6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 学习目标： 了解向量的正交分解，理解在平面直角坐标系中表示向量，掌握向量的坐标表示. 重点：平面直角坐标系中向量的坐标表示. 难点：在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系. 温故知新 平面向量基本定理: 如果 ， 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这 一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 . 若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一 个基底. 在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 引入 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 如图所示，重力 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解， 重力 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下 滑的力 ,垂直于斜面的压力 . 正交分解 平面向量的正交分解： 如图，向量 ，是两个互相垂直的单位向量，向量　与　的夹角是30°， 且 　　　，以向量 ， 为基底，向量　如何表示？ 思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示， 那么，如何表示直角坐标平面的一个向量呢？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究 问题带来方便. 如图， ，是分别与 轴、 轴方向相同的单位向量，若以 为基底， 则对于平面内任一向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数 ， 使得： . 这样，平面内的任一向量 都可由 ， 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，记作： . 其中， 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 叫做向量 的坐标表示. 显然: y O x 显然:向量 ， 有什么关系？ 能说出向量 的坐标吗? 相等的向量坐标相同 如图，在直角坐标平面内，以原点 为起点作 ，则点 的位置由 唯一确定. 设 ，则向量 的坐标 就是点 的坐标； 反过来，点 的坐标 也就是向量 的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示. 练习:在平面直角坐标系内画出下列向量. 例1.如图，分别用基底 ， 表示向量 ， ， ， ，并求出它们的坐标. 解：如图可知 同理， a b c d y x O 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 课堂小结 1.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示： ，是分别与 轴、 轴方向相同的单位向量，若以 为基底， 则对于平面内任一向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数 ， 使得： ，记作： $$