第3章 整式的乘除（思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第3章 整式的乘除 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：幂的运算 3 知识点梳理02：整式的乘法和除法 3 知识点梳理03：乘法公式 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：幂的运算混淆 5 易错知识点02：符号处理错误 5 易错知识点03：乘法公式应用错误 5 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 5 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 5 易错知识点06：实际应用中的易错点 6 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 6 期末真题汇编考点讲练 6 期末考向一：同底数幂的乘法 6 重点考点讲练01：用科学记数法表示数的乘法 6 期末考向二：单项式的乘法 7 重点考点讲练02：计算单项式乘多项式及求值 7 重点考点讲练03：单项式乘多项式的应用 7 期末考向三：多项式的乘法 8 重点考点讲练04：(x+p)(x+q)型多项式乘法 8 重点考点讲练05：多项式乘多项式--化简求值 8 重点考点讲练06：多项式乘多项式与图形面积 9 重点考点讲练07：多项式乘法中的规律性问题 10 期末考向四：整式的化简 10 重点考点讲练08：整式乘法混合运算 10 重点考点讲练09：通过对完全平方公式变形求值 11 期末考向五：同底数幂的除法 12 重点考点讲练10：同底数幂的除法运算 12 重点考点讲练11：零指数幂 12 重点考点讲练12：负整数指数幂 12 期末考向六：整式的除法 13 重点考点讲练13：整式四则混合运算 13 重点考点讲练14：整式的混合运算 14 优选真题难度分层练 15 中档题—夯实基础能力 15 压轴题—强化解题技能 17 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 期末考向一：同底数幂的乘法 重点考点讲练01：用科学记数法表示数的乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【训练1】（21-22七年级下·甘肃兰州·期末）一个正方体的棱长是，则这个正方体的表面积和体积是多少？ 【训练2】（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 期末考向二：单项式的乘法 重点考点讲练02：计算单项式乘多项式及求值 【母题精讲】（21-22七年级下·福建三明·期末）已知，则代数式的值为 ． 【训练1】（21-22七年级上·浙江金华·期末）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要1枚棋子，摆第2个图案需要7枚棋子，摆第3个图案需要19枚棋子，摆第4个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第5个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 【训练2】（21-22七年级上·江西景德镇·期末）若，则 ． 重点考点讲练03：单项式乘多项式的应用 【母题精讲】（23-24七年级上·河北保定·期末）已知长方形的长为a，宽为，周长为，正方形的边长为，周长为，则等于（    ） A．2a B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·北京平谷·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（21-22七年级上·浙江衢州·期末）有总长为l米的篱笆，利用它和一面足够长的墙围成长方形园子，园子的宽为a米．    (1)如图1，①用关于l，a的代数式表示园子的面积． ②当，时，求园子的面积． (2) 如图2，若在园子的长边上开了1米的门，请判断园子的面积是增大还是减小？若增加了，请求出增加了多少，若减少了，请求出减少了多少．（用关于l，a的代数式表示） 期末考向三：多项式的乘法 重点考点讲练04：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”、如记，；已知，则（    ） A． B． C． D． 【训练1】（20-21七年级下·江苏南京·期末）若，则 【训练2】（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C，例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练05：多项式乘多项式--化简求值 【母题精讲】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【训练1】（22-23七年级下·北京·期末）已知： ，，化简的结果是 ． 【训练2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中 重点考点讲练06：多项式乘多项式与图形面积 【母题精讲】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．    (1)用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） (2)用“＜”、“＞”或“=”填空：______； (3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【训练1】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）图中三角形的面积为 ．    【训练2】（22-23七年级下·安徽六安·期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示． (1)请写出图②所表示的代数恒等式． (2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式． 重点考点讲练07：多项式乘法中的规律性问题 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南张家界·期末）根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【训练1】（22-23七年级下·湖南怀化·期末）已知，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是 ． 【训练2】（22-23七年级下·云南文山·期末）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， … 观察上式，并猜想： (1)______．______． (2)通过以上规律，请你进行下面的探索： ①______． ②______． ③______． (3)根据你的猜想，计算：． 期末考向四：整式的化简 重点考点讲练08：整式乘法混合运算 【母题精讲】（21-22七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中 【训练1】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【训练2】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证： (1)的结果是8的______倍； (2)设三个连续的奇数中间的一个为（为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数． 重点考点讲练09：通过对完全平方公式变形求值 【母题精讲】（23-24七年级上·河南信阳·期末）已知，，那么的值是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【训练1】（21-22七年级下·湖南张家界·期末）阅读：已知，，求的值． 解：，， ． 