专题02 平面向量基本定理与坐标运算12考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量基本定理与坐标运算 12考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量基本定理与坐标运算是向量知识体系的重要组成部分。这部分内容不仅是向量运算从几何形式向代数形式转化的关键，也是解决众多数学问题的有力工具。从知识联系上看，它与三角函数、解析几何、立体几何等知识紧密相关，常作为解题的中间环节或重要条件，提升了其在高考中的地位。在高考数学试卷里，平面向量基本定理与坐标运算相关题目频繁出现，题型涵盖选择题、填空题和解答题，分值占比稳定，考查难度层次分明，既注重基础知识的理解与掌握，又强调知识的综合运用和能力的考查。 【处理角度】 1. 理解向量基本概念：精准把握向量的定义、模、夹角、平行、垂直等基本概念，这是解决向量问题的根基。例如，明确平行向量与共线向量的等价关系，清楚向量垂直时数量积为零的特性等，为后续解题提供理论支撑。 2. 掌握定理及应用：深刻领会平面向量基本定理，明白任意向量都能用一组基底线性表示，且表示方式唯一。通过对定理的深入理解，能够熟练运用基底表示其他向量，实现向量问题的转化与求解。 3. 运用坐标运算规则：熟练掌握向量的线性运算（加法、减法、数乘）、数量积运算、模运算、夹角运算以及投影向量运算的坐标公式。在解题时，依据题目条件准确选择并运用相应公式，将向量问题转化为坐标运算问题，简化计算过程。 4. 分析几何图形关系：许多向量问题都依托于几何图形，像三角形、平行四边形、梯形等。要善于从几何图形中挖掘向量间的关系，例如平行、垂直、共线等，再结合向量的运算规则进行求解。通过建立几何图形与向量运算的联系，提升解题的直观性和效率。 5. 关注条件转化：在解决向量问题时，常常需要将题目中的条件进行转化。比如，由向量平行推出坐标的关系，由向量垂直得到数量积为零的等式等。通过灵活转化条件，找到解题的关键线索，实现从已知条件到结论的推导。 【解法策略】 1. 基底概念相关题型：判断向量能否作为基底，关键在于判断向量是否共线。若两向量共线，则不能作为基底；若不共线，则可作为基底。对于能否用给定向量组表示其他向量的问题，同样依据向量是否共线来判断，不共线的向量组可作为基底表示其他向量。 2. 平面向量基本定理及其应用题型：遇到此类题目，先观察图形，确定合适的基底向量。然后根据向量的线性运算规则，如加法的三角形法则、平行四边形法则，以及数乘运算的性质，将目标向量用基底表示出来。在表示过程中，充分利用已知条件，像线段的比例关系、点的位置关系等，找到向量之间的联系，从而实现目标向量的准确表示。 3. 向量的线性运算坐标表示题型：在进行向量的线性运算坐标表示时，先准确写出参与运算向量的坐标。接着，按照向量线性运算的坐标规则，进行加法、减法和数乘运算，得到运算结果向量的坐标。最后，根据题目要求，利用数量积的坐标表示等进一步计算，如求向量的模、夹角等。 4. 线段定比分点题型：涉及线段定比分点问题时，根据点分线段所成的比，结合向量的定义和运算规则，将其转化为向量的关系。再通过向量的坐标运算，建立关于点坐标的方程或方程组，求解得到点的坐标。对于与三角形重心等特殊点相关的问题，利用重心的性质和坐标公式进行计算。 5. 由向量坐标判断向量是否平行题型：判断两个向量是否平行，依据向量平行的坐标表示条件，检查两向量坐标是否满足相应关系。若满足，则两向量平行；若不满足，则不平行。同时，要注意向量的模、方向等因素对平行判断的影响，以及零向量与其他向量的特殊关系。 6. 由向量平行求参数题型：当已知两向量平行且含有参数时，根据向量平行的坐标表示列出方程。然后求解方程，得到参数的值。在求解过程中，要注意对解的检验，特别是当向量平行且方向相反等特殊情况时，确保参数的值符合题目条件。 7. 向量共线定理的应用题型：若已知三点共线，利用向量共线定理，将其转化为两个向量共线的关系。再根据向量共线的坐标表示列出方程，求解得到相关参数的值。对于判断三点能否构成三角形的问题，转化为判断两向量是否共线，若不共线，则三点可构成三角形。 8. 数量积的坐标运算题型：计算向量数量积的坐标运算时，先准确写出向量的坐标。然后按照数量积的坐标公式进行计算。对于一些复杂的问题，可能需要结合三角函数、几何图形等知识，通过建立坐标系，将几何问题转化为向量坐标运算问题，进而求解。 9. 向量模的坐标运算题型：求向量模的坐标运算，先根据向量的坐标，利用向量模的坐标公式进行计算。若已知向量平行或垂直等条件，先根据这些条件求出向量的坐标或参数的值，再代入模的公式计算。在计算过程中，注意运算的准确性和公式的正确使用。 10. 向量垂直的坐标表示题型：当已知两向量垂直时，根据向量垂直的坐标表示，即两向量数量积为零，列出方程。然后求解方程，得到相关参数的值或向量的坐标。在解决与向量垂直相关的问题时，要灵活运用向量的运算规则和垂直的性质，简化计算过程。 11. 向量夹角的坐标表示题型：求向量夹角的坐标表示，先根据向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式求出数量积的值，再分别计算出两个向量的模。然后将这些值代入向量夹角的余弦公式，计算出夹角的余弦值。根据余弦值的范围和题目条件，确定向量夹角的大小。对于夹角为钝角或锐角的情况，要结合数量积的正负以及向量是否共线等条件进行判断。 12. 投影向量的坐标表示题型：计算投影向量的坐标表示，根据投影向量的定义和公式，先求出向量的数量积以及向量的模。然后将这些值代入投影向量的公式，计算出投影向量的坐标。在计算过程中，要准确运用向量的运算公式，确保计算结果的准确性。 考点1 基底的概念 1．（江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 2．（20-21高一下·广东潮州·阶段练习）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 考点2 平面向量基本定理及其应用 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（18-19高一·全国·课后作业）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 12．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）设O为等腰内切圆的圆心，，则（    ） A． B． C． D． 考点3 向量的线性运算坐标表示 14．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 15．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西西安·三模）如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（    ） A． B． C． D． 考点4 线段定比分点 18．（20-21高一下·上海·课后作业）已知，，若点分所成的比为，则 ， . 19．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 考点5 由向量坐标判断向量是否平行 21．