选择性必修第二册综合测试-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

选择性必修第二册综合测试 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 2．（2025高二下·河南·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 3．（2025高二上·安徽六安·课后作业）设，则数列中的最大项的值是 A． B． C．4 D．0 4．（2025高二·全国·假期作业）下列函数在点处没有切线的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2025高三上·北京·阶段练习）已知函数，，则（    ） A．存在极值 B．存在最小值 C．无解 D．总成立 6．（2025高二下·全国·专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 7．（2025高二上·山东聊城·阶段练习）已知数列、的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．166 B．168 C．169 D．170 8．（2025高二下·四川成都·期中）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（     ） A． B． C． D． 10．（2025高二上·江苏扬州·阶段练习）已知在等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）． A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 11．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 ． 13．（2025高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 14．（2025高二下·云南保山·阶段练习）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高三上·福建莆田·阶段练习）设数列的前n项和为，且满足. （1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和. 16．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1=1，点P(bn，bn+1)满足2+bn=bn+1. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn. 17．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 18．（2025高二下·河南·阶段练习）已知函数. （1）若是的极值点，求的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 19．（2025·北京海淀·二模）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d （1）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若数列具有“性质P”，求证；且； （3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册综合测试 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【分析】结合等差数列前项和的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，等差数列的前n项和为且， 若， ， ， . 故选：B 2．（2025高二下·河南·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到，又，从而利用倒序相加法求和，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，得. 又因为函数，所以， 所以， 所以，，，…. 令，则， 所以， 所以. 故选：B. 3．（2025高二上·安徽六安·课后作业）设，则数列中的最大项的值是 A． B． C．4 D．0 【答案】D 【详解】试题分析：由题意得，，则对称轴方程，又取整数，所以当或时，取最大值为，故选D． 考点：数列的函数特性． 4．（2025高二·全国·假期作业）下列函数在点处没有切线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别对四个选项求导，由于在处不可导，从而得出答案. 【详解】，，此时切线的斜率为，故在点处有切线 ，，此时切线的斜率为，故在点处有切线 ，在处不可导，则在处没有切线 ，，此时切线的斜率为，故在点处有切线 故选：C 5．（2025高三上·北京·阶段练习）已知函数，，则（    ） A．存在极值 B．存在最小值 C．无解 D．总成立 【答案】D 【分析】对进行求导，判断导函数的符号，从而得到在的单调性，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】因为函数，所以 ， 又因为，所以，于是在上单调递增，故在上无极值和无最值，A和B都错；当时，，故C错；由于在上单调递增，所以，故D对. 故选：D 6．（2025高二下·全国·专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可. 【详解】显然函数的定义域为，． 由，得函数的单调递增区间为； 由，得函数单调递减区间为． 因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即． 综上可知实数k的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.本题解题的关键在于结合已知条件，得，进而求解. 7．（2025高二上·山东聊城·阶段练习）已知数列、的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．166 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列、的公共项构成的数列通项，再列不等式求解即得. 【详解】依题意，令，即，整理得， 因此是3的正整数倍，令，即， 于是数列、的公共项构成的数列，有， 由，得， 所以集合中元素的个数为169. 故选：C 8．（2025高二下·四川成都·期中）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为与恰有两个不同的交点的问题；分别在、和三种情况下，结合导数几何意义可确定切线方程，由数形结合的方式可求得结果. 【详解】恰有个零点等价于与恰有两个不同的交点； 由解析式可得图象如下图所示： ①当时，与恰有两个不同交点，符合题意； ②当时，，设直线与相切于点， ，，又，，解得：， 此时，解得：； 由图象可知：当且仅当时，与恰有两个不同交点； ③当时，，设直线与相切于点， ，，解得：； 由图象可知：当时，与恰有两个不同交点，； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得. 【详解】对于A，，符合题意，A是； 对于B，，符合题意，B是； 对于C，，符合题意，C是； 对于D，，不符合题意，D不是. 故选：ABC 10．（2025高二上·江苏扬州·阶段练习）已知在等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）． A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【答案】AC 【分析】先求出等比数列的和，根据等比数列的定义判断A；根据数列单调性的定义判断B；根据等差数列的定义判断C；根据等比中项的定义判断D. 