突破解答题01 中档题突破（精选最新模拟共4组20题）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考通用）

冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题（中档题） （题组1） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列，若，点、在斜率是的直线上. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）斜率公式结合等差数列的定义推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求出数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）由点、在斜率是的直线上得：， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知：， 所以. 2．（2025·江西宜春·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，的面积为，求a. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再利用正弦定理化简，即可由余弦定理得出； （2）由面积公式得出，再由余弦定理得出，结合条件即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 所以. 由余弦定理得， 因为，所以. （2）的面积为，解得. 由（1）可得，所以， 即，所以，解得（舍去）. 3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形， (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据勾股定理证明，，由线面垂直的判定定理得证； （2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面的一个法向量，利用向量法求出二面角. 【详解】（1）由题设，在圆O中，直径，又是下底面圆的内接正三角形， 故可得，所以， 因为，可得， 故 同理，可得，又，平面， 所以平面. （2）过O作交于点N，因为平面， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得， 所以， 故， 设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角， 所以. 5．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （2）分别设出直线，的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出，进而解方程求解即可； （3）由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 当直线的斜率为1时，直线的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，， 设，直线， 联立，可得， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. （3）因为直线、的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （题组2） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解， （2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解. 【详解】（1）由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. （2）因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 2．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】(1)方案一 (2) 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【详解】（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 （2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 3．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【详解】（1）当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； （2），， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与交于，两点，当直线垂直于时，． (1)求的方程； (2)若的内切圆的半径为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积列式求出直线方程. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为，由离心率为，得，， 椭圆，当时，，依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，，设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，， 的面积， 由的内切圆的半径，得， 因此，整理得，即， 解得，所以直线的方程. 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）定义“窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于，则称该数列为“窄度数列”. (1)试问数列是否为“1000窄度数列”？（无需说明理由） (2)若数列的前项和为，证明：数列为“1窄度数列”. (3)若数列为等比数列，且，求数列的通项公式，并证明为“窄度数列”. 【答案】(1)不是 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由新定义即可判断； （2）由新定义结合等比数列求和公式即可判断； （3）由等比数列公式及新定义即可求解. 【详解】（1）数列不是“1000窄度数列”.   取分别取， 此时，故不是； （2）证明：，     . 因为，所以， 所以数列中任意两项的差均小于1，故数列为“1窄度数列”. （3）解：因为，所以，， 所以等比数列的公比为，则，则. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以数列从第二项起为递增数列. 又，，所以，     所以数列中任意两项的差均小于，所以数列为“窄度数列”. （题组3） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·四川泸州·模拟预测）某校课题组在高一年级选取A，B两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中A班为常规教学班，B班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人.在某次数学测试后，对A，B两班学生的数学成绩（单位：分）进行整理，分数分布在内，按照，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优秀，大于或等于120分为优秀. (1)由以上统计数据填写下面的列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关？ (2)对A，B两班成绩在110分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从抽取的这6人中随机抽取2人，记为抽取的2人中来自A班的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 数学成绩 A班 B班 总计 优秀 不优秀 总计 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析；有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图得出优秀人数，计算卡方，根据临界值可判断； （2）先确定两班选出的人数，利用古典概率可求分布列，利用期望公式可得期望. 【详解】（1）由图可知，A班优秀人数为：； B班优秀人数为：； 数学成绩 A班 B班 总计 优秀 22 32 54 不优秀 28 18 46 总计 50 50 100 , 所以有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关. （2）由图可知，A班110分以下人数为：； B班110分以下人数为：； 采用分层随机抽样的方法抽出6人中，A班有4人，B班有2人， 所有取值为：0,1,2； ， ； 分布列为 X 0 1 2 P . 2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角和的正弦公式计算可得，再由三角形内角的范围可求出结果； （2）利用正弦定理以及三角形内角的关系，结合余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）由得， 故， 所以． 因为， 故，由三角形内角范围 所以； （2）由，，故为边长为4的等边三角形， 在中，， 由正弦定理得，故， 由于， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 得. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得出，且进而求得，即可求得椭圆和圆的方程； （2）首先由椭圆方程得出焦点坐标，设的坐标为，的坐标为，不妨取，根据点到直线距离公式求得，再根据两点间距离公式求得，即可证明为定值． 【详解】（1）已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形，设椭圆的焦距为， 则：，且， 所以，则椭圆的方程为：， 圆的方程为：． （2）证明：由椭圆方程得， 因为轴，所以设的坐标为，的坐标为，不妨取， 因为直线与圆切于点，切线的方程为：， 因为，所以， 由得，， 又，所以， 因为，所以， 所以． 4．（2025·山东·模拟预测）如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面． （2）过点作，垂足为，根据面面垂直性质定理证明平面，结合锥体体积公式可得，再求和的面积的最大值，由此可得结论； （3）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）由题意知四边形存在外接圆， 故， 而，即， 所以，故， 由平面，平面，可得， 而，平面，平面， 故平面， 又因为平面，故平面平面． （2）如图，过点作，垂足为， 由（1）平面平面，又平面平面，平面， 所以平面． 