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 22．（20-21高二上·江苏南通·阶段练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与反向 D．、可作一组基底 23．（23-24高一下·四川内江·期中）下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 24．（24-25高一下·天津·期中）若向量，则（    ） A． B． C． D． 考点6 由向量平行求参数 25．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 26．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 27．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中），，，则实数（    ） A． B．3 C． D．-3 考点7 向量共线定理的应用 30．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 32．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 33．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 34．（24-25高一下·天津蓟州·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 考点8 数量积的坐标运算 35．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 37．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，则的最大值是 ． 38．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点9 向量模的坐标运算 39．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 41．（2025·河南·二模）已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 42．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 考点10 向量垂直的坐标表示 43．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 44．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量 ，若 ，则   （   ） A．1 B．-1 C．0 D． 46．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 47．（24-25高二下·浙江·期中）已知向量若则（    ） A． B． C． D． 48．（2025·河北·模拟预测）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 考点11 向量夹角的坐标表示 49．（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 50．（19-20高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知平面向量，，则向量与的夹角大小为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点12 投影向量的坐标表示 54．（2025·河北·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 55．（2025·山东青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 57．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 一、单选题 1．（2025·湖北·二模）已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西晋城·期中）在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 6．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一下·河南·期中）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．∥ B． C． D．与的夹角的余弦值为 11．（24-25高一下·山西晋城·期中）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 12．（24-25高一下·河南许昌·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 13．（2025·河北·模拟预测）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 14．（24-25高一下·北京平谷·阶段练习）已知三点共线，则P的值为 ． 15．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为 . 16．（2025高三·全国·专题练习）在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为 17．（24-25高一下·陕西·期中）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 . 四、解答题 18．（24-25高二下·山东东营·阶段练习）已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 19．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 20．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)若与平行，求实数的值 21．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 22．（24-25高一下·广东肇庆·期中）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 23．（24-25高二下·江西景德镇·期中）如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量基本定理与坐标运算 12考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量基本定理与坐标运算是向量知识体系的重要组成部分。这部分内容不仅是向量运算从几何形式向代数形式转化的关键，也是解决众多数学问题的有力工具。从知识联系上看，它与三角函数、解析几何、立体几何等知识紧密相关，常作为解题的中间环节或重要条件，提升了其在高考中的地位。