请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【训练2】（21-22七年级下·陕西西安·期末）已知，求的值． 期末考向五：同底数幂的除法 重点考点讲练10：同底数幂的除法运算 【母题精讲】（21-22七年级下·广西百色·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·河南郑州·期末）“先看到闪电，后听到雷声”是一种常见的自然现象，那是因为在空气中光的传播速度比声音快，科学家发现，光在空气中的传播速度约为：米/秒，声音在空气中的传播速度约为300米/秒，在空气中，光的传播速度是声音的传播速度的 倍． 【训练2】（22-23七年级下·四川达州·期末）已知，，，，则 ． 重点考点讲练11：零指数幂 【母题精讲】（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（21-22七年级下·安徽安庆·期末）计算： 【训练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）计算： ． 重点考点讲练12：负整数指数幂 【母题精讲】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）计算：． 【训练1】（22-23七年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 期末考向六：整式的除法 重点考点讲练13：整式四则混合运算 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【训练2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中，满足． 重点考点讲练14：整式的混合运算 【母题精讲】（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【训练1】（21-22七年级下·甘肃白银·期末）先化简，再求值：，其中，． 【训练2】（22-23七年级下·江苏连云港·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）： ①______； ②若，则______； (2)试比较与与的大小，并说明理由； (3)图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：______；    (4)已知，，试运用上述方法比较M、N的大小，并说明理由． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级下·全国·期末）若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）为了人体的健康，国家质检局规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤制品的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在千克以下，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 5．（20-21七年级下·安徽宿州·期末）计算 ． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 滴． 7．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    8．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：． 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值： ，其中，． 10．（23-24七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)图1中长方形的面积____________；图2中长方形的面积____________；比较____________（选填“”、“=”或“”）； (2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 压轴题—强化解题技能 11．（21-22七年级下·甘肃白银·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·广东深圳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23七年级下·四川达州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）若，则 ． 15．（22-23七年级下·浙江温州·期末）若n满足关系式，则代数式 的值是 ． 16．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    17．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 18．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为米的人行通道． (1)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (2)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 19．（22-23七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）先化简， 再求值：， 其中 ． 20．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第3章 整式的乘除 （思维导图+知识梳理+易错点拨+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：幂的运算 3 知识点梳理02：整式的乘法和除法 3 知识点梳理03：乘法公式 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：幂的运算混淆 5 易错知识点02：符号处理错误 5 易错知识点03：乘法公式应用错误 5 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 5 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 5 易错知识点06：实际应用中的易错点 6 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 6 期末真题汇编考点讲练 6 期末考向一：同底数幂的乘法 6 重点考点讲练01：用科学记数法表示数的乘法 6 期末考向二：单项式的乘法 7 重点考点讲练02：计算单项式乘多项式及求值 7 重点考点讲练03：单项式乘多项式的应用 9 期末考向三：多项式的乘法 11 重点考点讲练04：(x+p)(x+q)型多项式乘法 11 重点考点讲练05：多项式乘多项式--化简求值 12 重点考点讲练06：多项式乘多项式与图形面积 14 重点考点讲练07：多项式乘法中的规律性问题 16 期末考向四：整式的化简 18 重点考点讲练08：整式乘法混合运算 18 重点考点讲练09：通过对完全平方公式变形求值 20 期末考向五：同底数幂的除法 21 重点考点讲练10：同底数幂的除法运算 21 重点考点讲练11：零指数幂 23 重点考点讲练12：负整数指数幂 24 期末考向六：整式的除法 25 重点考点讲练13：整式四则混合运算 25 重点考点讲练14：整式的混合运算 27 优选真题难度分层练 30 中档题—夯实基础能力 30 压轴题—强化解题技能 34 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 期末考向一：同底数幂的乘法 重点考点讲练01：用科学记数法表示数的乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【思路点拨】根据路程=速度×时间，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【训练1】（21-22七年级下·甘肃兰州·期末）一个正方体的棱长是，则这个正方体的表面积和体积是多少？ 