5 2 12.7 B 6.5≤x＜7.0 a 27.0 C 7.0≤x＜7.5 6 43.7 D 7.5≤x＜8.0 5 b E 8.0≤x＜8.5 3 24.2 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填写表格中所缺数据，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是　 　 h，平均数是　 　 h； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有多少台？ 24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若cos∠BAC，DE＝4，求BE的长． 25．（8分）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 已知：桥洞L1的最大高度OC为8米，跨度AB＝32米，桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米． （1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式； （2）如图所示，现需要在桥洞L2，L3上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度． 26．（10分）问题提出 （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠CBD的度数为　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，求线段PQ长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形ABCD是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中AB＝50m，AD＝100m，∠A＝60°，∠C＝150°，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年中考押题预测卷 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)》 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D A D c C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.2(m+4)(m-4): 10.V2: 11.y=2V2x: 12.6； 13.5+1: 三、解答题（本大题共13个小题，共81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.(5分)【详解】解：学>x-1 x+5>2x-2, (3分) x<7. (5分) 15.(5分) 【详解】解：原式=2×号+92-5 (3 分) =5+9+2-5 =11. (5分) 16.(5分) 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】解：（器-）÷ 4 =2+1-42 (x-12 +2 (+2X2 (3分) (x+2-2 =品 (x-1月 =将 44 (4分) 当x=3时，原式=舒=吉 (5分) 17.(5分) 【详解】解：如图，作线段BC的垂直平分线，交AC于点P,连接BP, 此时BP=PC, ∴.∠C=∠PBC, ∴.∠APB=∠C+∠PBC=2∠C, A (4分) 则点P即为所求. (5分) 18.(5分) 【详解】证明：，点A,B,C,D在同一条直线上，AC=BD, ∴.AC+CD=BD+CD, ..AD=BC, (1分) 'AE∥BF, ∴.∠A=∠B, (2分) 在△ADE和△BCF中， (AE-BF ∠A=∠B AD=BC' .△ADE≌△BCF(SAS), (4分) 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.DE=CF. (5分) 19.(5分) 【详解】解：设共有x人，y辆车， 3y-2=x 依题意得： 2y+9=x (2 分) (x=39 解得： y=15 (4 分) 答：共有39人，15辆车. (5分) 20.(5分) 【详解】【小问1详解】 若小瑞从四张卡片中任意选一张，则选到“B.造纸术”的概率为子， 故答案为：： (2 分) 【小问2详解】 公平， 画树状图如下： 开始 个个 (3分) 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人抽到的卡片有“D.印刷术”的有6种结果，没有的有6 种结果， 所以小瑞获胜的概率为品=支，小洁获胜的概率为品=支 6 .6 (4 分) 所以此游戏规则公平。 (5分) 21.(6分) 3/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】【小问1详解】 ,秤砣到秤纽的水平距离ycm与所挂物重xg之间满足一次函数关系， .设y与x的函数关系式为：y=a+b(k≠0)， k+b=8 根据函数图象可得： (5k+b=30' (2分) k=5.5 解得：{b=2.5' y与x的函数关系式为：y=5.5x+2.5: (4分) 【小问2详解】 把x=7代入y=5.5+2.5得： y=5.5×7+2.5=41, (5分) .当秤盘上所放物重为7kg时，秤砣到秤纽的水平距离为41cm。, (6分) 22. (7分) 【详解】解：过C点作CE⊥AM于点E,延长CD交B4的延长线于点F, FB A 在Rt△DBF中，坡度为1：0.75，BD=50米， 设DF=x米，则BF=0.75x米， ∴.502=x2+(0.75x)2, ,.x=40, ∴.AE=CD+DF=10+40=50(米)，DF=40米， (2分) :tan∠ECA=器， BC=器=器=200米， (4分) 4/10 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,'∠MCE=76°， ∴.