高二数学月考卷（北京专用，人教A版2019）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第5章；选择性必修第三册第6.7章 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（    ） A．种 B．种 C．24种 D．10种 【答案】B 【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种. 故选：B 2．若随机变量X服从两点分布，，则为（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 【答案】A 【详解】由分布列的性质可知：， 又， 两式相减易得：， 故选：A 3．在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 4．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：B． 5．函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 【答案】D 【详解】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D 6．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】D 【详解】由题意得，总利润为， 当时，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则时，； 当时，，函数单调递减， 所以， 所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大． 故选：D. 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设函数，其定义域为． 对求导，根据求导公式，可得． 因为，所以，则． 这表明函数在上单调递增． 当时，，即，移项可得． 所以由能推出，充分性成立． 当时，即． 因为，且在上单调递增，所以时，． 这说明当时，不一定有，必要性不成立． 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 8．已知函数，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：D. 9．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 将进行变形，给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 10．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 令， 则，恒成立，即恒成立，即， ， 令，解得， 令，即在上单调递增； 令，即在上单调递减. ， ，， 令，， 令，即在单调递增； 令，即在单调递减； ， ，即的取值范围为. 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ． 【答案】 【详解】第一步：排末位，可以选，共有种； 第二步：排前四位，共有种； 所以组成无重复数字的五位数奇数有种； 故答案为：． 12．设随机变量，若，则 ． 【答案】0.3/ 【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 又因为，所以，所以 又因为，所以0.3. 故答案为：0.3. 13．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 14．已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，则， 当时，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 此时； 当时，，易知函数在上单调递减，则. 综上可得. 由题意可设函数的两个极值点分别为，且， 由二次函数在上单调递增，在上单调递减， 一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 易知函数在与上单调递增，在上单调递减， 且，，可得，解得. 故答案为：；. 15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的有      ①．第2025行共有2025个数 ②．第3斜列为：，则该数列的前项和为 ③．70在杨辉三角中共出现了3次 ④．记第行的第个数为，则. 【答案】②③④ 【详解】对于①：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以①错误； 对于②：由公式得： ，所以②正确. 对于③：由组合数可知只有，所以③正确， 对于④，记第行的第个数为，则， 则，④正确； 故选：②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（15分）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种；（5分） （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种；（5分） （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种.（5分） 17．（14分）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，.（4分） （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题.（10分） （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， .（14分） 18．（13分）已知函数若函数在处取得极小值. (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极大值. 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取到极小值，符合题意． 所以．（6分） （2）由（1）知， ，， ， 令，则或， 当时， 或 ，所以在，上单调递增； 当时，，在单调递减． 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，函数取到极大值，即.（13分） 19．（14分）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以.（4分） （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .  （11分） （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以.（14分） 20．（15分）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）首先求的导数，可得. 然后分情况讨论： 当时，因为恒成立，所以恒成立.所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，所以.此时单调递减. 当时，，所以.此时单调递增.    综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.（6分） （2）当时，恒成立，即，移项可得. 因为，两边同时除以，得到恒成立. 令，对求导，可得. 令，对求导，可得.因为，所以，即.可知在上单调递增. 那么，即在上恒成立. 令，即，因为，，所以的解为. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递增. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递减. 所以在处取得最小值，. 因为恒成立，所以，即的取值范围为.（15分） 21．（15分）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为.（4分） （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（9分） （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是.（15分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第5章；选择性必修第三册第6.7章 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（    ） A．种 B．种 C．24种 D．10种 2．若随机变量X服从两点分布，，则为（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 3．在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 6．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 9．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 10．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ． 12．设随机变量，若，则 ． 13．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 14．已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      ①．第2025行共有2025个数 ②．第3斜列为：，则该数列的前项和为 ③．70在杨辉三角中共出现了3次 ④．记第行的第个数为，则. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（15分）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17．（14分）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 18．（13分）已知函数若函数在处取得极小值. (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极大值. 19．（14分）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 20．（15分）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 21．（15分）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第5章；选择性必修第三册第6.7章 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（    ） A．种 B．种 C．24种 D．10种 2．若随机变量X服从两点分布，，则为（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 3．在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 6．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 9．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 10．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ． 12．设随机变量，若，则 ． 13．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 14．已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      ①．第2025行共有2025个数 ②．第3斜列为：，则该数列的前项和为 ③．70在杨辉三角中共出现了3次 ④．记第行的第个数为，则. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（15分）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17．（14分）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 18．（13分）已知函数若函数在处取得极小值. (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极大值. 19．（14分）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 20．（15分）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 21．（15分）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考数学试卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D B D D A D C B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13． 14． 15．②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分） 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种；（5分） （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种；（5分） （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种.（5分） 17．（满分14分） 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，.（4分） （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题.（10分） （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， .（14分） 18．（满分14分） 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取到极小值，符合题意． 所以．（6分） （2）由（1）知， ，， ， 令，则或， 当时， 或 ，所以在，上单调递增； 当时，，在单调递减． 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，函数取到极大值，即.（13分） 19．（满分14分） 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以.（4分） （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .  （11分） （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以.（14分） 20．（满分14分） 【详解】（1）首先求的导数，可得. 然后分情况讨论： 当时，因为恒成立，所以恒成立.所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，所以.此时单调递减. 当时，，所以.此时单调递增.    综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.（6分） （2）当时，恒成立，即，移项可得. 因为，两边同时除以，得到恒成立. 令，对求导，可得. 令，对求导，可得.因为，所以，即.可知在上单调递增. 那么，即在上恒成立. 令，即，因为，，所以的解为. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递增. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递减. 所以在处取得最小值，. 因为恒成立，所以，即的取值范围为.（15分） 21．（满分15分） 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为.（4分） （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（9分） （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是.（15分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$