在高考数学试卷里，平面向量基本定理与坐标运算相关题目频繁出现，题型涵盖选择题、填空题和解答题，分值占比稳定，考查难度层次分明，既注重基础知识的理解与掌握，又强调知识的综合运用和能力的考查。 【处理角度】 1. 理解向量基本概念：精准把握向量的定义、模、夹角、平行、垂直等基本概念，这是解决向量问题的根基。例如，明确平行向量与共线向量的等价关系，清楚向量垂直时数量积为零的特性等，为后续解题提供理论支撑。 2. 掌握定理及应用：深刻领会平面向量基本定理，明白任意向量都能用一组基底线性表示，且表示方式唯一。通过对定理的深入理解，能够熟练运用基底表示其他向量，实现向量问题的转化与求解。 3. 运用坐标运算规则：熟练掌握向量的线性运算（加法、减法、数乘）、数量积运算、模运算、夹角运算以及投影向量运算的坐标公式。在解题时，依据题目条件准确选择并运用相应公式，将向量问题转化为坐标运算问题，简化计算过程。 4. 分析几何图形关系：许多向量问题都依托于几何图形，像三角形、平行四边形、梯形等。要善于从几何图形中挖掘向量间的关系，例如平行、垂直、共线等，再结合向量的运算规则进行求解。通过建立几何图形与向量运算的联系，提升解题的直观性和效率。 5. 关注条件转化：在解决向量问题时，常常需要将题目中的条件进行转化。比如，由向量平行推出坐标的关系，由向量垂直得到数量积为零的等式等。通过灵活转化条件，找到解题的关键线索，实现从已知条件到结论的推导。 【解法策略】 1. 基底概念相关题型：判断向量能否作为基底，关键在于判断向量是否共线。若两向量共线，则不能作为基底；若不共线，则可作为基底。对于能否用给定向量组表示其他向量的问题，同样依据向量是否共线来判断，不共线的向量组可作为基底表示其他向量。 2. 平面向量基本定理及其应用题型：遇到此类题目，先观察图形，确定合适的基底向量。然后根据向量的线性运算规则，如加法的三角形法则、平行四边形法则，以及数乘运算的性质，将目标向量用基底表示出来。在表示过程中，充分利用已知条件，像线段的比例关系、点的位置关系等，找到向量之间的联系，从而实现目标向量的准确表示。 3. 向量的线性运算坐标表示题型：在进行向量的线性运算坐标表示时，先准确写出参与运算向量的坐标。接着，按照向量线性运算的坐标规则，进行加法、减法和数乘运算，得到运算结果向量的坐标。最后，根据题目要求，利用数量积的坐标表示等进一步计算，如求向量的模、夹角等。 4. 线段定比分点题型：涉及线段定比分点问题时，根据点分线段所成的比，结合向量的定义和运算规则，将其转化为向量的关系。再通过向量的坐标运算，建立关于点坐标的方程或方程组，求解得到点的坐标。对于与三角形重心等特殊点相关的问题，利用重心的性质和坐标公式进行计算。 5. 由向量坐标判断向量是否平行题型：判断两个向量是否平行，依据向量平行的坐标表示条件，检查两向量坐标是否满足相应关系。若满足，则两向量平行；若不满足，则不平行。同时，要注意向量的模、方向等因素对平行判断的影响，以及零向量与其他向量的特殊关系。 6. 由向量平行求参数题型：当已知两向量平行且含有参数时，根据向量平行的坐标表示列出方程。然后求解方程，得到参数的值。在求解过程中，要注意对解的检验，特别是当向量平行且方向相反等特殊情况时，确保参数的值符合题目条件。 7. 向量共线定理的应用题型：若已知三点共线，利用向量共线定理，将其转化为两个向量共线的关系。再根据向量共线的坐标表示列出方程，求解得到相关参数的值。对于判断三点能否构成三角形的问题，转化为判断两向量是否共线，若不共线，则三点可构成三角形。 8. 数量积的坐标运算题型：计算向量数量积的坐标运算时，先准确写出向量的坐标。然后按照数量积的坐标公式进行计算。对于一些复杂的问题，可能需要结合三角函数、几何图形等知识，通过建立坐标系，将几何问题转化为向量坐标运算问题，进而求解。 9. 向量模的坐标运算题型：求向量模的坐标运算，先根据向量的坐标，利用向量模的坐标公式进行计算。若已知向量平行或垂直等条件，先根据这些条件求出向量的坐标或参数的值，再代入模的公式计算。在计算过程中，注意运算的准确性和公式的正确使用。 10. 向量垂直的坐标表示题型：当已知两向量垂直时，根据向量垂直的坐标表示，即两向量数量积为零，列出方程。然后求解方程，得到相关参数的值或向量的坐标。在解决与向量垂直相关的问题时，要灵活运用向量的运算规则和垂直的性质，简化计算过程。 11. 向量夹角的坐标表示题型：求向量夹角的坐标表示，先根据向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式求出数量积的值，再分别计算出两个向量的模。然后将这些值代入向量夹角的余弦公式，计算出夹角的余弦值。根据余弦值的范围和题目条件，确定向量夹角的大小。对于夹角为钝角或锐角的情况，要结合数量积的正负以及向量是否共线等条件进行判断。 12. 投影向量的坐标表示题型：计算投影向量的坐标表示，根据投影向量的定义和公式，先求出向量的数量积以及向量的模。然后将这些值代入投影向量的公式，计算出投影向量的坐标。在计算过程中，要准确运用向量的运算公式，确保计算结果的准确性。 考点1 基底的概念 1．（江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以共线，不能作为基底. B选项，，所以共线，不能作为基底. C选项，，所以共线，不能作为基底. D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D 2．（20-21高一下·广东潮州·阶段练习）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示. 【详解】对于A．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底，不能表示出； 对于B．由于，不共线，可以作为平面的基底，能表示出； 对于C．，不共线， 可以作为平面的基底，能表示出； 对于D．，， 不可以作为平面的基底，不能表示出． 故选：BC. 3．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【分析】利用基底的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，，A不可以； 对于B，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，B可以； 对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以； 对于D，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，D可以. 故选：BCD 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 考点2 平面向量基本定理及其应用 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 6．（18-19高一·全国·课后作业）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 7．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量对应线段的位置、数量关系，用、表示出，即可得. 