突破解答题03 新定义与创新题（精选最新模拟共15题）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考通用）

冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题03（新定义题） 1．（2025·江西景德镇·二模）对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，． (1)当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值； (2)求证：对于任意给定的一个的值，在上总存在三个不同的零点，且； (3)函数在区间与的最佳逼近直线分别为与，它们在轴截距分别为与，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得在递减，递增，求出最小值，再根据即可求得结果. （2）构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果. （3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果. 【详解】（1），，令解得，解 得，∴在递减，递增， ∴在时取最小值（如图1）， 当处时，均有，故此时的值为． （2）令，即，两边同时取对数并化简整理得：， 记，构造函数，发现，，令，即，∵， ∴此方程存在两不等根，由韦达定理可知， ∴，不难得出函数在上递减，上递增，上递减（如图2）， 且，∴． ∵， 令，则， ∴关于单调递增，∴， 故在上存在零点． 又，于是，． 令， 由对勾函数可知时单调递增，且， 故，即． 而， ∴． （3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时． 如图3，显然在点与之间，若斜向上，则， 此时中至少有一个的值大于，同理，若斜向下， 则中至少有一个的值大于，∴在区间的最佳逼近直线为． ，当时，的最小值在处取到．而， ∴， 由的任意性可知也具有任意性，即的最小值在处取到， 故函数在区间的最佳逼近直线的方程为． 同理可得的方程为． 又 ． （或∵，∴） 故 【点睛】关键点点睛：对于第二小问：利用构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果. 第三小问：先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果. 2．（2024·四川成都·模拟预测）设动点到点的距离与到直线的距离之积等于4，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线与轴的交点的坐标. (2)过点作不与坐标轴垂直的直线. （i）判断直线与曲线的交点的个数，并证明你的结论； （ii）定义平面上个点的重心为满足的点，若直线与曲线的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标. （注：关于的一元次方程有个复数根，且，.） 【答案】(1)与 (2)（i）4个，证明见解析; （ii） 【分析】（1）设点，列式求出曲线的方程，进而求出该曲线与x轴交点坐标. （2）（i）设出直线的方程并与曲线的方程联立，再构造函数，结合零点存在性定理推理判断即可；（ii）由（i）的信息求出重心的坐标表示式，再与已知结合求出其横坐标. 【详解】（1）设，则，即， 令，得，解得或， 所以曲线与轴交于与三点. （2）（i）交点个数为4，证明如下： 设直线的方程为， 由，消去得， 即， 记，则至多有4个不相等的实数根， 函数在R上的图象连续不断， 且，，， ，， 从而在，，，上各有一个实数根， 因此有4个不相等的实数根，所以直线与曲线有4个不同的交点. （ii）设直线与曲线交于点，它们的重心为， 依题意，，则， ， 显然，而，则，即， 整理得，又，即， 因此， 即， 解得，所以点的横坐标为. 【点睛】思路点睛：本题第2问，求直线与曲线交点个数，消元构造函数，转化为零点存在性判断零点个数求解. 3．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 【答案】(1)；． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可； （2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可； （3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可. 【详解】（1）， ． （2）， 要证明， 需证明． 等式右边： ． 等式左边： 因为， 所以 ． 等式左右两边相等，因此成立． （3）由（2）得，因为， 所以（1）中机器人的检测效果一般． 4．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）定义二元函数（，），同时满足：①；②；③三个条件. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)若，，.比较与0的大小关系，并说明理由. 附：参考公式；；；. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）由题中给的三个条件逐步计算即可得到结果； （2）由条件①得；由条件②结合的结果即可得到； （3）由（2）得到的通项，由此得到，两边同乘后借助2倍角公式和参考公式整理等式.然后由三角函数的最小值对得到的最小值并求出取等号时的值，然后在讨论的不同取值得到不同的关系. 【详解】（1）因为，由②得， 由①得，. （2）由①得：，，， 将上述等式相加，可得， 所以，也满足此式，故. 由②得，，，， 将上述等式相加，可得， 所以. 而也满足此式，故. （3）由（2）知， ， 所以 ， 当且仅当时，，上式取得等号， 即当时，均有， 所以当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点睛，本题是新定义题目，根据定义中的三个条件进行解题是第一个关键；在得到的式子后，要从给到的参考公式进行分析，然后得到等式两边同乘是第二个关键；三角函数的有界性是本题的第三个关键. 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知 (1)当且时，求的极值； (2)对于一切时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”.设数列满足.证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”. 【答案】(1)极小值，极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值； （2）方法一构造新函数先求出导函数得出函数单调性即可计算求参；方法二先参数分离再构造新函数先求出导函数得出函数单调性即可计算求参； （3）结合数列新定义结合函数单调性及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）由题知， ， 令，则，又则或，则或， 0 - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 所以 . （2）对于一切，不等式亘成立，即恒成立. 