信息必刷卷05（江苏苏州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（苏州专用） 考情速递 中考·新动向：苏州中考总题量27题，其中8道选择题，8道填空题和11道解答题。整个题量上并没有发生太大的变化。解答题17至24题题型较为固定，分别为实数运算、方程不等式运算、化简求值、简单几何证明，概率、统计、锐角三角函数和反比例函数。后3题依旧为圆综合、几何综合和函数综合。整体难度不是很高，但是对于学生的运算量和运算技巧的要求更高，要着重培养学生的思维灵活性。 中考·新考法：基于课本，会将高中的一些数学概念和定理以材料阅读或者探究题的形式出现，考察学生知识的迁移和分析材料的能力。比如本卷24题，以材料阅读的形式给定基本不等式的运用，再结合反比例函数的几何含义去求最值。最后一题几何是类比探究题，都是比较考察学生对于知识的理解和关联性探究。 命题·大预测：在以往苏州中考题型分布和难度分布的基础上，在复习备考时，要多积累一些常见的几何和代数规律及结论，要回归课本，结合课本的练习进行扩充延伸。预计在苏州卷中，苏州文化依旧是一个考向，同时，基于课后课后练习而拓展延伸的综合题也是近来出题的原则。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知a＜b，下列不等式一定成立的是（　　） A．ac＜bc B．ac2＜bc2 C． D．2a＜2b 4．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OB的长为半径，圆心角∠O＝120°的扇面．若OA＝6m，OB＝4m，则阴影部分的面积为（　　） A．12πm2 B． C．8m2 D． 5．某班学生周末乘汽车到外地参加活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车速度是慢车速度的2倍，如果设慢车的速度为x km/h，那么可列方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k可能的值是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ABD＝2S△ACD．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．若AB＝2时，则△ADP周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．81的平方根是 　 　 ． 10．第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港和澳门联合举办，这是首次由多地区联合承办的全运会．预估赛事期间将累计接待现场观众2560000人次，用科学记数法表示为 　 　 ． 11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　 　 ． 12．因式分解　 　 ． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为6A时，电阻为 　 　 Ω． 14．如图，在⊙O中，P为弦AB与弦CD的交点．若∠APC＝84°，的度数为74°，则的度数为 　 　 °． 15．已知抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），则方程x2+mx+n﹣5＝0的根是 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　 　 ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程组：． 19．（6分）已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（）的值． 20．（6分）如图，AB＝AD，AC＝AE，AC⊥BC，AE⊥DE，垂足分别为C，E，DE分别交AB，CB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠D＝30°，∠DAB＝28°，求∠DGB的度数． 21．（6分）2025年，陕西省即将迎来“3+1+2”的新高考模式，其中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为“首选科目”要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为“再选科目”要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门． （1）小明是2025届毕业生，则他的“首选科目”选择物理的概率为 　 　 ； （2）若小明已选了物理作为“首选科目”，请用列表或画树状图的方法求小明最终选择物理、化学、生物三门科目的概率． 22．（8分）在我市中小学生“我的中国梦”读书活动中，某校对部分学生做了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整条形统计图和扇形统计图． （1）本次共调查了 　 　 名学生； （2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有 　 　 人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 　 　 %； （3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校约有学生1800人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人． 23．（8分）如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 24．（8分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　 　 时，有最小值 　 　 ； （2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求的值． 26．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n（m≠0，n≠0）和直线y＝x，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线y＝x与抛物线对称轴交于点C． （1）抛物线顶点坐标为 　 　 （用m，n表示）， （2）当抛物线的顶点落在直线y＝x+1上时，求n的最大值． （3）若四边形ABOC为平行四边形． ①求m的值． ②若直线y＝x与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当△BOD为等腰三角形时，求n的值． ③过C点向右作线段CE⊥AC，设CE＝a，是否存在实数a值使△ACE的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由． 27．