专项 鸽巢问题-北京版四年级下册期末专项（小学数学）

1 专项 鸽巢问题 1．10本书放进 4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（ ）本书。 A．1 B．3 C．2 D．4 2．（判断）任意 25名小学生中，至少有 5人所在年级是相同的。( ) 3．聪聪家在“五一”假期选择了省内游，在预订宾馆时发现全家 5口人只订到了 2间客房。聪 聪联系学过的“抽屉原理”，认为总有一间客房至少要入住( )个人。第二天在换乘景区 摆渡车的时候，聪聪发现车上 61个座位全部坐满，聪聪认为如果按照 12生肖给这些乘客分类， 至少有( )人是同一个属相。 4．把 32个篮球放进 5个篮球筐，不管怎么放，总有一个篮球筐里至少放进 个篮球。 5．有红、白、黄、绿、黑五种颜色的球各 3个，至少摸( )个球，保证能够取得两个 颜色相同的球。 6．把红、黄、蓝、黑、白五种颜色的筷子各 9根放在一个盒子里。至少取多少根才能保证一 定有 2根颜色相同的筷子？ 7．盒子里有同样大小的红球和蓝球各 5个，要想摸出的球一定有 2个不同色的，至少要摸出 ( )个球，如果要想摸出的球一定有 2个同色的，至少要摸出( )个球。 8．黑、白两种颜色的袜子各 8只混在一起，闭上眼睛随便拿，至少要拿 只，才能保证一 定有一双同色袜子；至少要拿 只才能保证有 4只同色袜子。 9．希望小学学生的年龄最大是 12岁，最小是 6岁，至少需要从中挑选( )名同学，才 能保证一定有 2名年龄相同的同学。 10．黑色袋子中装有同一型号的 4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色 不同的铅笔，至少要摸出( )支铅笔。 11．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书，根据自己的喜好有买一本的，两 2 本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？ 12．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的 52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有 2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有 2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有 2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有 2张红桃？ 13．“六一”儿童节，李老师拿 133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了 4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 14．几个要好的朋友去 A、B、C三个景点游玩，每人只游览其中两个景点，不管他们怎样安 排游览方案，都至少有 4个人游览的景点完全相同。请问至少有几人去游玩？ 1 专项 鸽巢问题 答案解析 1．B 【分析】根据抽屉原理，用书本总数除以抽屉数，有余数时用商加 1，就是一个抽屉里至少放 进多少本书。 【详解】10÷4＝2（本）……3（本） 2＋1＝3（本） 10 本书放进 4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进 3本书。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查抽屉原理的应用。 2．√ 【分析】把 6个年级看作是 6个抽屉，25 名小学生看做 25 个元素，根据抽屉原理：把 25 名 小学生平均分配在 6个抽屉中：25÷6＝4（人）⋯ ⋯ 1（人），那么每个抽屉都有 4人，那么 剩下的 1人，无论放到哪个抽屉都会出现 5人在同一个抽屉里。 【详解】25÷6＝4（人）……1（人） 4＋1＝5（人） 即至少有 5人所在年级是相同的，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把 谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 3． 3 6 【分析】（1）先将 5人平均分给 2间客房，每间客房里有 2人，还剩下 1人，这 1人，无论 分给哪间客房，总有一间客房至少要入住（2＋1）人。 （2）先将 61 人平均分给 12 个生肖里，每个生肖里有 5人，还剩下 1人，这 1人，无论分给 哪个生肖，总有一个生肖里至少有（5＋1）人。 【详解】（1）5÷2＝2（人）……1（人） 2＋1＝3（人） 总有一间客房至少要入住 3人。 （2）61÷12＝5（人）……1（人） 2 5＋1＝6（人） 至少有 6人是同一属相。 【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“物体数÷抽屉的个数的商＋1（有余数的情 况下）”解答。 4．7 【分析】 抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中 n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当 n不能被 m整除时，k＝[ n m ]＋1 个物体。 （2）当 n能被 m整除时，k＝ n m 个物体。 【详解】32÷5＝6（个）……2（个） 6＋1＝7（个） 把 32 个篮球放进 5个篮球筐，不管怎么放，总有一个篮球筐里至少放进 7个篮球。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计 算。 5．6 【分析】要保证得到两个颜色相同的球，那就是至少要取出 6个，才能保证一定得到两个颜色 相同的球；假设第一个球是红球，第二个球是白球，第三个球是黄球，第四个是绿球、第五个 是黑球，那再取任意一个球，只能是五种颜色中的一个，出现同色，用“颜色数＋1”即可。 【详解】5＋1＝6（个） 【点睛】此类题有规律可循，当要求的是至少取几个，出现同色的球时，只要用颜色数加 1即 可得出结论。 6．6根 【分析】把 5种不同颜色看作 5个抽屉，把不同颜色的筷子看作元素，从最不利情况考虑，每 个抽屉需要先放 1根筷子，共需要 5根，再取出 1根不论是什么颜色，总有一个抽屉里的筷子 和它同色，所以至少要取出：5＋1＝6（根），据此解答。 