【答案】， 【思路点拨】根据正方体的性质进行计算即可得． 【规范解答】解：表面积： 体积： ． 【训练2】（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 【答案】B 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【规范解答】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012． 故选：B． 期末考向二：单项式的乘法 重点考点讲练02：计算单项式乘多项式及求值 【母题精讲】（21-22七年级下·福建三明·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】先把代数式进行化简得到，再把整体代入即可． 【规范解答】解： ＝ = =， 将代入， 原式=， 故答案为：6． 【训练1】（21-22七年级上·浙江金华·期末）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要1枚棋子，摆第2个图案需要7枚棋子，摆第3个图案需要19枚棋子，摆第4个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第5个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 【答案】 61 3n2-3n+1 【思路点拨】本题可依次解出n=1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第5个及第n个图案需要的棋子枚数． 【规范解答】解：∵n=1时，总数是6×0+1=1； n=2时，总数为6×（0+1）+1=7； n=3时，总数为6×（1+2）+1=19枚； n=4时，总数为6×（1+2+3）+1=37枚； n=5时，总数为6×（1+2+3+4）+1=61枚； …； ∴第n个图形，总数为6×（1+2+3+…+n-1）+1=3n(n-1)+1=3n2-3n+1（枚） 故答案为：61，3n2-3n+1． 【训练2】（21-22七年级上·江西景德镇·期末）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】根据一直等式得到，再整体代入所求式子，逐步运算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ = = = = = = … = = = = = = 故答案为：． 重点考点讲练03：单项式乘多项式的应用 【母题精讲】（23-24七年级上·河北保定·期末）已知长方形的长为a，宽为，周长为，正方形的边长为，周长为，则等于（    ） A．2a B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算、长方形与正方形的周长公式，解题的关键是熟知整式的计算法则． 根据长方形与正方形的周长公式及整式的运算法则进行计算即可． 【规范解答】根据长方形与正方形的周长公式可得： ∴． 故选：D． 【训练1】（22-23七年级下·北京平谷·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】利用幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法与单项式乘多项式的运算法则进行运算即可． 【规范解答】A．，故选项计算错误，不合题意； B．，故选项计算错误，不合题意； C．，故选项计算错误，不合题意； D．，故计算正确，符合题意． 故选：D． 【训练2】（21-22七年级上·浙江衢州·期末）有总长为l米的篱笆，利用它和一面足够长的墙围成长方形园子，园子的宽为a米．    (1)如图1，①用关于l，a的代数式表示园子的面积． ②当，时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了1米的门，请判断园子的面积是增大还是减小？若增加了，请求出增加了多少，若减少了，请求出减少了多少．（用关于l，a的代数式表示） 【答案】(1)①；②； (2)园子的面积增加了，增加了 ． 【思路点拨】（1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可； （2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积． 【规范解答】（1）①总长为米，宽为米， 园子的长为：， 园子的面积为：； ②当，时， ； （2）园子的宽不变，长增加了， 园子的面积增大了， 在园子的长边上开了1米的门， 园子的长为：， 园子的面积为：， 园子增加的面积为：， 答：园子的面积增加了，增加了 ． 期末考向三：多项式的乘法 重点考点讲练04：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”、如记，；已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】利用题中的新定义将已知等式左边化简，再利用等式左右两边相等即可求得，的值． 【规范解答】解：利用题中的新定义计算可知： ， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【训练1】（20-21七年级下·江苏南京·期末）若，则 【答案】4 【思路点拨】利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值，代入即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 【训练2】（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C，例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意设，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案． 【规范解答】解：∵能整除， ∴设， ∴， ∴， 解得， 故选B． 重点考点讲练05：多项式乘多项式--化简求值 【母题精讲】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【思路点拨】先算多项式乘多项式，再合并同类项，接着算整式的除法，最后把相应的值代入运算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 将，代入， 原式， ， ． 【训练1】（22-23七年级下·北京·期末）已知： ，，化简的结果是 ． 【答案】2 【思路点拨】先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【规范解答】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：2． 【训练2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【思路点拨】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可． 【规范解答】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 重点考点讲练06：多项式乘多项式与图形面积 【母题精讲】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．    (1)用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） (2)用“＜”、“＞”或“=”填空：______； (3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)是， 【思路点拨】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可； （2）利用求差法可比较两个式子大小； （3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可． 