高一数学月考卷（北京专用，人教A版2019）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第五章5.5、5.6；必修第二册第6-8章；第九章9.1、9.2 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D. 2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】由，， 则. 故选：B. 3．用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到直观图画出原图， 因为，可得，所以，即， 则，所以. 故选：C. 4．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 【答案】B 【详解】若平行于同一条直线，则与的位置关系是平行或相交，故A选项错误；    若平行于同一个平面，则与的位置关系是平行，故B正确；    若垂直于同一个平面，则与的位置关系是平行或相交，故C选项错误；    若内有无数条直线与平行，则与的位置关系是平行或相交，故D选项错误；          故选：B. 5．如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】记的中点为，由题可知，， 所以. 故选：A. 6．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】B 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 【答案】D 【详解】由已知可得：液体的体积为， 如图，易知，、两个相似的直角三角形， 因为圆锥的底面半径是，高是， 所以圆锥的体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为， 则， ，解得， 所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为. 故选：D. 9．天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 【答案】C 【详解】设塔的高，    在中，，同理，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故选：C 10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 【答案】 13 64 【详解】设，设的平均数为，方差为， 的平均数为，方差为，则， 则. 故答案为：. 12．已知向量，满足：，，，则 ；向量与的夹角为： 【答案】 2 ＃＃ 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， ； 由向量的数量积公式得：， 由于向量夹角的范围为，所以与的夹角为， 故答案为：2，. 13．一个边长为的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为 ，体积为 . 【答案】 【详解】由题意得该旋转体是两个圆锥的组合体， 圆锥的底面半径，母线，高， 则该旋转体的表面积，体积 故答案为：， 14．已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 【答案】 2 【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则，同理， 因此.解得. 因为函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . 15．在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的有 ①．直线与直线所成的角是 ②．直线与直线所成的角是 ③．二面角的平面角是 ④．平面截正方体所得的截面面积为. 【答案】①③④ 【详解】对于①，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故①正确； 对于②，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，又，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故②错误； 因为平面，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故③正确； 对于④，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且，所以梯形的高为， 所以截面面积为，故④正确. 故选：①③④. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，，. (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以.（6分） （2）若选①，边上的高，在中，，即， 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为；（14分） 若选②，，则， 在中，， 由正弦定理，得， 根据三角形中大角对大边可知，不存在； 若选③，，由余弦定理，得， 则，显然，即方程无解， 因此不存在，③不可选.（14分） 17．（14分）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以.（5分） （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为.（10分） （3）因为，，， 所以，解得.（14分） 18．（14分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 【详解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得，，解得.（6分） （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，这名学生课外阅读时间少于小时的频率为.（10分） （3）由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）.（14分） 19．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期；（4分） （2）令，则，， 所以，增区间为，.（9分） （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以.（14分） 20．（14分）如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面， 所以平面.（4分） （2）由为的中点，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而，平面， 所以平面平面．（10分）    （3）由（1）知，，则是异面直线AE与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为.（14分） 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面；（5分 ）    （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面；（12分） （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故.（15分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考数学试卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C B A B D D C B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 13 64 12．2 13． 14． 2 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分） 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以.（6分） （2）若选①，边上的高，在中，，即， 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为；（14分） 若选②，，则， 在中，， 由正弦定理，得， 根据三角形中大角对大边可知，不存在； 若选③，，由余弦定理，得， 则，显然，即方程无解， 因此不存在，③不可选.（14分） 17．（满分14分） 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以.（5分） （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为.（10分） （3）因为，，， 所以，解得.（14分） 18．（满分14分） 【详解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得，，解得.（6分） （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，这名学生课外阅读时间少于小时的频率为.（10分） （3）由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）.（14分） 19．（满分14分） 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期；（4分） （2）令，则，， 所以，增区间为，.（9分） （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以.（14分） 20．（满分14分） 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面， 所以平面.（4分） （2）由为的中点，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而，平面， 所以平面平面．（10分）    （3）由（1）知，，则是异面直线AE与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为.（14分） 21．（满分15分） 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面；（5分 ）    （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面；（12分） （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故.（15分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第五章5.5、5.6；必修第二册第6-8章；第九章9.1、9.2 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（    ） A． B． C． D． 4．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 5．如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 9．天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 12．已知向量，满足：，，，则 ；向量与的夹角为： 13．一个边长为的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为 ，体积为 . 14．已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 15．在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的有 ①．直线与直线所成的角是 ②．直线与直线所成的角是 ③．二面角的平面角是 ④．平面截正方体所得的截面面积为. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，，. (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 17．（14分）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 18．（14分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 19．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 20．（14分）如图，在正方体中，E为的中点. (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第五章5.5、5.6；必修第二册第6-8章；第九章9.1、9.2 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（    ） A． B． C． D． 4．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 5．如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 9．天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 12．已知向量，满足：，，，则 ；向量与的夹角为： 13．一个边长为的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为 ，体积为 . 14．已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 15．在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的有 ①．直线与直线所成的角是 ②．直线与直线所成的角是 ③．二面角的平面角是 ④．平面截正方体所得的截面面积为. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，，. (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 17．（14分）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 18．（14分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 19．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 20．（14分）如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$