【详解】为等比数列，且，，，， 对于A，，，是等比数列，故A正确； 对于B，，，，且， 是递减数列，故B错误； 对于C，设，则， 是等差数列，故C正确； 对于D，，，，因为， 故数列{}中，，，不成等比数列，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对求导，说明其单调性，即可判断A、C；构造函数研究其单调性，即可判断B；构造函数，利用导数研究其单调性，即可判断D； 【详解】解：因为，所以，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，当，的符号无法确定，故A错误； 当时函数取得极小值，且当时，时，故，故C正确； 令，，则在上单调递增，故时，即，所以，故B正确； 令，，则，，，当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增，，所以恒成立，即在上单调增，因为，所以，故，即，故D正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的构造，属于中档题. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】首先求出在处的切线方程，再设切点坐标为结合列出方程组解方程即可. 【详解】因为函数的导函数为且. 所以切线方程为：.又因为的导函数为： 设切点坐标为，由题意可得 故填：1 13．（2025高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可． 【详解】设数列，的公比分别为， 则时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 联立，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 故答案为：. 14．（2025高二下·云南保山·阶段练习）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】设. 又有成立， 函数，即是上的增函数. 则，即. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高三上·福建莆田·阶段练习）设数列的前n项和为，且满足. （1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【分析】（1）利用与的关系求数列的递推关系，即得证明结论，并根据等比数列求通项公式；（2）根据（1）的结果求出，再分和，求. 【详解】（1）当时，，， 当时，，与已知式作差得，即， 又，∴，∴， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以 （2）由（1）知，∴， 若，， 若，， ∴. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问弄清楚数列与的前项和的关系，在分段求数列的前项和. 16．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1=1，点P(bn，bn+1)满足2+bn=bn+1. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，得，两式相减，化简可得是以2为首项，2为公比的等比数列，结合是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可得答案； （2），利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即， 又 是以2为首项，2为公比的等比数列， 是以1为首项，2为公差的等差数列， （2）① ② ①-②得： 17．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 18．（2025高二下·河南·阶段练习）已知函数. （1）若是的极值点，求的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）对求导，由题意知，求出，带回，令可求得单调增区间，令，可求得单调减区间． （2）将带入，可得解析式，对求导，分解因式，分别讨论，，和时，在上的单调性，进而可求出最小值． 【详解】（1）的定义域为，， 因为是的极值点，所以，解得， 所以， 当或时，；当时，. 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2） ，则 令，得或. ①当，即时，在上为增函数，； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 ； ③当，即时，在上为减函数，所以 . 综 【点睛】本题考查了已知函数的极值点及单调区间问题，以及讨论单调性求最值问题，为常考题型，难点在于对因式分解，得到两根，并进行合理讨论，属中档题． 19．（2025·北京海淀·二模）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d （1）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若数列具有“性质P”，求证；且； （3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由. 【答案】（Ⅰ）不具有性质；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【详解】分析：（Ⅰ）利用举反例的方法证明数列不具有“性质”. （Ⅱ）利用反证法证明 且. （Ⅲ）先通过分析得到,．再分类讨论得到每一种情况下数列的个数，最后得到总数. 详解：（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质． 理由如下： 由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，． （Ⅱ）若数列具有“性质P”，则 ①假设，，则对任意的，. 设，则，矛盾！ ②假设，，则存在正整数，使得 设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾. ③假设，，则存在正整数，使得 设，，，…，，，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾, 综上，，． （Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得． 若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数， ， 这与数列具有“性质P”矛盾，故． 设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项， 设， 则， 因为，所以，即数列的每一项均是整数． 由（Ⅱ）知，，，故数列的每一项均是自然数，且是正整数． 由题意知，是数列中的项，故是数列中的项， 设， 则， 即． 因为，，故是的约数． 所以，,． 当时，，得， 故，共2019种可能； 当时，，得， 故，共1010种可能； 当时，，得， 故，共3种可能； 当时，，得， 故，共2种可能； 当时，，得， 故，共2种可能； 当时，，得， 故，共1种可能； 当时，，得， 故，共1种可能； 当时，，得， 故，共1种可能． 综上，满足题意的数列共有（种）． 经检验，这些数列均符合题意． 点睛：本题的难点是第（Ⅲ）问，难在先要通过分析转化得到数列的特征，,．这一点突破后，后面就迎刃而解了.本题主要考查学生的知识迁移转化能力，属于难题. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$