八年级（下）月考数学试卷（5月份）（拔尖卷）（考查范围：第7～10章）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）

2024-2025学年八年级（下）月考数学试卷（拔尖卷）（5月份） 【苏科版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第7~10章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·贵州贵阳·期中）某住宅小区10月份中1至6日每天用水变化情况如图所示，这6天的平均用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是（    ）． A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨 2．（3分）（24-25八年级·广东揭阳·期中）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　） A．4 B． C．5 D．6 3．（3分）（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）数学课上，老师出示一道题目如下：“甲、乙两名工人加工零件，已知★，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数．”其中★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是（   ） 解：设乙每小时加工x个零件 由题意得： A．甲每小时比乙多加工2个 B．甲每小时比乙少加工2个 C．甲每小时比乙多加工2倍 D．甲比乙少加工2个小时 4．（3分）（24-25八年级·河北保定·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 9．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·假期作业）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有 件． 12．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 13．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·阶段练习）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 个． 14．（3分）（24-25八年级·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 15．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 16．（3分）（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b (1)表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1） (3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 18．（6分）（24-25八年级·山东淄博·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 19．（8分）（24-25八年级·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上． (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)计算出的面积． 20．（8分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 21．（10分）（24-25八年级·河北张家口·期中）张家口市某中学举办了文化知识大赛（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手的答题成绩进行了相关统计，整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示不完整的频数分布直方图． 组别 分数段 频数 百分比 1 2 3 4 5 (1)被抽取选手的总人数为________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若参赛成绩不低于分即可获奖，求获奖人数所占的比例． 22．（10分）（24-25八年级·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 23．（12分）（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点． (1)问题解决：如图①，连接，分别取的中点P，Q，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P为的中点，连接并延长交于F，，．证明； (3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积． 24．（12分）（24-25八年级·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）月考数学试卷（拔尖卷）（5月份） 【苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·贵州贵阳·期中）某住宅小区10月份中1至6日每天用水变化情况如图所示，这6天的平均用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是（    ）． A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图的综合运用，以及求平均数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；由折线统计图得到这6天的用水总量，进而即可求出这6天的平均用水量． 【详解】解：由图知，这6天的平均用水量是吨， 故选：C． 2．（3分）（24-25八年级·广东揭阳·期中）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理及直角三角形的性质，根据旋转的性质可以得到，然后利用证明，由此即可证明为的中点解决问题，解题的关键熟练利用旋转和直角三角形的性质． 【详解】解：将绕点旋转至， ，，， ， ， ， ， ， 而， ， ， ． 故选：C 3．（3分）（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）数学课上，老师出示一道题目如下：“甲、乙两名工人加工零件，已知★，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数．”其中★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是（   ） 解：设乙每小时加工x个零件 由题意得： A．甲每小时比乙多加工2个 B．甲每小时比乙少加工2个 C．甲每小时比乙多加工2倍 D．甲比乙少加工2个小时 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用．设乙每小时加工x个零件，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，根据所列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：甲、乙两名工人加工零件，已知甲每小时比乙少加工2个，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数． 故选：B 4．（3分）（24-25八年级·河北保定·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 5．（3分）（24-25八年级·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A 6．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 8．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 9．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合菱形的性质推出，通过“边角边”证明后，由全等三角形的性质可得，，过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点，结合含的直角三角形的特征、勾股定理求出、，证明四边形是矩形后，结合矩形性质即可得，最后根据即可得解． 【详解】解：菱形中，，，， ， ， 即， 是以为腰的等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点， 则，， ，， 中，，， 中，，，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、矩形的判定与性质，解题关键是做出合适的辅助线． 10．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·假期作业）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解 【详解】解：由题意得：分钟． 故选：C 【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有 件． 【答案】48 【分析】本题考查分析频数分布直方图和频率的求法．由各长方形的高的比得到各段的频率之比，即可得到第二组的频率，再由数据总和＝某段的频数÷该段的频率即可求解． 【详解】解：从左至右各长方形的高的比为，即频率之比为； 所以第二组的频率为； 所以全班上交的作品有． 故答案为：48． 12．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·阶段练习）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 个． 【答案】3 【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 14．（3分）（24-25八年级·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 16．（3分）（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断①③正确；设，则，，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的判定可得，从而可得，根据可得，则，由此即可判断④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 设，则， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b (1)表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1） (3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 【答案】(1)a=0.71，b=0.70； (2)0.7； (3)黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为． 【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率； （2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）a=571÷800≈0.71； b=702÷800≈0.70； 故答案为：0.71，0.70； （2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近， 所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7； 故答案为：0.7； （3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个， 根据题意得0.7（x+14）=14， 解得：x=6， ∴黄色球有6-1=5个， ∴摸到黄色球的概率为． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．（6分）（24-25八年级·山东淄博·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 19．（8分）（24-25八年级·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上． (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)计算出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)5 【分析】本题主要考查了旋转作图或中心对称作图，三角形面积的计算，根据旋转和中心对称的性质作出对应点的位置是解题的关键． （1）作出点A、B、C关于原点的对称点，然后顺次连接，根据作图写出点的坐标即可； （2）作出点A、B绕点顺时针旋转后的对应点，然后再顺次连接，写出点的坐标即可； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点； （2）解：如图，即为所求作的三角形，点； （3）解：． 20．（8分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【详解】（1）解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； （2） 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． 21．（10分）（24-25八年级·河北张家口·期中）张家口市某中学举办了文化知识大赛（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手的答题成绩进行了相关统计，整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示不完整的频数分布直方图． 组别 分数段 频数 百分比 1 2 3 4 5 (1)被抽取选手的总人数为________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若参赛成绩不低于分即可获奖，求获奖人数所占的比例． 【答案】(1)；； (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体， （1）先根据第1组频数及其频率求出总人数，再利用“频率频数总数”可分别求出，的值； （2）先求出第组的频数，再根据所求的值即可补全频数分布直方图； （3）用参赛成绩不低于分的学生人数除以总人数即可； 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：被抽取选手的总人数为：（人）， ∴， ， ∴， 故答案为：；；； （2）第组的频数为：， 补全的频数分布直方图如图所示， （3）由频数分布直方图可知，参赛成绩不低于分的学生人数为：， ∴， 答：获奖人数所占的比例为． 22．（10分）（24-25八年级·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 23．（12分）（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点． (1)问题解决：如图①，连接，分别取的中点P，Q，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P为的中点，连接并延长交于F，，．证明； (3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由于点P和点Q分别为，的中点，为的中位线，根据三角形的中位线定理以及正方形的性质即可求解； （2）由旋转以及正方形的性质证明，则，继而可由直角三角形斜边中线的性质求证； （3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出和的长度，即可计算出的面积． 【详解】（1）解：，， ∵点P和点Q分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵四边形是正方形，点O为对角线的中点， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）证明：连接并延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由旋转得在上，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交边于点，连接，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，则， ∵点是的中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∴在和中， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$