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　 ； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　 ； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（苏州专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B A B D A 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 9．±9 10．2.56×106 11． 12．（x﹣1）2 13．6 14．94 15．x＝1或﹣3 16． 三、解答题:本大题有11个小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（5分） 【答案】9 【解析】解： ＝9． 18．（5分） 【答案】 【解析】解：， ①+②×3得：10x＝0， ∴x＝0， 把x＝0代入①得：3y＝6， ∴y＝2， ∴方程组的解为． 19．（6分） 【答案】 【解析】解：原式 ， ∵x2+x﹣4＝0， ∴x2+x＝4， 把x2+x＝4代入，原式． 20．（6分） 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，AE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， ∴△ABC和△ADE均为直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（HL）， （2）解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝30°， ∴∠B＝∠D＝30°， 又∵∠DAB＝28°， ∴∠DFB＝∠D+∠DAB＝30°+28°＝58°， ∴∠DGB＝∠DFB+∠B＝58°+30°＝88°． 21．（6分） 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）∵“首选科目”是物理、历史2门科目， ∴他的“首选科目”选择物理的概率为． 故答案为：； （2）将化学、生物、政治、地理4科分别记作A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中恰好选中化学、生物两科的结果有2个， 所以小明最终选择物理、化学、生物三门科目的概率为． 22．（8分） 【答案】（1）200 （2）15、40 （3）216人，144人 【解析】解：（1）本次调查的学生人数为40÷20%＝200（名）， 故答案为：200； （2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有200﹣（80+65+40）＝15（人）， 最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的百分比为100%＝40%， 故答案为：15、40； （3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得： x+1.5x＝1800×20%， 解得：x＝144． 当x＝144时，1.5x＝216． 答：估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有216人，144人． 23．（8分） 【答案】塔高AB的值为米 【解析】解：如图：过点Q作GH∥BC，延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F， 由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，EQ＝CP，CE＝BF＝PQ＝60（米）， ∵CD＝12（米）， ∴DE＝CE﹣CD＝48（米）， 在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°， ∴，则（米）， ∵PB﹣PC＝8， ∴QF﹣QE＝8， ∴米， 在Rt△QFA中，∠FQA＝37°， ∴米， ∴米， ∴塔高AB的值为米． 24．（8分） 【答案】（1）2，4 （2）40 【解析】解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时． 故答案为：2，4； （2）连接PQ， ∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点， ∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即， 设， ∴ ． ∴四边形AQBP的面积最小值为40． 25．（10分） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∴OE＝2.5x， ∵OC⊥CD， ∴EC2x， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∵∠COE+∠E＝90°， ∴∠E＝∠AFH， 又∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴， ∵， ∴． 26．（10分） 【答案】见解析 【解析】解：（1）y＝﹣x2+mx+n＝﹣（x）2+n， ∴抛物线的顶点坐标为A（）． 故答案为：（）； （2）当抛物线的顶点落在直线y＝x+1上时，n1， ∴nm21（m2﹣2m）+1（m﹣1）2， ∴当m＝1时，n取最大值，最大值为； （3）①∵A（），点C在y＝x上， ∴C（，）， ∵y＝﹣x2+mx+n与y轴交于点B， ∴B（0，n）， 若四边形ABOC为平行四边形， ∴BO＝AC， ∴nn，解得m＝0或m＝2， ∵m＝0时，对称轴为x＝0，此时A，B重合，故舍去； ∴m＝2； ②当△BOD为等腰三角形时，如图，设AC于x轴交于点F， ∵C（，）， ∴CF＝OF，， ∴∠COF＝∠OCF＝45°， ∴∠BOD＝45°． 分为BD＝BO，DB＝DO，OB＝OD三种情况： 当BD＝BO时，∠DBO＝90°，BD⊥y轴， ∴BD＝OB， ∵OB＝n， ∴BD＝n， ∴D（n，n）， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝2， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝2； 当DB＝DO时，∠BDO＝90°， 如图，过点D作DM⊥y轴，垂足为M， ∵BD＝OD， ∴DMOB，BM＝OMOB， ∴D（，）， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝6， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝6； 当OB＝OD时，如图，过点D作DN⊥y轴，垂足为N， ∵∠BOD＝45°， ∴ON＝DN， 设D（t，﹣t2+2t+n）， ∴OB＝ODt＝n， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝1， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝1，； 综上所述，n＝2或6或1； ③存在，理由如下： 如图，过点C作线段CE⊥AC，设点E在抛物线的左侧， 根据抛物线的对称性可知，点E在抛物线的右侧和左侧一致， 设AE的中点为P，CE的中点为Q，AQ和CP的交点即为△AEC的重心G， ∵CE＝a，C（1，1）， ∴E（1﹣a，1）， ∵y＝﹣x2+2x+n， ∴A（1，n+1）． ∴P（，），即P（1，1），Q（1，1）． ∴直线AQ的解析式为：yx+n+1， 直线CP的解析式为：yx+1， 令x+n+1x+1， 解得x＝1， ∴G（1，1）， ∵△ACE的重心恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+n上， ∴1（1）2+2×（1）+n， 整理得，a2＝6n． ∴a和n的关系式为：a2＝6n． 