【详解】由题设. 故选：C 8．（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 9．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算可求. 【详解】 ， 故， 故选：A. 10．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 11．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 12．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用向量的加法法则用表示，再利用平面向量基本定理结合条件列出方程组，求解即可. 【详解】，为的中点， ，， 三点共线， 设 ， 又， ，解得. 故选：B. 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）设O为等腰内切圆的圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出三角形中，再由内切圆性质得出，根据向量求出即可. 【详解】因为，所以，所以． 由余弦定理，得， 即，解得． 取BC的中点E，连接AE，如图， 则， 所以的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为，所以， 所以，得， 所以，所以， 又， 所以， 所以，所以． 故选：C 考点3 向量的线性运算坐标表示 14．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 15．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，则， 所以，解得. 故选：C. 16．（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 17．（2025·陕西西安·三模）如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点为，则也是，的中点， 故， 因此. 故选：C. 考点4 线段定比分点 18．（20-21高一下·上海·课后作业）已知，，若点分所成的比为，则 ， . 【答案】 【分析】依题意可得，再表示出、的坐标，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以 所以解得 故答案为：； 19．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 20．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由点在直线上，且，可推出点在线段上或延长线上，转化成向量相等，再利用坐标求解 【详解】设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况： ①，此时有，可得，解得. ②，此时有，可得，解得. 综上所述，点的坐标为或. 故选：AB 考点5 由向量坐标判断向量是否平行 21．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 【详解】因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 22．（20-21高二上·江苏南通·阶段练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与反向 D．、可作一组基底 【答案】ABC 【分析】由，即可判断A、B、D，求出的坐标，即可判断C. 【详解】因为，， 所以，则，，故A、B正确； 因为，所以、不可作一组基底，故D错误； 又， 所以，则与反向，故C正确. 故选：ABC 23．（23-24高一下·四川内江·期中）下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】BC 【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误； 对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确； 对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确； 对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，这意味着不能共线，故D错误. 故选：BC. 24．（24-25高一下·天津·期中）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可. 【详解】对于A，B显然错误； 对于C：易知，两向量平行，故正确， 对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误， 故选：C 考点6 由向量平行求参数 25．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两向量方向相反可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围. 【详解】∵与方向相反，∴，∴，∴， 由得，∴实数t的取值范围是. 故答案为： 26．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 27．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案. 【详解】若，则有，解得或， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 综上，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 28．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 29．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中），，，则实数（    ） A． B．3 C． D．-3 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故选：A. 考点7 向量共线定理的应用 30．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 31．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 32．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 33．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量加法求出，再利用向量共线的性质列出等式，最后求解. 【详解】已知，，则. 因为，，三点共线，所以与共线.可得. 即.