方法一：设，则， 设， 设，则 则在上单调递增，，即 所以在上单调递增， ①当，即时，在上恒成立，符合题意. ②当，即时，由于且在上单调递增， 存在，使得，且在上，单调递减， 故在上，，不合题意. 综上，. 方法二：对于一切恒成立. 设则 设， 则 设，则 则在上单调递增，， 即所以在上单调递增，， 则在上单调递增，当时，由洛必达法则知，则 综上知，. （3）对于一切恒成立，证明如下： 令，则 则在上单调递增，，即对恒成立. 当时，，即， 由，其中，所以 当 又当时，成立； 综上所述，任意都有，故数列为“和上界数列”，且不小于4的常数4为数列的“和上界”. 6．（2025·陕西咸阳·二模）已知为实数，将函数的图象向左平移一个单位长度得到的图象，设函数.定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“魅力数组”. (1)已知为的导函数，讨论的单调性； (2)若，判断是否为的“魅力数组”，并说明理由； (3)若对任意，都是的“魅力数组”，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平移可得，求导，即可分类讨论导函数的正负求解单调性. （2）取，时， ，， 代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可； （3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可. 【详解】（1）因为的图象向左平移一个单位长度得到的图象，函数， 所以， 所以，， 令，则， 若，则，从而，所以即在上单调递增. 若，则当时，，所以即单调递减； 当时，，所以即单调递增. 综上所述，若，则在上单调递增， 若，则在上单调递减，在上单调递增. （2）若，， 对，即， 而当，时， ，， 即，不满足题意. 所以不是的“魅力数组”. （3）都是的“魅力数组”， 对任意，，都有，则恒成立或恒成立， 即恒成立或恒成立， 设， 则，即是的最大值或最小值. ，且. 设，则 则当时，在上为负，在上为正. 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，，当时，， 即存在，使在上为正，在上为负，在上为正， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，则的值域为， 若，，在上单调递增， 又当时，，当时，，则的值域为， 所以当时，的值域为，无最大值或最小值，不符合题意. 当时，，所以在上单调递增， 又，则在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则是的最小值，满足. 此时对任意，，都有. 的取值范围是. 7．（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)，0.182 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意分别对两个函数求导，建立方程组，可得答案； （2）整理不等式，构造函数并求导，根据二次函数的性质，可得答案； （3）利用两边取对数整理不等式，构造函数，利用导数求得其最值，利用（2）的结论，可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以，解得， . （2）解法1：设， 则在上恒成立.若，则显然成立； 若， 设， ，当时，， 因此，即在上单调递增， 时，，满足题意； 当时，在上单调递减，因为， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即在单调递减， 时，，与已知矛盾，舍去. 综上，实数的取值范围为. 解法2：设， 则在上恒成立.因为，， 所以，解得， 当时，， 在上单调递增，时，恒成立. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：要证时，，即证， 设，则，令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 因此， 因此只需证，即证. 设， 则在上单调递增， ，即， 令，则，因此原不等式成立. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 8．（2025·江苏泰州·一模）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)求C的方程； (2)若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； (3)若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程； （2）设，则直线的方程为，联立椭圆方程消去y，结合求得，根据题设定义，利用对称性有得到方程，即可求参数值； （3）由（2）易得与关于原点对称，结合椭圆对称性有与关于原点对称，与重合，进而有是以4为周期的周期点列，得的面积等于的面积，再应用点线距离公式、三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题设有，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则直线的方程为，与的方程联立， 消去得. 因为，所以. 因为是它的一根，所以， 即.（*） 若，经过3次操作后停止，即为. 将代入（*）式得，， 因为关于原点对称，，所以与关于原点对称， 因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称， 所以，解得， 综上，当时，. （3）当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称. 如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合， 所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积. 因为直线的方程为， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到、的面积等于的面积为关键. 9．（2025·安徽安庆·二模）定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. (1)若满足，证明：为等比数列： (2)定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求导，然后利用等比数列的定义证明即可； （2）①构造函数，求导，结合条件判断其单调性，得出，然后错位相减法即可完成证明； ②利用①构造的函数得出，然后证明即可. 