【规范解答】（1）解：； ； （2）∵， ∴ 故答案为：； （3）解：大正方形的边长为：， 大正方形面积为：， ， ． 答：与的差为定值，值为10． 【训练1】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）图中三角形的面积为 ．    【答案】/ 【思路点拨】根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：由题意知，三角形的面积为， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·安徽六安·期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示． (1)请写出图②所表示的代数恒等式． (2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式． 【答案】(1)； (2)见解析． 【思路点拨】（1）根据数据表示出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的长方形的面积，然后根据面积相等即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【规范解答】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 重点考点讲练07：多项式乘法中的规律性问题 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南张家界·期末）根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【答案】5 【思路点拨】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【规范解答】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， 又， ∴即的末位数为5， 故答案为：5． 【训练1】（22-23七年级下·湖南怀化·期末）已知，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是 ． 【答案】5 【思路点拨】仿照阅读材料中的等式可得，再进一步得出的个位数字与的个位数字相同，都是6，即得答案． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴， ∵，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6； ，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6； …； ∴的个位数字与的个位数字相同，都是6， ∴的值的个位数字是． 故答案为：5． 【训练2】（22-23七年级下·云南文山·期末）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， … 观察上式，并猜想： (1)______．______． (2)通过以上规律，请你进行下面的探索： ①______． ②______． ③______． (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1)， (2)①，②，③ (3) 【思路点拨】（1）分析可得规律； （2）观察字母的指数，结合（1）中结论可以得到规律； （3）将式子写成形式即可运用规律． 【规范解答】（1）解：分析已知式子可得：，， 故答案为：，； （2）解：通过（1）中规律，可得， ， ， ， 故答案为：①，②，③； （3）解： ． 期末考向四：整式的化简 重点考点讲练08：整式乘法混合运算 【母题精讲】（21-22七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】7x+6，﹣8 【思路点拨】按照单项式乘以多项式法则和多项式乘以多项式法则先算乘法，然后再合并即可． 【规范解答】解：原式 当时，原式=． 【训练1】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【思路点拨】由题意知，小长方形的较长边为 ，阴影A的较短边为 ，较长边为 ，阴影B的较短边为 ，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误． 【规范解答】解：由题意知，小长方形的较长边为 ，①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为 ，阴影B的较短边为 ， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ；②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为 ，阴影B的较长边为15， ∴阴影A和阴影B的周长和为 ， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当时，阴影A和阴影B的面积和为 ，④错误，故不符合要求； ∴正确的有①③， 故选：A． 【训练2】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证： (1)的结果是8的______倍； (2)设三个连续的奇数中间的一个为（为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数． 【答案】(1)7 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式，准确计算． （1）根据有理数运算法则求出结果即可； （2）根据整式混合运算法则进行计算，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：7． （2）解：由题意得，最大奇数为，最小奇数为，则： ， 为整数， 为整数， 任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数． 重点考点讲练09：通过对完全平方公式变形求值 【母题精讲】（23-24七年级上·河南信阳·期末）已知，，那么的值是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【思路点拨】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键． 把两边平方，即可得到 ，然后把代入即可求解． 【规范解答】解： ，且， ∴ 故选：A． 【训练1】（21-22七年级下·湖南张家界·期末）阅读：已知，，求的值． 解：，， ． 请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）设，，则，，根据 ，代值求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴的值为． （2）解：设，，则，， ∴ ， ∴的值为． 【训练2】（21-22七年级下·陕西西安·期末）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】由可得，再由可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 期末考向五：同底数幂的除法 重点考点讲练10：同底数幂的除法运算 【母题精讲】（21-22七年级下·广西百色·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，根据积的乘方可以判断A；根据单项式乘多项式可以判断B；根据同底数幂的除法可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 【训练1】（22-23七年级下·河南郑州·期末）“先看到闪电，后听到雷声”是一种常见的自然现象，那是因为在空气中光的传播速度比声音快，科学家发现，光在空气中的传播速度约为：米/秒，声音在空气中的传播速度约为300米/秒，在空气中，光的传播速度是声音的传播速度的 倍． 