27．（10分） 【答案】见解析 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°． ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠AED＝∠CFD． 在△AED和FDC中， ， ∴△AED≌FDC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴1． 故答案为：1； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC， ∴∠ADE+∠ABD＝90°． ∵DB⊥CE， ∴∠ADB+∠DEC＝90°， ∴∠ABD＝∠DEC． ∴△ABD∽△DEC， ∴． ∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°， ∴tan∠DBC， ∴， ∴． 故答案为：； （3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图， ∵∠M＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCM为矩形， ∴AB＝CM， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∵∠CFM＝∠DFG， ∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE， ∵∠A＝∠M＝90°， ∴△DEA∽△CFM， ∴， ∴， ∴DE•AB＝CF•AD； （4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图， ∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD， ∴AC⊥BD，AH＝CH， ∴AC＝2AH． ∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CF⊥DE，CG⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE， ∵∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， ∵AD＝8，， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（苏州专用） 考情速递 中考·新动向：苏州中考总题量27题，其中8道选择题，8道填空题和11道解答题。整个题量上并没有发生太大的变化。解答题17至24题题型较为固定，分别为实数运算、方程不等式运算、化简求值、简单几何证明，概率、统计、锐角三角函数和反比例函数。后3题依旧为圆综合、几何综合和函数综合。整体难度不是很高，但是对于学生的运算量和运算技巧的要求更高，要着重培养学生的思维灵活性。 中考·新考法：基于课本，会将高中的一些数学概念和定理以材料阅读或者探究题的形式出现，考察学生知识的迁移和分析材料的能力。比如本卷24题，以材料阅读的形式给定基本不等式的运用，再结合反比例函数的几何含义去求最值。最后一题几何是类比探究题，都是比较考察学生对于知识的理解和关联性探究。 命题·大预测：在以往苏州中考题型分布和难度分布的基础上，在复习备考时，要多积累一些常见的几何和代数规律及结论，要回归课本，结合课本的练习进行扩充延伸。预计在苏州卷中，苏州文化依旧是一个考向，同时，基于课后课后练习而拓展延伸的综合题也是近来出题的原则。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D． 【分析】正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答． 【解答】解：∵|x|＝4， ∴x＝±4， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和性质，解题的关键是掌握绝对值的代数意义． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．已知a＜b，下列不等式一定成立的是（　　） A．ac＜bc B．ac2＜bc2 C． D．2a＜2b 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知a＜b， 当c＞0时，ac＜bc，则A不符合题意； 当c＝0时，ac2＝bc2，则B不符合题意； 当c＞0时，bc，则C不符合题意； 两边同乘2得2a＜2b，则D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 4．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OB的长为半径，圆心角∠O＝120°的扇面．若OA＝6m，OB＝4m，则阴影部分的面积为（　　） A．12πm2 B． C．8m2 D． 【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可． 【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC ＝12π π（m2）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S是解题的关键． 5．某班学生周末乘汽车到外地参加活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车速度是慢车速度的2倍，如果设慢车的速度为x km/h，那么可列方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【分析】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间﹣快车所用时间＝1． 【解答】解：设慢车的速度为x km/h，慢车所用时间为，快车所用时间为，可列方程：1． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确利用等量关系列出方程是解题关键． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k可能的值是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝k2﹣4×10，解之可得答案． 