精品解析：2025年山东省滕州市中考二调数学试卷

2025年初中学业水平考试模拟试题 数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，比2大的无理数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数以及实数大小比较方法，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数、有规律但是不循环的数． 【详解】解：A、3是有理数，不符合题意； B、∵，，∴，符合题意； C、∵，，∴，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，多项式除以单项式，多项式乘多项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 3. 北京量子信息科学研究院发布的长寿命超导量子比特芯片，突破500微秒（1微秒秒）大关，创造了新的世界纪录．则500微秒用科学记数法表示为（    ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1秒微秒， 500微秒秒秒． 故选：C． 4. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．小颖从下面四张纹样中任取两张，恰好都是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别以及画树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据中心对称图形的定义确定四个图形中的中心对称图形，然后作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【详解】解：将四个图形分别编号为，根据中心对称图形的定义，可知图形为中心对称图形，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张都是中心对称图形的有2种结果， 所以，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率． 故选：C． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 6. 将两个大小不同的含角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠）摆放在中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．延长交于点，利用对顶角相等求得，利用三角形内角和定理求得，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图，等边三角形的性质可判定A选项；根据三角形外角的定义和性质可判定B选项；根据直角三角形三边大小关系，等量代换可判定C选项；根据含30度角的直角三角形的性质可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分线段， ∵是等边三角形， ∴，平分，点是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴与重复， ∴平分，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，即，故B选项正确，不符合题意； ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，是斜边，是直角边， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴，且， ∴在中，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形外角的定义和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 9. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 切，于点M，N， ， 又五边形的内角和为， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 10. 中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，精准扶贫方略是帮助贫困人口、实现年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴．为了加大“精准扶贫”力度，某单位将名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领个农户脱贫，若甲组每人负责个农户，乙组每人负责个农户，丙组每人负责个农户，则分组方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设甲组有人，乙组有人，则丙组有人，根据“将名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领个农户脱贫”，列出二元一次方程组，求出正整数解即可． 【详解】解：设甲组有人，乙组有人，则丙组有人， 由题意得：， ， 、是正整数， 或或或或， 分组方案有种， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不能为0，二次根式被开方数为非负数． 12. 若α，β是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得出，，是解题的关键．根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ． 故答案为： 13. 直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数的图像等知识，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出沿x轴向右平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】解：依题意，设将直线沿x轴向右平移3个单位长度后的解析式为， 将代入， 可得， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，设，则，利用列出等式解答即可． 【详解】解：过点作于， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， 解得：（舍去）或， 经检验是原分式方程的解， ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 16. 观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，， 的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，合计72分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），10 【解析】 【分析】（1）先根据立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂化简，然后计算加减法即可； （2）根据分式的混合运算化简，然后将转化为代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程．某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的比赛成绩（百分制），按以下六组进行整理（得分用x表示，没有70分以下的同学）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩部分数据为： D组：86，85，87，86，85，89，88；F组的数据为：95，98，99． 平均数 中位数 方差 七年就 85 八年级 b     请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______； （2）根据统计结果，______年级的成绩更整齐；八年级组测试成绩的中位数b是______； （3）若七、八年级各有500人，测试成绩不低于95分，则认定该学生为一等奖．请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？ 【答案】（1），； （2）八，86.5； （3）100人． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，求中位数，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，理解条形统计图和扇形统计图的特点． （1）根据八年级D等级的学生人数为7人，占总调查人数的，求出n的值即可；用调查的总人数减去其他4项的人数即可得出a的值；求出八年级F等级的人数所占百分比即可； （2）根据方差进行判断即可；根据中位数定义进行判断即可； （3）分别求出七、八两个年级信息素养一等奖的学生人数相加即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， ， ∴． 故答案为：4；15． 【小问2详解】 解：∵， ∴八年级的成绩更整齐； 将八年级学生的成绩从小到大进行排序，排在第10的是86，第11的是87，则中位数， 故答案为：八，． 【小问3详解】 解：（人）， 答：可以估算该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有100人． 19. 小新的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为 _____ ． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？ 请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】，11.1米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算求出；过点H作于Q，于P，根据正弦的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得： 过点作于， 于， 则米， ∴米， 由题意可知：， 在中， ， 则， ∴， ∴， 在中， ， 则 ∴， ∴， 则，解得：， ∴旗杆的高度约为米. 故答案为：． 20. 如图，等腰内接于，点D是线段上异于O，B的一点．连接并延长交于点E，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）连接，，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）设，则，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵是等腰的外接圆，O为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设，则，此时， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． （1）求a、k的值； （2）直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 【答案】（1）， （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【小问1详解】 解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： 点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： 点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． 22. 【问题情境】在矩形中，点E为边上一个动点，连接．将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若矩形满足，点E为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的正切值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和锐角三角函数定义，得，再由折叠性质得：，故是等边三角形，即可得结论； （2）由折叠性质得：，，则，再证，根据相似的性质可得的长； （3）分类讨论且结合作图，当点E在B、C之间时，得，运用勾股定理得，，故；当E与C重合时，，，即可作答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； （2）由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，即， （负值已舍去）， 即的长为； （3）设，， 分两种情况：当点E在B、C之间时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴； 当E与C重合时，， ∴； 综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为，与轴的交点为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取，得，消去解一元二次方程求得的值，即可求得抛物线与轴的交点坐标，求出对称轴为，再将代入二次函数求出，即可求得抛物线的顶点坐标； （2）根据开口方向分情况讨论，确定区间内的最大值与最小值，建立方程求解参数即可； （3）分析函数的单调性，找到满足条件的区间关系，建立不等式求解参数范围即可． 【小问1详解】 解：取，得， 解得：或， 抛物线与轴的交点为，； 对称轴为，代入得， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的解析式为； 当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的表达式为； 综上，该二次函数的解析式为或； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为， 当时，， 由抛物线的对称性知时，， 又，时，， ， 由得且， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数的在特定区间内的最值问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试模拟试题 数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，比2大的无理数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 北京量子信息科学研究院发布的长寿命超导量子比特芯片，突破500微秒（1微秒秒）大关，创造了新的世界纪录．则500微秒用科学记数法表示为（    ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．小颖从下面四张纹样中任取两张，恰好都是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将两个大小不同的含角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠）摆放在中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，精准扶贫方略是帮助贫困人口、实现年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴．为了加大“精准扶贫”力度，某单位将名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领个农户脱贫，若甲组每人负责个农户，乙组每人负责个农户，丙组每人负责个农户，则分组方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 12. 若α，β是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是_______． 14. 如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是______． 15. 如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是______． 16. 观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 三、解答题（本题共7小题，合计72分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程．某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的比赛成绩（百分制），按以下六组进行整理（得分用x表示，没有70分以下的同学）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩部分数据为： D组：86，85，87，86，85，89，88；F组的数据为：95，98，99． 平均数 中位数 方差 七年就 85 八年级 b     请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______； （2）根据统计结果，______年级的成绩更整齐；八年级组测试成绩的中位数b是______； （3）若七、八年级各有500人，测试成绩不低于95分，则认定该学生为一等奖．请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？ 19. 小新的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为 _____ ． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？ 请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 20. 如图，等腰内接于，点D是线段上异于O，B的一点．连接并延长交于点E，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． （1）求a、k的值； （2）直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 22. 【问题情境】在矩形中，点E为边上一个动点，连接．将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若矩形满足，点E为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的正切值． 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $