2.3 一元二次方程的应用 教学设计 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

《一元二次方程的应用》教学设计 《一元二次方程的应用》教学设计 课型 新授课 教学内容分析 一元二次方程的应用是“浙教版八年级数学（下）”第二章第三节第一课时的内容。本节课的主要内容是通过具体问题情境,让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值，要求学生会列一元二次方程解应用题.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，一元二次方程的应用的学习有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。 学习者分析 学生在之前的课堂中学习了四种一元二次方程的解法，能够选择合适的方法解一元二次方程，而学生已经经历了三次列方程解应用题，它们在思想方法和解题步骤上有许多共通之处，为学生学习列一元二次方程解应用题打下了有利基础.且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生学习一元二次方程的应用.教师在教学时可以先带领学生回顾列方程解应用题的基本步骤，再通过例题带领学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值，最后进行归纳总结.教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来. 教学目标 1.经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值. 2.会列一元二次方程解应用题. 3.提高分析问题、解决问题的能力及运算能力. 教学重点 列一元二次方程解应用题 教学难点 根据问题情境列一元二次方程解应用题 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习回顾，巩固旧知 教师活动1： 教师提问：用公式法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 教师讲授： 公式法解方程的基本步骤： 1.将方程化为一般形式 2.确定a,b,c的值 3.计算 4. >0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; ＜0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 教师提问；列方程解应用题的一般步骤是什么？ 教师讲授： 1.审：理解题意，明确已知量和未知量。 2.设：设未知数 3.找：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系，找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义 7.答：写出答语 学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机. 环节二：例题精讲，探究新知 教师活动2： 例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株? 思考：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：每盆植入3株时,平均单株盈利3元 每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元方程未知量：每盆应植多少株能够使每盆的盈利为10元 教师提问：它们的主要数量关系是什么？ 答案： 主要数量关系: 平均单株盈利×株数=每盆盈利; 平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数. 教师提问：完成例1，写出详细解题步骤. 答案： 解：设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(3+x)株，平均单株盈利为(3-0.5x)元.由题意,得(x+3)(3-0.5x)=10. 化简、整理,得x2- 3x+2=0. 解这个方程,得x1 =1, x2 =2. 经检验, x1 =1, x2 =2都是方程的解,且符合题意. 答:要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株. 教师提问：你还有其它方法吗？ 答案： 解：设每盆应植x株,则每盆增加的株数有(x-3)株，平均单株盈利为[3-0.5 (x-3)]元.由题意,得x [3-0.5 (x-3)]=10. 化简、整理,得x2-9x+20=0. 解这个方程,得x1 =4, x2 =5. 经检验, x1 =4, x2 =5都是方程的解,且符合题意. 答:要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株. 思考：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗?列一元二次方程解应用题时,你认为有哪些地方更需引起注意? 答案：基本相同，要注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义 教师讲授： 平均增长(降低)率问题： 设a为起始量，x为增长率，一次增长后，终止量为a(1+x)； 二次增长后，终止量为________； 依此类推，n次增长后，终止量为________； 设a为起始量，x为降低率,一次降低后,终止量为a(1-x); 二次增长后，终止量为________； 依此类推，n次增长后，终止量为________. 答案：a(1+x)2，a(1+x)n，a(1-x)2，a(1-x)n 学生活动2： 学生认真读题 学生认真思考，寻找题目中的已知量和未知量，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真解题，教师展示学生答案，进行评价和讲析 学生认真听讲 学生举手，教师展示学生答案，进行评价和讲析 学生认真听讲 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲 学生认真听讲，了解利润问题中的主要数量关系 学生认真思考，填空，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲 学生认真思考，答题，教师展示学生答案，进行评价和讲析 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节三：课堂小结，梳理归纳 教师活动3： 教师提问：列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ 教师讲授： 一般步骤： 1.审：理解题意，明确已知量和未知量。 2.设：设未知数 3.找：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系，找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义 7.答：写出答语 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.小明在暑假帮某服装店卖T恤衫时发现，在一段时间内，T恤衫按每件80元销售时，每天的销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件．已知该T恤衫的进价是每件40元．请问：当每件T恤衫降价多少元时，服装店卖该T恤衫一天能盈利1200元？设每件T恤衫降价x元，则所列方程正确的是( ) A. (80－x)(20＋x)＝1200 B. (80－x)(20＋2x)＝1200 C. (40－x)(20＋x)＝1200 D. (40－x)(20＋2x)＝1200 2.已知两个连续正奇数的积是63 ,利用一元二次 方程求这两个数. 3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少.据统 计,今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75% ,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少(精确到1%)? 选做题： 1.某地区2023年年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年年底贫困人口减少至1万人．设2023年年底至2025年年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，则由题意可列方程为( ) A. 9(1－2x)＝1 B. 9(1－x)2＝1 C. 9(1＋2x)＝1 D. 9(1＋x)2＝1　 2.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ） A. x2+(x-4)2=10(x-4)+x-4 B. x2+(x+4)2=10x+x+4-4 C. x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4 D. x2+(x-4)2=10x+(x-4)-4 3.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元.为了扩大销售,增加利润,超市准备适当降价.据测算,每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱.若要使每天销售饮料获利1400元,则每箱应降价多少元?【综合拓展类作业】 对于向.上抛的物体,如果空气阻力忽略不计, 有下面的关系式:h=(h是物体离起点的高度, 是初速度, 是重力系数,取10m/,t是拋出后经过的时间).杂技演员抛球表演时,以10m/s的初速度把球向上抛出,几秒后球离起点的高度达到1.8 m? 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.某公司去年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x，则由题意可列方程为( ) A. 2500(1＋x)2＝9100　　 B. 2500(1＋x%)2＝9100　　 C. 2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100 D. 2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100 2.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到( ) A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．乙超市或丙超市 3.为迎接马拉松赛，某市政府加大了绿化的力度，从2月份开始到4月份，绿化面积增加了44%，则平均每个月的增长率为________ . 4.某体育局要组织一次排球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，则应邀请____支球队参加比赛． 【综合拓展类作业】 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，则当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加______件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)． (3)在上述销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$