等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到. 故选：B. 34．（24-25高一下·天津蓟州·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 考点8 数量积的坐标运算 35．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 【详解】设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 36．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 37．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 【详解】由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 38．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 考点9 向量模的坐标运算 39．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解； 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 故选：B 40．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据条件计算，，由计算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 41．（2025·河南·二模）已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，， 所以，又，所以，解得或， 所以正实数的值为. 故选：B 42．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 考点10 向量垂直的坐标表示 43．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由， 则， 由， 所以， 解得：， 故选：A 44．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由向量共线以及垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，则， 由可得，解得. 故选：D 45．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量 ，若 ，则   （   ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，代入求值即可. 【详解】， 又， ，即， 解得：. 故选：B. 46．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 47．（24-25高二下·浙江·期中）已知向量若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由， 因为所以， 故选：B. 48．（2025·河北·模拟预测）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】根据题意，，若，则，所以. 故选：D 考点11 向量夹角的坐标表示 49．（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】，， 所以， ， 所以. 故选：D 50．（19-20高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 51．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知平面向量，，则向量与的夹角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标的夹角余弦值表示即可得到答案. 【详解】由已知，， 所以，故. 故选：D. 52．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量夹角的坐标公式求参数范围，注意反向共线的情况，即可得. 【详解】因为向量，且与的夹角为钝角， 所以，可得， 注意，需排除反向共线的情况，此时，即， 综上，． 故选：B 53．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 考点12 投影向量的坐标表示 54．（2025·河北·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为, 故选：C. 55．（2025·山东青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果． 【详解】在上的投影向量为． 故选：A． 56．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 57．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 【答案】D 【分析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 【详解】因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 一、单选题 1．（2025·湖北·二模）已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标表示以及数乘运算解方程组可得结果. 【详解】设，则 由，解得， 即. 故选：A. 2．（24-25高一下·山西晋城·期中）在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 3．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示，及数量积、模长的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，由坐标易知不成立，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确， 对于D：，所以，错误， 故选：C 5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 【详解】设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得. 所以 ． 故选：D. 6．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 【详解】因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解, 【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D      二、多选题 8．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 9．