【解答】解：根据题意，得：Δ＝k2﹣4×1k2﹣2＞0， 解得：k或k， 故选：B． 【点睛】本题主要考查根的判别式，正确记忆一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ABD＝2S△ACD．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意得AD是∠BAC的平分线，可判断说法①；由已知条件可得∠BAC＝60°，则∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°，根据∠ADC＝∠B+∠BAD可判断说法②；过点D作DE⊥AB于点E，易知△ABD为等腰三角形，则DE为△ABD的中线，即点D在AB的垂直平分线上，可判断说法③；证明△ACD≌△AED，△ADE≌△BDE，可得S△ACD＝S△ADE＝S△BDE，即可判断说法④． 【解答】解：由题意可得，AD是∠BAC的平分线， 故说法①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°， 故说法②正确； 过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠B＝∠BAD＝30°， ∴△ABD为等腰三角形， ∴DE为△ABD的中线， ∴点D在AB的垂直平分线上， 故说法③正确； ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝∠AED＝90°， ∴CD＝DE， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴S△ACD＝S△ADE， ∵∠AED＝∠BED＝90°，AE＝BE，DE＝DE， ∴△ADE≌△BDE（SAS）， ∴S△ADE＝S△BDE， ∴S△ACD＝S△ADE＝S△BDE， ∴S△DAC：S△ABC＝1：3， ∴S△ABD＝2S△ACD． 故说法④正确． ∴正确的说法有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 8．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．若AB＝2时，则△ADP周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图所示，在AB上取一点G使得BG＝BE，连接 EG，CP，由正方形的性质得到AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠BCD＝90°，证明△AGE≌△ECP得到∠ECP＝∠AGE＝135°，进而推出点P在直线CP上运动；如图所示，作点D关于直线CP的对称点F，连接CF，AF，PF，则DP＝FP，CF＝CD＝2，∠DCP＝∠FCP＝45°，即∠DCF＝90°，即可证明B、C、F三点共线，进 一步推出当A、P、F三点共线时，△ADP的周长 有最小值，最小值为AF+2，由勾股定理得 ，则△ADP的周长最小值为 ． 【解答】解：如图所示，在AB上取一点G使得BG＝BE，连接EG，CP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°＝∠BEA+∠CEP， ∴∠GAE＝∠CEP， ∵BG＝BE， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝90°， ∵AB﹣BG＝BC﹣BE， ∴AG＝EC， 又∵AE＝EP， ∴△AGE≌△ECP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AGE＝135°， ∴∠DCP＝45°， ∴点P在直线CP上运动， 如图所示，作点D关于直线CP的对称点F，连接 CF，AF，PF， ∴DP＝FP，CF＝CD＝2，∠DCP＝∠FCP＝45°，即∠DCF＝90°， ∴∠DCF+∠BCD＝180°， 即B、C、F三点共线， ∵△ADP的周长＝AD+DP+AP＝2+DP+AP＝AP+PF+2， ∴当A、P、F三点共线时，△ADP的周长有最小值，最小值为AF+2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ， ∴△ADP的周长最小值为 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．81的平方根是 　±9　 ． 【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：∵92＝81，（﹣9）2＝81， ∴81的平方根为±9， 故答案为：±9． 【点睛】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10．第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港和澳门联合举办，这是首次由多地区联合承办的全运会．预估赛事期间将累计接待现场观众2560000人次，用科学记数法表示为 　2.56×106　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：2560000＝2.56×106． 故答案为：2.56×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　　 ． 【分析】击中黑色区域的概率等于阴影区域面积与正方形总面积之比． 【解答】解：设小正方形的面积为a， ∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板由大小相等的面积为9a，阴影区域的面积为3a， ∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比＝几何概率． 12．因式分解　（x﹣1）2　 ． 【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式分解． 【解答】解：原式（x2﹣2+1）（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为6A时，电阻为 　6　 Ω． 【分析】设该反比函数解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把I＝6代入所得解析式计算即可求解． 【解答】解：设该反比函数解析式为，把（4，9）代入得，， ∴k＝36， ∴， 把I＝6代入得，， ∴R＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 14．如图，在⊙O中，P为弦AB与弦CD的交点．若∠APC＝84°，的度数为74°，则的度数为 　94　 °． 【分析】如图，连接OA，OB，OC，OD，AD．想办法求出∠DOB的度数，可得结论． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，AD． ∵的度数为74°， ∴∠AOC＝74°， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠ADC＝37°， ∵∠APC＝∠ADC+∠DAB＝84°， ∴∠DAB＝47°， ∴∠BOD＝2∠DAB＝94°， ∴的度数为94°． 故答案为：94． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．已知抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），则方程x2+mx+n﹣5＝0的根是 　x＝1或﹣3　 ． 【分析】抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），则一元二次方程x2+mx+n＝5的根为：x＝1或﹣3，即可求解． 【解答】解：抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5）， 则一元二次方程x2+mx+n＝5的根为：x＝1或﹣3， ∴x2+mx+n﹣5＝0的根是：x＝1或﹣3， 故答案为：x＝1或﹣3． 【点睛】本题考查的是抛物线与直线的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求确实理解函数与直线交点与一元二次方程根之间对应的关系． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　　 ． 【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根据AD∥GM，得，设GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，则EC＝DE＝10n，在Rt△DGM 中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中 GM2＝GE2﹣EM2，则 DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得 k，则 k，GE＝3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解． 【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图， ∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC， ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴ED＝EC， ∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， 又∵∠DGE＝∠CGD， ∴△DGE∽△CGD， ∴， ∴DG2＝GE×GC， ∵∠ABC＝90°，DE∥BC， ∴AD⊥DE， ∴AD∥GM， ∴，∠MGE＝∠A， ∵， ∴， 设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n， ∴EC＝DE＝10n， ∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn， 在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2， 在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2， ∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2， 即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2， 解得：k， ∴EMk， ∵GE＝3k， ∴GMk， ∴tanA＝tan∠EGM． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）计算：． 【分析】根据实数的相关运算法则进行计算即可． 【解答】解： ＝9． 【点睛】本题考查了实数的运算法则，掌握实数的相关运算法则、算术平方根和立方根的定义是关键． 18．（5分）解方程组：． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①+②×3得：10x＝0， ∴x＝0， 把x＝0代入①得：3y＝6， ∴y＝2， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19．（6分）已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（）的值． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+x＝4，代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ∵x2+x﹣4＝0， ∴x2+x＝4， 把x2+x＝4代入，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（6分）如图，AB＝AD，AC＝AE，AC⊥BC，AE⊥DE，垂足分别为C，E，DE分别交AB，CB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠D＝30°，∠DAB＝28°，求∠DGB的度数． 【分析】（1）根据AC⊥BC，AE⊥DE得∠C＝∠E＝90°，进而可依据“HL”判定Rt△ABC和Rt△ADE全等； （2）根据△ABC和△ADE全等得∠B＝∠D＝30°，再根据三角形的外角性得∠DFB＝∠D+∠DAB＝58°，∠DGB＝∠DFB+∠B＝88°． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， ∴△ABC和△ADE均为直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（HL）， （2）解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝30°， ∴∠B＝∠D＝30°， 又∵∠DAB＝28°， ∴∠DFB＝∠D+∠DAB＝30°+28°＝58°， ∴∠DGB＝∠DFB+∠B＝58°+30°＝88°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 21．（6分）2025年，陕西省即将迎来“3+1+2”的新高考模式，其中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为“首选科目”要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为“再选科目”要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门． （1）小明是2025届毕业生，则他的“首选科目”选择物理的概率为 　　 ； （2）若小明已选了物理作为“首选科目”，请用列表或画树状图的方法求小明最终选择物理、化学、生物三门科目的概率． 