狂练小题（一）选择题、填空题突破（精选最新模拟共3组42题）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考通用）

冲刺2025年高考数学分题型专项突破 狂练小题（一） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·江苏泰州·二模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集、补集的定义，直接求解即可得解. 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：A 2．（2025·湖南娄底·二模）已知（）为纯虚数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用复数的除法求出，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由为纯虚数，得，所以. 故选：C 3．（2025·黑龙江大庆·三模）若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知单位向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先计算，再利用投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，则，得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 5．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】， ， 两边同时除以， ， ， ， ，解得，. 故选：C 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 8．（24-25高三下·重庆荣昌·阶段练习）已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得为周期函数，作出其图象，的图象有两段，左侧图象不含参数，故可以先确定、的图象在轴左侧的交点个数，再根据余下交点个数确定的图象在右侧如何变化，从而确定出满足的不等式，解这个不等式就得到的取值范围． 【详解】因为，所以周期为， 如图作出的图象与的图象，在有两个不同的交点， 故的图象与在有4个不同的交点， 由此时的图象应如图所示： 故 ，当 时，解得，当 时，解得， 故或， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·江西·三模）已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 针对上表数据，下列说法正确的有（    ） A．销量的极差为3.6 B．销量的60%分位数是13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为，则 【答案】ACD 【分析】根据一组数据的极差，百分位数，平均数和中位数的概念可逐一判断A，B，C选项，根据样本点在回归直线上的特征可求得的值. 【详解】对于A，因销量的最大值为15.3，最小值为11.7，故极差为，故A正确； 对于B，将销量按照从小到大排列为：， 由，可知销量的60%分位数是第四个数13.8，故B错误； 对于C，销量的平均数为，而中位数为，故C正确； 对于D，因，，样本中心点在回归直线上， 故有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·河南·二模）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据图像代入点坐标，结合条件即可求出解析式，利用代入法即可判断选项A，结合函数单调区间即可判断选项B，利用导数直接求出“在”一点处的切线方程，即可判断选项C，根据图像平移求出解析式，即可判断选项D. 【详解】由图可得，即， 而，可得， 又，即， 可得，， 可得，， 又，且，即，即，可得， ， 对于选项A，，， 不是函数的对称中心，故A不正确； 对于选项B，，可得， 函数在上是单调递增，故B正确； 对于选项C中，，， 则在点处的切线方程为，故C正确； 对于选项D中，将向左平移个单位后， 可得，则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，这是曲线，设和为曲线上的任意两点，且满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．满足且的点共有4个 C．曲线关于直线对称 D．任取一点，该点满足且的概率为 【答案】ACD 【分析】对于A，用基本不等式的推论即可证明； 对于B，根据A可判断，再代入整数计算即可判断； 对于C，代入，即可判断； 对于D，求出所有横坐标或者纵坐标为整数的点的个数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】， ，当且仅当时取等号，A项正确； ，满足且的点共有，，，，这5个，B项错误； 将点代入曲线， 可得，所以对称，点代入曲线， 可得，所以对称，C项正确； 曲线具有对称性，只研究曲线在第一象限上的点的横坐标或纵坐标为整数的情况， 令，则，不妨设，则有， 令，，则， ，解得或， 有两个正根1和， 结合曲线的对称性可知在第一象限横坐标或纵坐标为整数的点共有3个： ，，，四个象限一共个，再加上， 整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个， 任取一点，该点满足且的概率为，D项正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若，则二项式展开式中常数项为 ．（结果用数字作答） 【答案】1120 【分析】利用组合公式求出n的值，写出二项展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值. 【详解】由题意得，且， 由得 所以的展开式通项为， 令， 所以二项式展开式中常数项为， 故答案为：1120 13．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正四棱台及半球的结构特征，结合切线的性质列式求出半球的半径，进而求出其表面积. 【详解】如图，记正四棱台的上底面的中心为， 过作平面于，则点在上， 记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的结构特征知，为的中点， 由，得，记半球半径为， 则， 于是， 在中，，解得， 所以半球的表面积为. 故答案为： 14．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】    在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为. 设点，根据抛物线的定义，可得，解得. 把代入，得，因为，所以，即. 将圆化为标准方程： ，从而圆心为，半径. 故. 故答案为：. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·山东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到，根据交集概念求出交集. 【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e． 故. 故选：A 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率为，由求解. 【详解】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或9 【答案】A 【分析】根据题意结合等比中项运算求解，并根据同号取舍. 【详解】因为数列为等比数列， 则，则， 又因为，所以或9， 且，可知同号，所以. 故选：A. 4．（2025·安徽·三模）已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（   ） A．280 B． C．560 D． 【答案】D 【分析】利用分位数求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】由，得， 则展开式中含的项为， 所以所求的系数为. 故选：D 5．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件结合对数运算性质计算即可求解. 【详解】由题得， 所以，所以与最接近的是. 故选：C 6．（2025·江苏泰州·二模）在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，假设点的坐标，进而可表示成关于角的三角函数，结合辅助角公式及正弦函数的图象可求其最大值. 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上，设 为等边三角形，， ， ， ， 当，即时，， 故选：B. 7．（2025·山东·模拟预测）在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到，利用求出，根据方程特征得到答案. 