设四边形的面积为， 则四棱锥的体积， 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以，则点P在以AB为直径的圆上， 当时，PH最大，最大值为． 因为，所以点在以为直径的圆上，且， 当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形． 所以四棱锥体积的最大值为． （3）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图． 由（2）可知，，，． 所以，，． 设平面PBD的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面PBD的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明； （2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果. 【详解】（1）证明：的定义域为. . 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. （2）由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. （题组4） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·湖北·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理，得，即， 又，所以， 所以，故. （2）由的面积为，得，所以. 由余弦定理，得， 所以， 设边上的高， 由，解得. 2．（2025·湖北·一模）已知椭圆的长轴长为4，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为1. (1)求椭圆的方程； (2)当直线倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的性质，求出，； （2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理找出中点和弦长，用圆的标准方程求解即可. 【详解】（1）证明：依题意，故，则椭圆方程为， 设，则直线的方程为，代入得， 则，， 则，， 则， 又线段的长度为1 则，故椭圆方程为. （2）由（1）知，又直线倾斜角为 故直线的方程为，代入并整理得 ， 设，，则，， 故， 故以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛. (1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联？ 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 历史类学生 50 300 总计 1000 (2)已知高三（1）班在初赛中每个学生答对的概率均为，各人是否答对相互独立，若初赛中高三（1）班恰有人答对的概率记为，求证：当取得最大值时，； (3)若高三（1）班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为，各人是否答对相互独立，记决赛中高三（1）班答题的人数为，求证：. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）完善列联表，计算，根据独立性检验的原理即可求解； （2）根据独立重复实验高三（1）班恰有人答对的概率为，利用导数即可求证； （3）由题意，且，则有，利用错位相减法即可求，进而得证. 【详解】（1）列联表如下： 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 350 700 历史类学生 250 50 300 总计 600 400 1000 零假设为：学生是否答对题目与选科类型无关联， 由表中的数据，得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能够认为学生是否答对题目与选科类型有关联. （2）证明：高三（1）班恰有人答对的概率为， 则 因为，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当取得最大值时，. （3）证明：由题意可得的可能取值有， 则，且， 所以①， ②， ①-②，得， 所以 ， 因为，所以. 所以. 4．（2025·江西萍乡·二模）如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）设与相交于点，连接， ∵四边形为菱形，，且为中点，又，， ∵，平面BDEF，∴平面， 又平面，所以平面平面； （2） 连接，∵四边形为菱形，且， 为等边三角形， ∵为中点，∴，又，，平面， 平面．故OA，OB，OF两两互相垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形为菱形，，，． 为等边三角形，∴． ，, 则，因为，即， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 取， 设与平面所成角为，则， 解得或，又，所以. 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定定义求解特殊点处的曲率即可. （2）利用给定定义将目标式表示为一元函数，再不断换元，转化为三次函数最值问题，利用导数得到最值，进而求解取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题（中档题） （题组1） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列，若，点、在斜率是的直线上. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（2025·江西宜春·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，的面积为，求a. 3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形， (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 5．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． （题组2） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 2．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 3．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与交于，两点，当直线垂直于时，． (1)求的方程； (2)若的内切圆的半径为，求直线的方程． 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）定义“窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于，则称该数列为“窄度数列”. (1)试问数列是否为“1000窄度数列”？（无需说明理由） (2)若数列的前项和为，证明：数列为“1窄度数列”. (3)若数列为等比数列，且，求数列的通项公式，并证明为“窄度数列”. （题组3） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·四川泸州·模拟预测）某校课题组在高一年级选取A，B两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中A班为常规教学班，B班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人.在某次数学测试后，对A，B两班学生的数学成绩（单位：分）进行整理，分数分布在内，按照，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优秀，大于或等于120分为优秀. (1)由以上统计数据填写下面的列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关？ (2)对A，B两班成绩在110分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从抽取的这6人中随机抽取2人，记为抽取的2人中来自A班的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 数学成绩 A班 B班 总计 优秀 不优秀 总计 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 4．（2025·山东·模拟预测）如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. （题组4） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·湖北·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求边上的高. 2．（2025·湖北·一模）已知椭圆的长轴长为4，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为1. (1)求椭圆的方程； (2)当直线倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程. 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛. (1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联？ 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 历史类学生 50 300 总计 1000 (2)已知高三（1）班在初赛中每个学生答对的概率均为，各人是否答对相互独立，若初赛中高三（1）班恰有人答对的概率记为，求证：当取得最大值时，； (3)若高三（1）班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为，各人是否答对相互独立，记决赛中高三（1）班答题的人数为，求证：. 附：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 4．（2025·江西萍乡·二模）如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$