【详解】5＋1＝6（根） 答：至少取 6根才能保证一定有 2根颜色相同的筷子。 【点睛】本题考查了抽屉原理问题之一，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立 3 抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝抽屉的个数＋1”解答。 7． 6 3 【分析】盒子里有同样大小的红球和蓝球各 5个，要摸 2个不同色的，最坏的情况是，摸出 5 个球的颜色是同一种（红色或蓝色），此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有 2个不同 色的，即至少要摸出 5＋1＝6个； 盒子里有同样大小的红、蓝两种颜色的球，要摸 2个同色的，最坏的情况是，当摸出 2个球的 时候，红、蓝两种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有 2个同色的， 即至少要摸出 2＋1＝3个。 【详解】根据分析得，5＋1＝6（个） 2＋1＝3（个） 【点睛】此题主要运用抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，解决问题。 8． 3 7 【分析】（1）最坏情况是黑、白两种颜色的袜子各取出一只，此时再取出 1只，一定有一双 同色的袜子； （2）最坏情况是黑、白两种颜色的袜子各取出 3只，此时再取出 1只，一定有 4只同色袜子。 【详解】（1）2＋1＝3（只） （2）3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（只） 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 9．8 【分析】根据题意，希望小学学生的年龄最大是 12 岁，最小是 6岁，一共有 7个不同的年龄； 从最坏的情况考虑，先挑选的 7名同学年龄都不相同，那么再选 1名同学，一定和这 7名中的 一名年龄相同，据此解答。 【详解】6岁、7岁、8岁、9岁、10 岁、11 岁、12 岁，一共有 7个不同的年龄； 7＋1＝8（名） 至少需要从中挑选 8名同学，才能保证一定有 2名年龄相同的同学。 【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 10．12 【分析】把红铅笔、黄铅笔和蓝铅笔看作是三个抽屉，4＋6＋5＝15；15 只铅笔看做是 15 个 4 元素，根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出 11 支铅笔中，6支黄铅笔和 5支蓝铅笔，那么再 任意摸出一支就是红铅笔，据此解答。 【详解】6＋5＋1 ＝11＋1 ＝12（支） 黑色袋子中装有同一型号的 4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同 的铅笔，至少要摸出 12 支铅笔。 【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况。 11．8 名 【分析】如果买一本的有 3种买法，如果买两本的有 3种买法，如果买三本的有 1种买法，共 有 3＋3＋1＝7（种）买法，看作 7个抽屉，每个抽屉里有 1个人，共需要 7人，那么再有 1 个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书。 【详解】3＋3＋1＝7（种） 7＋1＝8（名） 答：至少要去 8名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。 【点睛】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数， 再从最差情况考虑即可。 12．（1）14 张（2）5张（3）5张（4）41 张 【分析】（1）因为共有 13 种点数，要想保证有 2张牌的点数相同，考虑最不利原则，先取的 13 张牌的点数都不相同，再任意取一张就有 2张牌的点数相同。 （2）因为有 4张相同的点数，要想保证有 2张牌的点数不同，考虑最不利原则，先取的 4张 牌的点数都相同，再任意取一张就有 2张牌的点数不同。 （3）因为有 4种花色，要想保证有 2张花色相同，考虑最不利原则，先取的 4张牌都是不同 花色的，再任意取一张就有 2张牌的花色相同。 （4）因为有 4种花色，每种花色都是 13 张，要想保证有 2张红桃，考虑最不利原则，先把其 它三种花色取完，再取 2张就有 2张牌是红桃。 【详解】（1）13＋1＝14（张） 答：至少取 14 张牌，保证有 2张牌的点数相同。 （2）4＋1＝5（张） 答：至少取 5张牌，保证有 2张牌的点数不同。 5 （3）4＋1＝5（张） 答：至少取 5张牌，保证有 2张花色相同。 （4）13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（张） 答：至少取 41 张牌，保证有 2张红桃。 【点睛】本题考查鸽巣问题（抽屉问题），采用最不利原则进行分析是解题的关键。 13．44 名 【分析】从最不利的情况考虑：只有一名学生拿到了 4个小礼物，其他学生每人拿到了 3个小 礼物，那么小礼物的总个数减 1刚好是 3的倍数，此时学生的总人数＝（礼物总个数－1）÷3， 据此解答。 【详解】（133－1）÷3 ＝132÷3 ＝44（名） 答：李老师班里最多有 44 名学生。 【点睛】本题主要考查鸽巢原理的应用，从最不利情况考虑问题是解答题目的关键。 14．10 人 【分析】我们可以根据鸽巢原理公式倒着推，即如果把 n个物体放在 m个鸽巢里，其中 n＞m， 那么必有一个鸽巢至少有： k＝（n÷m ）＋1个物体（当 n不能被 m整除时）。 此题把游玩的总人数看成分放的物体总数 n。游览方案有以下 3种：AB、AC、BC ，把 3种游 览方案看成 3个鸽巢数 m。至少有 4个人游览景点相同，就是要使其中一个鸽巢里至少有 4人， 则游玩的总人数至少要比鸽巢数的（4－１）倍多１个。 【详解】游览方案有以下 3种：AB、AC、BC 。 （4－1）×3＋1 ＝3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（人）。 答：至少有 10 人去游玩。 【点睛】运用逆推法解决鸽巢问题。