【详解】（1）由，得，显然， 又，故为首项为1，公比为2的等比数列. （2）① 设，则， 因为时，所以在恒成立， 故在上单调递增， 当， 得，故， 令， 则， 故，由于， 得； ②当时，左边右边都等于0，显然成立； 当时，由于在上单调递增， 若，则，即， 此时，由①得，所以， 若，则，即， 此时，所以，故， 下证：当，且时，，令， 即证明：. 令，故在上单调递减， 故时，，即， 时，，即， 从而， 故. 10．（2025·河北保定·模拟预测）记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为. (1)若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值； (2)若，求使取得最大值的集合的个数； (3)对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且. 【答案】(1) (2)集合的个数为11. (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的新定义计算求解； （2）根据集合的新定义结合组合数计算求解； （3）根据集合的新定义结合乘法原理得出子集的个数计算求解； 【详解】（1）先后经过和变换后得到的数阵， 则或集合中一个元素为7，另一个元素为或8， 所以的最大值为. （2）根据变换的定义，要使的值最大，则每一行变符号偶数次， 当时，集合的个数为1； 当时，集合的个数为10. 综上可知，集合的个数为11. （3）证明：若，在的所有非空子集中，含有且不含的子 集共有个，经过变换后第一行均变为 含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行均变为一； 同时含有和的子集共有个，经过变换后第一行仍为； 不含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行仍为 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为. 若，在的所有非空子集中， 含有的子集共有个，经过变换后第一行均变为； 不含有的子集共有个，经过变换 后第一行仍为； 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为， 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为， 所以的所有可能取值的和为. 又，， 则当时取得最大值， 当一时，， 根据12的分解情况可知，， 所以，且. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用. 11．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出、和即可求解； （3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出和，求出时即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池， 则，， 所以； （2）由题意，的可能取值为1，2，3， ，，， 所以； （3）由题意，现有3块可充电池和2块一次性电池可使用， 经分析可得，， 时， . 12．（2025·广东中山·模拟预测）有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得； （2）由题意可得，，可得当时，有，当时，，结合，即可得解； （3）将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证. 【详解】（1）为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有； （2）由题意可得， 又为整数，故， 则， 同理可得， 即有，            同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，，           故 ； （3）对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立. 13．（2025·浙江·二模）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即． (1)找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列； (2)是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． (3)当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，具体见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意中定义的变换，可知分别经过三个变换即可变换为常数列； （2）根据题意中定义的变换，可知存在一系列的变换使得成为常数列，同时当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列. （3）通过反证法证明，假设存在次变换，能使得经过这次变换后，成为常数列.由次变换后有，进而由知，（*），而为递增数列，可得，这与（*）矛盾，故而得证. 【详解】（1） 此处三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数. （2）存在， , 结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列. （3）不存在，理由如下： 假设存在次变换，能使得经过这次变换后， 成为常数列，其中. 注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2， 偶数项的和增加2， 因此次变换后有， 由知， 所以，（*） 而为递增数列，故，，…， 从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列. 14．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的方程为，联立可得； （2）先求得和交于点，再求得直线的方程为，也过，即可证； （3）在点处的切线方程为，则与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值. 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑在点处的切线方程为与平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得. 15．（24-25高三上·湖南永州·期末）在计算机图形学和几何算法中，通过多边形剖分，可以简化算法的实现，提高计算效率，并且减少碰撞检测等操作的复杂性．例如，在游戏中，多边形剖分可以用于处理角色的碰撞检测，使得游戏角色与环境的交互更加真实和精确．