【分析】（1）直接运用概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、生物两科的结果数，再利用概率公式计算可得． 【解答】解：（1）∵“首选科目”是物理、历史2门科目， ∴他的“首选科目”选择物理的概率为． 故答案为：； （2）将化学、生物、政治、地理4科分别记作A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中恰好选中化学、生物两科的结果有2个， 所以小明最终选择物理、化学、生物三门科目的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 声明：试题解析著作权属 22．（8分）在我市中小学生“我的中国梦”读书活动中，某校对部分学生做了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整条形统计图和扇形统计图． （1）本次共调查了 　200　 名学生； （2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有 　15　 人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 　40　 %； （3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校约有学生1800人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人． 【分析】（1）由丙类别人数及其所占百分比可得答案； （2）根据四个类别人数之和等于总人数可得丁类别人数，用甲类别人数除以被调查的总人数可得其百分比； （3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，根据“男生人数+女生人数＝总人数×样本中最喜欢丙类人数所占百分比”列方程求解即可． 【解答】解：（1）本次调查的学生人数为40÷20%＝200（名）， 故答案为：200； （2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有200﹣（80+65+40）＝15（人）， 最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的百分比为100%＝40%， 故答案为：15、40； （3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得： x+1.5x＝1800×20%， 解得：x＝144． 当x＝144时，1.5x＝216． 答：估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有216人，144人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较；从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． 23．（8分）如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】过点Q作GH∥BC，延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F，根据题意可得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，从而可得DE＝48（米），然后在Rt△DEQ中，利用锐角三角函数的定义求出EQ的长，从而求出QF的长，再在Rt△QFA中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点Q作GH∥BC，延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F， 由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，EQ＝CP，CE＝BF＝PQ＝60（米）， ∵CD＝12（米）， ∴DE＝CE﹣CD＝48（米）， 在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°， ∴，则（米）， ∵PB﹣PC＝8， ∴QF﹣QE＝8， ∴米， 在Rt△QFA中，∠FQA＝37°， ∴米， ∴米， ∴塔高AB的值为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．（8分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　2　 时，有最小值 　4　 ； （2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值． 【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解； （2）连接PQ，设，根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△QBP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时． 故答案为：2，4； （2）连接PQ， ∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点， ∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即， 设， ∴ ． ∴四边形AQBP的面积最小值为40． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求的值． 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∴OE＝2.5x， ∵OC⊥CD， ∴EC2x， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∵∠COE+∠E＝90°， ∴∠E＝∠AFH， 又∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 26．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n（m≠0，n≠0）和直线y＝x，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线y＝x与抛物线对称轴交于点C． （1）抛物线顶点坐标为 　（）　 （用m，n表示）， （2）当抛物线的顶点落在直线y＝x+1上时，求n的最大值． （3）若四边形ABOC为平行四边形． ①求m的值． ②若直线y＝x与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当△BOD为等腰三角形时，求n的值． ③过C点向右作线段CE⊥AC，设CE＝a，是否存在实数a值使△ACE的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式即可得出结论； （2）根据题意，将点A的坐标代入直线y＝x+1成立，结合二次函数的性质可得出结论； （3）①由点A的坐标可求出点C的坐标，根据抛物线的解析式可求出点B的坐标，结合图形可知，OB∥AC且OB＝AC，列出等式可求出m的值； ②当△BOD是等腰三角形时，需要分三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可得出n的值； ③过点C作线段CE⊥AC，设点E在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点E在抛物线的右侧和左侧一致，设AE的中点为P，CE的中点为Q，AQ和CP的交点即为△AEC的重心G，将交点G的坐标代入抛物线解析式可求得a和n的关系式． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+mx+n＝﹣（x）2+n， ∴抛物线的顶点坐标为A（）． 故答案为：（）； （2）当抛物线的顶点落在直线y＝x+1上时，n1， ∴nm21（m2﹣2m）+1（m﹣1）2， ∴当m＝1时，n取最大值，最大值为； （3）①∵A（），点C在y＝x上， ∴C（，）， ∵y＝﹣x2+mx+n与y轴交于点B， ∴B（0，n）， 若四边形ABOC为平行四边形， ∴BO＝AC， ∴nn，解得m＝0或m＝2， ∵m＝0时，对称轴为x＝0，此时A，B重合，故舍去； ∴m＝2； ②当△BOD为等腰三角形时，如图，设AC于x轴交于点F， ∵C（，）， ∴CF＝OF，， ∴∠COF＝∠OCF＝45°， ∴∠BOD＝45°． 分为BD＝BO，DB＝DO，OB＝OD三种情况： 当BD＝BO时，∠DBO＝90°，BD⊥y轴， ∴BD＝OB， ∵OB＝n， ∴BD＝n， ∴D（n，n）， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝2， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝2； 当DB＝DO时，∠BDO＝90°， 如图，过点D作DM⊥y轴，垂足为M， ∵BD＝OD， ∴DMOB，BM＝OMOB， ∴D（，）， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝6， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝6； 当OB＝OD时，如图，过点D作DN⊥y轴，垂足为N， ∵∠BOD＝45°， ∴ON＝DN， 设D（t，﹣t2+2t+n）， ∴OB＝ODt＝n， 代入y＝﹣x2+2x+n， 解得n＝0或n＝1， ∵D在对称轴右侧部分， ∴n＝1，； 综上所述，n＝2或6或1； ③存在，理由如下： 如图，过点C作线段CE⊥AC，设点E在抛物线的左侧， 根据抛物线的对称性可知，点E在抛物线的右侧和左侧一致， 设AE的中点为P，CE的中点为Q，AQ和CP的交点即为△AEC的重心G， ∵CE＝a，C（1，1）， ∴E（1﹣a，1）， ∵y＝﹣x2+2x+n， ∴A（1，n+1）． ∴P（，），即P（1，1），Q（1，1）． ∴直线AQ的解析式为：yx+n+1， 直线CP的解析式为：yx+1， 令x+n+1x+1， 解得x＝1， ∴G（1，1）， ∵△ACE的重心恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+n上， ∴1（1）2+2×（1）+n， 整理得，a2＝6n． ∴a和n的关系式为：a2＝6n． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的重心等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 27．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　 ； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　 ； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值． 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （4）连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，利用三角形的面积公式和勾股定理求得线段CG，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°． ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠AED＝∠CFD． 在△AED和FDC中， ， ∴△AED≌FDC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴1． 故答案为：1； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC， ∴∠ADE+∠ABD＝90°． ∵DB⊥CE， ∴∠ADB+∠DEC＝90°， ∴∠ABD＝∠DEC． ∴△ABD∽△DEC， ∴． ∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°， ∴tan∠DBC， ∴， ∴． 故答案为：； （3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图， ∵∠M＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCM为矩形， ∴AB＝CM， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∵∠CFM＝∠DFG， ∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE， ∵∠A＝∠M＝90°， ∴△DEA∽△CFM， ∴， ∴， ∴DE•AB＝CF•AD； （4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图， ∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD， ∴AC⊥BD，AH＝CH， ∴AC＝2AH． ∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CF⊥DE，CG⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE， ∵∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， ∵AD＝8，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，翻折的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/25 19:13:22；用户：王老师-初中数学；邮箱：baimei5@qq.com；学号：60430896 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$