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则， 因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 离心率为， 故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分． 故选：D 8．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由存在两个不同的点满足条件，可得出存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·湖南·二模）若，均为复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若， D．若，在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是 【答案】AC 【分析】设，，求出复数的模判断A；利用特值法判断B；利用复数的运算以及复数的分类判断C；化简复数后求出对应点坐标判断D. 【详解】，，则， ，，故A正确 设，，则，而，故B错误 设，，则，则，故C正确 因为，因此，所对应点为 该点在第一象限，说明，即，故D错误. 故选：AC. 10．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 【答案】ABD 【分析】应用偶函数定义判断A，根据正弦函数及余弦函数的周期判断B，取特殊值计算判断C，根据周期内零点个数结合周期判断D. 【详解】A项：的定义域为，， 即证明，A选项正确； B项：，因为函数的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，B选项正确； C项：取，，C选项错误； D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期， 在每个周期内存在2个零点， 因为区间的长度为，又 所以6个周期内为12个零点，D选项正确. 故选：ABD. 11．（2025·陕西宝鸡·三模）在三维空间中，一个方程含有三个变量，如，这个方程通常表示一个曲面；曲面上的任一点都满足这个方程，而满足该方程的任一点也必定在该曲面上.已知在空间坐标系中将平面内的椭圆绕其长轴旋转一周得到的封闭的曲面称为椭球面，其方程为，该曲面围成的几何体称为椭球体，设，则下列说法正确的有（    ） A．点在椭球体内 B．设点为椭球体表面上一动点，则 C．椭球体必存在内接正方体（正方体的8个顶点均在椭球表面上） D．椭球体的内接圆柱（圆柱的母线与轴平行）的侧面积最大值为 【答案】BCD 【分析】A项，将坐标代入即可得出结论；B项，求出为椭球体的交点，即可得出结论；C项，设出正方体的顶点，代入椭球体的方程，得出顶点坐标和正方体边长，即可得出结论；D项，写出侧面积表达式，通过求导利用单调性得出最值，即可得出结论. 【详解】A项，∵， ∴点在椭球体外，A错误； B项，在中，， 在中，为椭球面焦点， ∴若点为椭球体表面上一动点，则，故B正确； C项，设椭球体存在内接正方体，其顶点为， 代入椭球方程，，解得：（舍）或， ∴椭球体必存在内接正方体（正方体的8个顶点均在椭球表面上）， 其顶点为，边长为，故C正确； D项，圆柱母线平行于轴，横截面圆方程为，满足， 设圆柱的高度为，则两端在，有， 侧面积，， ∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增， ∴函数在处取最大值， 此时，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 13．（2025·陕西宝鸡·三模）三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时两两互相垂直，取的中点,连接利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值. 【详解】 依题意可得三棱锥体积为 因为所以当面时，即时三棱锥体积最大，此时两两互相垂直. 取的中点为，连接 因为所以 又因为所以，所以为二面角的平面角，又因为 所以二面角的正切值为 故答案为:. 14．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·天津市和平区·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 2．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 4．（2025·安徽·模拟预测）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由线面的平行及垂直进行判断． 【详解】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 5．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 6．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为， 过作的垂线，则为的中点， ，，则， 又，所以是的中点， 所以直线的斜率， ，则， . 故选：D.    7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列及等比数列的定义计算判断①②，再根据解析式计算判断③. 【详解】数列满足， 当为偶数时，，所以，， 所以，所以，所以，所以数列为等比数列，①正确； 当为奇数时，，所以， 所以，所以，所以，所以数列为等差数列，②正确； 因为时，. 数列为等差数列，所以,③正确； 故选：D. 8．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（   ）    A．关于直线对称 B．的弦长最大值大于 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 【答案】D 【分析】判断两函数的关系，判断A的真假；求函数被直线截得的弦长，判断B真假；求曲线上的点到直线距离的最大值，判断C的真假；构造矩形包含图形，求矩形的面积，判断D的真假. 【详解】如图：    对A：由，所以函数的反函数为，所以关于直线对称，故A正确； 对B：有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于.故B正确； 对C：因为直线与直线垂直，设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故C正确； 对D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，如图所示，构成矩形，该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又，， 所以矩形的面积为. 又，所以D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对D选项，关键是构造矩形包含图形，求出矩形面积，与比较即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·浙江·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 【答案】BD 【分析】利用上四分位数的性质判断A，利用条件概率公式和独立事件概率公式判断B，利用散点图的性质判断C，利用决定系数的性质判断D即可. 【详解】对于A，我们把数据重新排列，得到， 又，所以数据的上四分位数为，故A错误； 对于B，因为，所以， 由条件概率公式得，得到，即相互独立，故B正确； 对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误； 对于D，由于，变成了， 则，， 从而都不变，则，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 【答案】ABD 【分析】应用偶函数定义判断A，根据正弦函数及余弦函数的周期判断B，取特殊值计算判断C，根据周期内零点个数结合周期判断D. 【详解】A项：的定义域为，， 即证明，A选项正确； B项：，因为函数的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，B选项正确； C项：取，，C选项错误； D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期， 在每个周期内存在2个零点， 因为区间的长度为，又 所以6个周期内为12个零点，D选项正确. 故选：ABD. 11．（2025·四川南充·三模）已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若方程有4个不等的实根，则 D．当时，若的两实根为，，则 【答案】ABD 【分析】根据题意求出，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利用为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项. 