第七章随机变量及其分布复习课学案-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第三册

高二年级 数学 任务案 制作时间： 制作人： 审批人： 使用时间： 学科 数学 班级 教师 课题 第七章 随机变量及其分布 课型 复习课 课时 2课时 学习目标 1、了解条件概率，会用乘法公式、全概率公式求概率。 2、理解离散型随机变量分布列及其数字特征 3、掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题。 4、了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。 5、了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征。了解正态分布的均值、方差及其含义。 学习重点 1、离散型随机变量的分布列、均值、方差计算及应用。 2、概率的实际应用 学科素养 数学运算、逻辑推理 数学思想 数学抽象 考情呈现 考查离散型随机变量的分布列、均值、方差的计算问题，主要以解答题形式出现，难度中、低等。热点分布列、均值、方差的计算及应用 学习内容 【知识整合思维导图】 教(学)法指导 【释疑拓展提素养】 [考点一]　数学运算、数学抽象——条件概率、乘法公式及全概率公式 [例1]某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　) A.　　　 B.　　 　C.　　 　D. 条件概率的两个求解策略 1．定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)＝求解． [变式训练] 1．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． [考点二]　数学逻辑、数学抽象——事件的独立性、二项分布和超几何分布 [例2]哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学A类题中只有4道能答对，B类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 1．二项分布的应用 (1)二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→确定参数n, p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解． (2)二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少” “至多”问题的取值概率，实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率和或者利用对立事件求概率． (3)若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另一个随机变量，进而求解． 2．超几何分布的特征 满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生、女生；正品、次品；优、劣等．判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布． [变式训练] 2．某公司生产了A，B两种产品投放市场，计划每年对这两种产品投入200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中A产品的年收益P(a)，B产品的年收益Q(a)与投入a(单位：万元)分别满足P(a)＝80＋4，Q(a)＝a＋120.若公司有100名销售人员，按照他们对销售两种产品的业绩分为普通销售、中级销售以及金牌销售，其中普通销售28人，中级销售60人，金牌销售12人． (1)为了使A，B两种产品的年总收益之和最大，求A产品每年的投入； (2)为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制订了两种奖励方案： 方案一：按分层随机抽样从三类销售中共抽取25人给予奖励，其中普通销售每人奖励2 300元，中级销售每人奖励5 000元；金牌销售每人奖励8 000元； 方案二：每名销售都参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球，2个红球(球只有颜色不同)的箱子中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可奖励1 500元，若摸到红球的总数为3，则可奖励3 000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售每人均可参加1次摸奖游戏；中级销售每人均可参加2次摸奖游戏，金牌销售每人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加)． [考点三]　逻辑推理、数学运算——离散型随机变量的均值与方差 [例3]　某高校通过自主招生方式在A市招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题回答．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的． (1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大． 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤  [变式训练] 3．新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题．多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的． (1)若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率； (2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为Y，求D(X)，E(Y)． [考点四]　数学运算——正态分布及其应用 [例4]　若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5.现有20 000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100,102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为(　　) A．1 587　　　　 B．228 C．455 D．3 174 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. [变式训练] 4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(　　) A．997　　　　　 B．954 C．819 D．683 【单元达标固双基】 1. 设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率． 2. 一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元. 某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而每一份保单需要赔付的概率为. 利用计算工具求(精确到0.0001)： (1) 这家保险公司在这个险种上亏本的概率； (2) 这家保险公司在这个险种上一年内获利不少于100万元的概率. 3. 已知随机变量X取所有的值 是等可能的，且， 求的值. 课堂反思复盘 学科网（北京）股份有限公司 $$