【答案】 【思路点拨】先根据题意可得：光速是声速的倍，利用同底数幂的除法法则求解即可求得答案． 【规范解答】解：由题意得：， ∴光的传播速度是声音的传播速度的倍， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·四川达州·期末）已知，，，，则 ． 【答案】9 【思路点拨】根据，，，得到，再根据，得到，联立①②得到，然后利用幂的乘方将代数式变形，即可计算求值． 【规范解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， 联立①②得：， ， ， ， 故答案为：9． 重点考点讲练11：零指数幂 【母题精讲】（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了幂的运算，掌握公式：，（），，（）是解题的关键． 【规范解答】解：A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论正确，符合题意； D.，结论错误，不符合题意； 故选：C． 【训练1】（21-22七年级下·安徽安庆·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】先化简分别计算立方根、乘方、负整数指数幂、及零次幂，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】解： 【训练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】/1.5/ 【思路点拨】根据积的乘方的逆运算法则、乘方运算法则以及零指数幂运算法则求解即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 重点考点讲练12：负整数指数幂 【母题精讲】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的计算法则计算即可． 【规范解答】 ． 【训练1】（22-23七年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.125 【思路点拨】根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m、n的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 【答案】，，，， 【思路点拨】先分别根据负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的法则计算出、、、的值，再比较出其大小即可． 【规范解答】.解：， ， ， ， ． 期末考向六：整式的除法 重点考点讲练13：整式四则混合运算 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【规范解答】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 【训练1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握新运算的运算法则． (1)根据新运算展开，再求出即可； (2)根据新运算展开，再代入求出即可； (3)根据新运算展开，合并后根据已知得出关于的方程，再代入求出即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：0． （2）解： ， 当时， 原式． （3）解： ， ∵取值与无关， ∴，即， ∴． 【训练2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的运算中的化简求值，先化简，然后根据绝对值以及平方的定义求得，的值，代入即可，掌握绝对值以及平方的非负性是解题的关键． 【规范解答】解：原式， ， ，， 原式． 重点考点讲练14：整式的混合运算 【母题精讲】（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5． 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式进行化简，最后代值计算即可． 【规范解答】解； ， 当时，原式． 【训练1】（21-22七年级下·甘肃白银·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【思路点拨】根据单项式乘单项式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再将字母的值代入即可求解． 【规范解答】解：原式 ， 把，代入得，； 【训练2】（22-23七年级下·江苏连云港·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）： ①______； ②若，则______； (2)试比较与与的大小，并说明理由； (3)图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：______；    (4)已知，，试运用上述方法比较M、N的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3) (4)．理由见解析 【思路点拨】（1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ②用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）先求出与的差，再变形为，即可判断； （3）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （4）用M减去N，再和0比较大小，即可判断． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：． ②∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：．理由如下： ∵ ∵， ∴， ∴． （3）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的边长为， ∴新正方形的面积， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解：．理由如下： ， ∴． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级下·全国·期末）若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将已知等式中间第一项利用完全平方公式化简，右边第一项也利用完全平方公式展开，计算出A与B的值即可． 【规范解答】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·期末）为了人体的健康，国家质检局规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤制品的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在千克以下，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此解答即可． 【规范解答】解：， 故选：B 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查合并同类项、单项式的乘方、完全平方公式以及单项式的除法等运算，解题的关键是熟知整式的运算法则，根据整式的相关运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：选项A：不是同类项不能运算，故不符合题意； 选项B：运算错误，故不符合题意； 选项C：运算错误，故不符合题意； 选项D：运算正确，故符合题意； 故选：D 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式的乘法，掌握相关法则是解题的关键． 根据整式的乘法法则进行计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为： ． 5．