∠M=14”, 'tam∠M=器， ∴MB=品=器=800（米）. (5分) '.MA=ME+EA=800+50=850(米)， ∴.850÷2=425（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒 (7分) 23.(7分) 【详解】【小问1详解】 由统计表数据可知，“6.5≤x<7.0”有4台，故a=4;“7.5≤x<8.0”组内工作总时长为：7.5+7.6×2 +7.8+79=38.4(h),即b=384: 故答案为：4,384：… (2分) 【小问2详解】 所抽取机器人工作时长的中位数是3科7飞3=73(h, 所抽取机器人工作时长的平均数为六×(12.7+27+43.7+384+24.2)=7.3(h): 故答案为：7.3,7.3： (5分) 【小问3详解】 2000×号=800（台）， 答：估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有800台。…(7分) 24.(8分) 【详解】【小问1详解】 证明：连接AO,如图， .AB=AC,OB=OC, ∴AO⊥BC,AO平分∠BAC, ∠BAC=2∠0AC,(2分） BC为直径， ∴.∠BDC=90°， 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠DBC+∠BCD=90°， ,∠OAC+∠BCD=90°， ∴.∠OAC=∠DBC, ∠BAC=2∠DBC4… (4分) 【小问2详解】 连接OD,如图， DE为⊙O的切线， ODLDE (5分) ∴.∠0DE=90°， ,∠COD=2∠DBC, ∠BAC=2∠DBC, ∴.∠COD=∠BAC, (6分) ∴cos∠COD=cos∠BAC=, 在R△ODE中，：cos∠EOD=是=美， .设OD=3x,OE=5x, e=V5网-x =4, 即4=4， 解得x=1, ∴.0D=3,OE=5, ∴.BE=OB+OE=3+5=8. (8分) B 0 E 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(8分) 【详解】【小问1详解】 由题意得，顶点C(0,8), .可设桥洞L1所在抛物线的函数表达式为y=2+8. :AB=32, .B(16,0. (2分) .256a+8=0. a=-竞 桥洞L1所在抛物线的函数表达式y=一竟248 (3分) 【小问2详解】 由概意，：桥洞L1所在抛物线的函数表达式y=一立x248,且三个桥洞L1,L2,L3均呈抛物线型且抛 物线形状相同， ∴可设桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=一竞~h)24k,桥洞L所在抛物线的函数表达式y=一司 (x+h)24k(h>16)】.(4分） 又，桥洞L2,L3关于y轴对称，且最大高度均为4米， .k=4. ∴.桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=一 1 (x-h)2+4,桥洞L3所在抛物线的函数表达式y=一 x+h) 2 +4. (5分) 又A(-16,0),B(16,0), ·-2(16-h)244=0. ∴h=16+8V2或h=16-82(舍去). ∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=一竞(x-16-82)2斗4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y =-录(+16+8V2)244.(6分) 令y=2, x=8+82或24+82（舍去）；x=-8-8V2或-24-8V2(舍去).…(7分) :P阳=8+82-(-8-8E)=(16+16V2)(米). (8 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 分) 26.(10分) 【小问1详解】 在四边形ABCD中，AB=AC=AD, .点B、C、D在以点A为圆心，以AB长为半径的圆上， ,∠CAD=70°， ∴∠CBD=克∠CAD=35°， 故答案为：35°； (2分) 【小问2详解】 在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是B上的一点，PQ⊥AB于点Q,如图②，当点P位于 AB的中点时，PQ最大， B 图② .直线PQ过点O, .0A=0B, ∠0AB=∠0BA=(180°-∠A0B)=45°， (3分) .∠O0A=90°， ∴.∠AO0=90°-∠0AB=45°， ∴.AQ=OQ, 在直角三角形AOQ中，由勾股定理得：AQ2+OQ2=OA2,OA=OP=2, ∴00=2， 2,444.（4分） ∴PQ=0P-0Q=2-V2: 0420a44444,(5 分) 【小问3详解】 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 连接BD,过点C作CE⊥BD于点E,如图③， B 图③ :∠BCD=150°， .点C是在以∠BCD为圆周角的圆弧上， 设圆心为O,在BD另一侧圆上取点G,连接OB,OD,BG,DG, 则∠G=180°-∠BCD=30°， ∴.∠BOD=2∠G=60°， .OB=OD, .△OBD是等边三角形，… (6分) ..OB=BD, 由(2)知，当点C在D中点时，CE最大，△BCD面积最大，此时直线CE过点O, 取AD中点F,连接BF, AD=100, ∴AF=DF=AD=50, 'AB=50 .AB=AF, ,∠A=60°， .△ABF是等边三角形， (7分) ∴.BF=AF,∠AFB=60°， ∴.∠BDF+∠DBF=∠AFB=6O°，BF=DF, ∴.∠BDF=∠DBF=30°， ∴.∠ABD=∠ABF+∠DBF=90°， 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD=VAD2-AB2=50V5, 0B=BD=50V3,BE=BD=253.. (8分) 在直角三角形B0E中，由勾股定理得：0E=VOB2-BE=75, ∴CE=0C-0E=50V5-75, ∴.S=S△ABD+S△BCD =AB·BD+BD·CE =×50×50V5+×50V5×(50W5-75) =1250W5+3750-1875V5 =3750-625V5. 故绿化区域ABCD面积的最大值为3750-625V3m2. 分) 10/10