【详解】由题意知，，故即， 且，故， 对于A，，故A正确； 对于B，故在上，单调递增； 在和上，单调递减； 故且故，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根， 且在和上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C错误； 对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，， 则， 且，故， 引入不等式， 证明过程如下：不妨设， 因为， 设，，则问题转化为：，． 令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以， 故，成立，所以． 故， 故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【答案】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 13．（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则 . 【答案】/ 【分析】在中，由正弦定理可得，再在中，利用正弦定理化简可得，进而可得与，即可得解. 【详解】 如图所示，设等边三角形的边长为， 又，，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 化简可得，即， 在中，由正弦定理， 化简可得，即， 又在中可知，， 则，， 即， 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的是 ①勒洛四面体最大的截面是正三角形 ②若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4 ③勒洛四面体的体积是 ④勒洛四面体内切球的半径是 【答案】②④ 【分析】根据勒洛四面体的定义及其外接球的体积，内切球的性质可得答案. 【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面， 如图1所示，故①错误． 根据勒洛四面体的性质，可知它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故②正确． 如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径． 如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接，由正四面体的性质可知点在上． 因为，所以，则． 因为，即， 解得， 则正四面体外接球的体积是． 因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，故③错误． 因为，所以，故④正确． 故答案为：②④． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年高考数学分题型专项突破 狂练小题（一） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·江苏泰州·二模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·二模）已知（）为纯虚数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2025·黑龙江大庆·三模）若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知单位向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·重庆荣昌·阶段练习）已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·江西·三模）已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 针对上表数据，下列说法正确的有（    ） A．销量的极差为3.6 B．销量的60%分位数是13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为，则 10．（2025·河南·二模）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，这是曲线，设和为曲线上的任意两点，且满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．满足且的点共有4个 C．曲线关于直线对称 D．任取一点，该点满足且的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若，则二项式展开式中常数项为 ．（结果用数字作答） 13．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 . 14．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·山东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或9 4．（2025·安徽·三模）已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（   ） A．280 B． C．560 D． 5．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏泰州·二模）在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A．4 B． C． D．6 7．（2025·山东·模拟预测）在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 8．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·湖南·二模）若，均为复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若， D．若，在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是 10．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 11．（2025·陕西宝鸡·三模）在三维空间中，一个方程含有三个变量，如，这个方程通常表示一个曲面；曲面上的任一点都满足这个方程，而满足该方程的任一点也必定在该曲面上.已知在空间坐标系中将平面内的椭圆绕其长轴旋转一周得到的封闭的曲面称为椭球面，其方程为，该曲面围成的几何体称为椭球体，设，则下列说法正确的有（    ） A．点在椭球体内 B．设点为椭球体表面上一动点，则 C．椭球体必存在内接正方体（正方体的8个顶点均在椭球表面上） D．椭球体的内接圆柱（圆柱的母线与轴平行）的侧面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 13．（2025·陕西宝鸡·三模）三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 14．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·天津市和平区·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·安徽·模拟预测）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 6．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（   ）    A．关于直线对称 B．的弦长最大值大于 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·浙江·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 10．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 11．（2025·四川南充·三模）已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若方程有4个不等的实根，则 D．当时，若的两实根为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 13．（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则 . 14．（2025高三·全国·专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的是 ①勒洛四面体最大的截面是正三角形 ②若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4 ③勒洛四面体的体积是 ④勒洛四面体内切球的半径是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$