（20-21七年级下·安徽宿州·期末）计算 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了零指数幂和负整数指数幂．根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算后，计算减法即可． 【规范解答】解：； 故答案为： 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 滴． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据“所需杀菌剂滴数有害细菌总数 滴杀菌剂可以杀死此种细菌的数目”直接列式计算即可． 【规范解答】解：所需杀菌剂滴数有害细菌总数 滴杀菌剂可以杀死此种细菌的数目 ， 共需要杀虫剂滴 ， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    【答案】，个 【思路点拨】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将，代入，求值即可．掌握的列出代数式是解题的关键． 【规范解答】解：由题意，得 ． 当，时， 原式 个． 8．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解决本题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式，再合并同类项即可． 【规范解答】解：原式 ． 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【思路点拨】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， 当，时原式． 10．（23-24七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)图1中长方形的面积____________；图2中长方形的面积____________；比较____________（选填“”、“=”或“”）； (2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 【答案】(1)，， (2)①；② 【思路点拨】本题考查了整式乘法混合运算，列代数式； （1）由长方形面积公式及多项式乘多项式即可求得，再计算，根据m为正整数即可判断的大小； （2）①由题意可求得正方形的周长，即可求得其边长； ②计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 由于m为正整数，所以， 所以，即； 故答案为：，，>； （2）解：①因为图1中长方形的周长为， 所以正方形的边长为； ②因为，为定值， 所以这个常数为9. 压轴题—强化解题技能 11．（21-22七年级下·甘肃白银·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则及积的乘方分别计算即可求解． 【规范解答】解：A．，不能合并，故不符合题意； B．，符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选：B． 12．（22-23七年级下·广东深圳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据单项式乘以单项式法则，多项式乘以多项式法则，单项式除以单项式法则，多项式除以单项式法则，进行逐一计算即可求解． 【规范解答】解：A．，计算不正确，故不符合题意； B．，计算不正确，故不符合题意； C．计算结果正确，故符合题意； D．，计算不正确，故不符合题意； 故选：C． 13．（22-23七年级下·四川达州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】分别运用同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法运算即可． 【规范解答】解：A、，所以此选项错误； B、，不能运算，所以此选项错误； C、，所以此选项错误； D、，所以此选项正确， 故选：D． 14．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】配方后求出的值即可． 【规范解答】∵， ∴， ∴ ∴，， ∴，， ∴． 15．（22-23七年级下·浙江温州·期末）若n满足关系式，则代数式 的值是 ． 【答案】 【思路点拨】设，则可得，，根据完全平方公式即可求出的值，即的值． 【规范解答】设，， 则， ． ， ， ， ． 故答案为： 16．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【思路点拨】用两个正方形的面积之和减去两个空白部分三角形的面积即可． 【规范解答】由题意得，阴影部分的面积为： ， 当，时，该阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n；；ii） 【思路点拨】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题． ②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【规范解答】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式； 计算结果中是一个二次三项式； 计算结果中是一个三次四项式； 计算结果是一个四次五项式； …， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 18．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为米的人行通道． (1)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (2)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1)， (2)块 【思路点拨】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用， （1）根据题意目中的数据和图形，结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （2）根据（1）中的结果和题意，结合长方形的面积公式，可以解答本题； 解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【规范解答】（1）解：由图可得，喷泉面积为：； （2） ＝ ＝ （块）， 答：需要这样的地砖块． 19．（22-23七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）先化简， 再求值：， 其中 ． 【答案】（1）；（2）， 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算和整式的化简求值，熟记负指数幂和零指数幂的运算法则是解决（1）的关键；熟记乘法公式及整式除法的法则是解决（2）的关键． （1）先计算乘方、负指数幂、零指数幂，化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先利用完全平方公式和整式乘法法则计算，然后合并同类项，简后代入字母的值计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当 时，原式． 20．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①；② 【思路点拨】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案； ②先用平方差公式，再约分即可． 【规范解答】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为 ∴可以验证的等式是： 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 即， ∴； ② 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$