数学研究领域中，与凸多边形剖分的相关概念、记法与定理表述如下： 定义1 边形内任意两点的连线线段都在该边形内，则称其为凸边形． 定义2 一个凸边形可以通过不相交于边形内部的对角线把边形拆分成若干三角形，这称为凸边形的一种三角剖分．将一个凸边形不同的三角剖分种数记为，这里规定取大于等于的正整数，且． 定理1 ． 定理2 当时，． 根据上述内容，解答下面问题： (1)已知一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，求； (2)写出的值； (3)求（i）关于的表达式； （ii）关于的表达式．（可用组合数表示） 【答案】(1)9 (2)2；5；14 (3)（i）；（ii） 【分析】(1)根据等差数列求和公式和凸多边形的内角和得方程，解方程可得； (2)利用定理1 ，把,,分别代入定理1得; (3)在定理1中代入，可得再把定理2代入即可得;根据的关系式，得出. 【详解】（1）解：由题意得，， 化简得，， 解得或， 又∵当时，最大内角大于180°，故． （2） 由,， ， ， . （3） 符合上式 (ii)令，则， 所以， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题03（新定义题） 1．（2025·江西景德镇·二模）对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，． (1)当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值； (2)求证：对于任意给定的一个的值，在上总存在三个不同的零点，且； (3)函数在区间与的最佳逼近直线分别为与，它们在轴截距分别为与，求的值． 2．（2024·四川成都·模拟预测）设动点到点的距离与到直线的距离之积等于4，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线与轴的交点的坐标. (2)过点作不与坐标轴垂直的直线. （i）判断直线与曲线的交点的个数，并证明你的结论； （ii）定义平面上个点的重心为满足的点，若直线与曲线的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标. （注：关于的一元次方程有个复数根，且，.） 3．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 4．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）定义二元函数（，），同时满足：①；②；③三个条件. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)若，，.比较与0的大小关系，并说明理由. 附：参考公式；；；. 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知 (1)当且时，求的极值； (2)对于一切时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”.设数列满足.证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”. 6．（2025·陕西咸阳·二模）已知为实数，将函数的图象向左平移一个单位长度得到的图象，设函数.定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“魅力数组”. (1)已知为的导函数，讨论的单调性； (2)若，判断是否为的“魅力数组”，并说明理由； (3)若对任意，都是的“魅力数组”，求的取值范围. 7．（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 8．（2025·江苏泰州·一模）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)求C的方程； (2)若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； (3)若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 9．（2025·安徽安庆·二模）定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. (1)若满足，证明：为等比数列： (2)定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 10．（2025·河北保定·模拟预测）记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为. (1)若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值； (2)若，求使取得最大值的集合的个数； (3)对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且. 11．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 12．（2025·广东中山·模拟预测）有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 13．（2025·浙江·二模）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即． (1)找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列； (2)是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． (3)当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 14．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 15．（24-25高三上·湖南永州·期末）在计算机图形学和几何算法中，通过多边形剖分，可以简化算法的实现，提高计算效率，并且减少碰撞检测等操作的复杂性．例如，在游戏中，多边形剖分可以用于处理角色的碰撞检测，使得游戏角色与环境的交互更加真实和精确．数学研究领域中，与凸多边形剖分的相关概念、记法与定理表述如下： 定义1 边形内任意两点的连线线段都在该边形内，则称其为凸边形． 定义2 一个凸边形可以通过不相交于边形内部的对角线把边形拆分成若干三角形，这称为凸边形的一种三角剖分．将一个凸边形不同的三角剖分种数记为，这里规定取大于等于的正整数，且． 定理1 ． 定理2 当时，． 根据上述内容，解答下面问题： (1)已知一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，求； (2)写出的值； (3)求（i）关于的表达式； （ii）关于的表达式．（可用组合数表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$