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】因为向量，， 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故B正确； 若，解得，故C错误； 若，则，所以，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一下·河南·期中）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．∥ B． C． D．与的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量平行的坐标表示分析判断；对于B：根据向量垂直的坐标表示分析判断；对于D：根据模长的坐标表示分析判断；对于D：先求，进而可得向量夹角. 【详解】因为 对于选项A：因为，可知与不共线，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：由，可得，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·山西晋城·期中）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用坐标法判断A、B，由及向量共线的坐标表示判断C，根据向量模的坐标表示得到，设，，利用辅助角公式计算D. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，， 所以，，因为 所以，即； 对于A：若，则，所以，，所以，故A错误； 对于B：当时，，所以，又， 所以，故B正确； 对于C：因为，， 又点在线段上，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：若，又，所以，即， 设，， 所以，其中为锐角且， 所以当时取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：BCD    12．（24-25高一下·河南许昌·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 13．（2025·河北·模拟预测）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A选项，由向量垂直数量积为0建立等式，解得的值；B选项，由向量平行坐标交叉相乘相等建立等式，求得的值；C选项，列出，由三角函数得到最大值点，即求得的值；D选项，将的值代入，由投影向量的公式即可求得结果. 【详解】对于A，若，则，则，解得，所以A正确； 对于B，若，则，所以，解得，所以B正确； 对于C，， 当，即时，取最大值，所以C错误； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（24-25高一下·北京平谷·阶段练习）已知三点共线，则P的值为 ． 【答案】2 【分析】得到后借助向量共线计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴ ∵，∴，解得：. 故答案为：2 15．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标关系式求解即可. 【详解】因为； 所以，， 由于与共线，则， 解得. 故答案为： 16．（2025高三·全国·专题练习）在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，来计算数量积，向量的加法与数乘，通过计算得到的等式转化为关于的函数，再利用对勾函数来求值域即可. 【详解】当为钝角或直角时，，且与不共线， ，由，可得， 解得， 若与共线，则，即， 所以的取值范围是2， 由题意可得，，， ， 由，可得， 展开式子:， 整理得， 进一步得到， 所以， 设，对其求导， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，则 所以， 综上，的最小值为. 故答案为： 17．（24-25高一下·陕西·期中）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由可求出线段的长，根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 【详解】 由可知为的中点. 又因为为外接圆的圆心，所以，所以为直角三角形， 所以，即，所以. 又，所以，所以. 又因为为边上的动点，所以，. 所以， 因为，所以，所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是：根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由，所以.根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 四、解答题 18．（24-25高二下·山东东营·阶段练习）已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【详解】（1），，由于，故，不共线， （2） 则，解得. （3）， 与平行，则，得. 19．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用坐标求出向量的模. （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值. （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）向量，则， 由，得，解得， 所以m的值为. （3），设与垂直的向量， 则，取，得，则， 与向量共线的单位向量为， 所以与垂直的单位向量的坐标或. 20．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)若与平行，求实数的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由向量，可得， 所以. （2）由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 21．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【详解】（1）由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 22．（24-25高一下·广东肇庆·期中）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【详解】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 23．（24-25高二下·江西景德镇·期中）如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）在中，由，又， 所以， 所以 ， 因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$