精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

五十五中学2024-2025学年第二学期 高一年级数学期中检测 一、选择题（共27分，每小题3分） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A 或 B. C. D. 5. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 6. 我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四边形是边长为2的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题4分） 10. 设复数，则_____________． 11. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为__________． 12. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点C到平面的距离为______________． 13. 设点，若点在直线上，且满足，则点的坐标为_________. 14. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 15. 如图，平面，且，，则异面直线与所成的角的正切值等于_________. 三、解答题 16. （1）已知复数．若复数为纯虚数，求的值: （2）已知复数，若，求实数，的值． 17. 在中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知． Ⅰ.求：角B； Ⅱ.若，求：的面积． 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 19. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 20. 在边长为4的等边中，D为BC边上一点，且. （1）若P为内部一点（不包括边界），求取值范围； （2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十五中学2024-2025学年第二学期 高一年级数学期中检测 一、选择题（共27分，每小题3分） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算可得，根据复数虚部的定义理解． 【详解】试题分析：，则虚部为 故选：B． 2. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案 【详解】解：因为四边形为平行四边形， 所以, 所以， 故选：D 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 4. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得，即，解得， 又由可知， 所以， 故选：B 5. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积. 【详解】根据题意，原图形如下图： 的底边的长为5，高为，所以的面积. 故选：B 6. 我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解. 【详解】根据题意可得， 由该图形由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图 由对称性可得, 由对称性可得点共线，点共线. 所以 ， 所以 故选：D 7. 半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出正四棱锥，然后计算其体积，球的体积与正四棱锥体积比较即可. 【详解】画出正四棱锥，外接球球心为 由题可知，，所以， 根据勾股定理可知， 所以， 所以该四棱锥体积， 因为球的半径为， 所以球的体积为， 所以 故选：B 8. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可 【详解】 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， 如图： 又，所以为等边三角形， ，， 向量在向量上的投影数量为：． 故投影向量为. 故选：D． 9. 已知四边形是边长为2的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出A,B,C,D的坐标，从而得相关向量的坐标，再，设，进而得，坐标，利用公式计算，再转化为关于 的二次函数，求解最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由是边长为2的菱形且，可得，，，， 所以，． 因为，所以，设，则， 则， ， 所以， 因为，所以， 故选：A． 二、填空题（共24分，每小题4分） 10. 设复数，则_____________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算． 11. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方，得到，根据可得，因此可得到，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】由，可得， 即， 由，可得，即， 故，则，则， 故，则与的夹角为. 故答案为： 12. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点C到平面的距离为______________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求，再利用等体积法求点C到平面的距离. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且,取的中点为，连接，，则，，所以即为二面角的平面角，所以，在中，，，所以，所以，设点C到平面的距离为， 因为，所以，由， ，所以，所以点C到平面的距离为， 故答案为：. 13. 设点，若点在直线上，且满足，则点的坐标为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】设点，求出，.化为或，再建立方程求解即可. 【详解】点，所以， 设点，由在直线上，且，所以或 又， 当时，有，解得，所以点， 当时，有，解得，所以点， 综上知，点的坐标为或. 故答案为：或. 14. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则， 解得或， 因为，所以. 故答案为：. 15. 如图，平面，且，，则异面直线与所成的角的正切值等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出线线角，然后解直角三角形求得线线角的正切值. 【详解】过作，过作，则四边形为矩形,,，故直线和直线所成的角为.不妨设,由于平面，故,所以.由于 ，所以平面，所以.在直角三角形中. 【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的作法，考查异面直线所成角的正切值的计算，考查空间想象能力，属于基础题. 三、解答题 16. （1）已知复数．若复数为纯虚数，求值: （2）已知复数，若，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）首先表示出，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可； （2）首先根据复数代数形式的乘、除运算化简，再根据复数相等得到方程组，解得即可； 【详解】（1）因为， 所以， 又复数为纯虚数，所以，解得. （2）因为， 所以， 由，可得， 即，∴，解得. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． Ⅰ.求：角B； Ⅱ.若，求：面积． 【答案】I；II. 【解析】 【分析】I.根据正弦定理化简边角关系式，构造出的形式，求得，从而得到；II.由同角三角函数关系求得，用正弦定理求得，再利用求得，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】I.由正弦定理可得：，即 整理可得： 则 II.由得： 由正弦定理可得： 又 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式应用、三角形面积公式的应用，熟练应用定理和公式进行边角关系式的化简和未知量的求解是解题的关键，属于常规题型. 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】（1）表面积，体积 （2）， （3）当时，. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算即可得出关系式； （3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 由，，得， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 由相似可得，得，； 【小问3详解】 记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 19. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，由此能证明平面． （2）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面． （3）取中点和中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 证明：连接，在中， 和分别是和的中点，， 又平面，平面， 平面． 小问2详解】 证明：，为中点，， 平面，，平面， ，又，平面，平面， 【小问3详解】 解：取中点和中点，连接，，， 和分别为和的中点，且， 且，四边形是平行四边形， 且， 又平面，平面， 即为直线与平面所成角， 在中，可得，， ，，且， 又由，， 在中，， 在中，， ，即直线与平面所成角的大小为． 20. 在边长为4的等边中，D为BC边上一点，且. （1）若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围； （2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，进而整理可得，分析求解即可得结果； （2）根据题意利用面积公式分析可得，根据向量的线性运算，结合三点共线的结论整理得，代入结合二次函数求最值. 【小问1详解】 取的中点，连接，则， 因为， 可得， 又因为，即， 所以， 故的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可得：， 则， 若，即，可得， 因为， 所以， 又因为三点共线，则，且， 可得， 所以，即，可得，即， 所以， 当，即时，实数k的最大值为. 【点睛】结论点睛：若三点共线，则，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $