2.3.2 一元二次方程的应用 课件 2024-2025学年 浙教版八年级下册数学

2.3.2一元二次方程的应用 浙教版 八年级下册 1 内容总览 目录 壹 教学目标 肆 课堂练习 贰 复习回顾 叁 例题精讲 陆 作业布置 伍 课堂总结 教材分析 一元二次方程的应用是“浙教版八年级数学（下）”第二章第三节第二课时的内容.本节课的主要内容是继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值，要求学生进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，一元二次方程的应用的学习有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位. 3 教学目标 1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值. 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 3.提高分析问题、解决问题的能力及运算能力. 一般步骤： 1.审：理解题意，明确已知量和未知量。 2.设：设未知数 3.找：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系，找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义 7.答：写出答语 列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ 复习回顾 5 图2 例3 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少? 思考：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：长方形硬纸片长 40cm,宽25cm 纸盒的底面积是450cm2 未知量：纸盒的高 图1 例题精讲 6 图2 例3 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少? 思考： 1.若设纸盒的高为x,那么裁去的四个小正方形的边长为多少？ 2.你能用含x的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？ 3.你能找出题中的主要数量关系吗？ 图1 x2 长：40-2x 宽：25-2x 高：x 例题精讲 7 图2 例3 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少? 主要数量关系:纸盒的底面积=长×宽 图1 解：设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x )cm, (25-2x )cm. 由题意，得(40-2x)(25-2x)= 450. 化简、整理,得2x2- 65x+ 275=0. 解这个方程,得x1 =5, x2 =27.5(不合题意,舍去). 答:纸盒的高为5cm. 例题精讲 8 例题精讲 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 9 一轮船(C)以30km/h的速度由西向东航行,在途中接到台风警报,台风中心(B)正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500 km, BA= 300 km. (1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区?你采用什么方法来判断? (2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,经多少时间就进入台风影响区? 合作学习 10 思考：假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1,B1的位置，你能求出AC1,AB1的距离吗？ ∵ BC=500 km, BA= 300 km ∴由勾股定理可得AC=400km 经过t小时后 ∵CC1=30t km,BB1=20t km ∴ AC1=(400-30t)km,AB1=(300-20t)km 合作学习 11 合作交流：1.运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程; 2.完成大题，通过相互交流,检查列方程、计算等过程是否正确; 相等关系： AC12+AB1 2 = B1C12 (400-30t)2+(300-20t)2=2002 合作学习 12 解：如图,设船接到警报后经t时，船行至C1处,台风中心行至B1处, 则CC1=30t km,BB1=20t km，B1C12=(400-30t)2+(300-20t)2 令(400-30t)2+(300-20t)2=2002,若这个一元二次方程有实数解,就表示船会进入台风影响区. 将上述方程化简，得13t2-360t+2100=0, 解得t1=≈8.35, t1 =≈19.34. 答:船从接到警报开始,经8.35 h进入台风影响圈. 合作学习 13 思考：如果把航速改为10 km/h,结果将怎样? 解：若将船速改为10 km/h, 则令(400-10t)2+(300-20t)2=2002 化简得t2-40t+420=0. 因为402-4×1×420<0, 所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区. 合作学习 14 合作学习 利用一元二次方程解决动点问题 在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图形和临界图形， 然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度，再根据题目中的等量关系列方程求解. 15 1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375 【知识技能类作业】 必做题 A 课堂练习 16 【知识技能类作业】 必做题： 2.如图，某中学有一块长30 m、宽20 m的长方形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x(m)，则可列方程为( ) A. (30－x)(20－x)＝×20×30 B. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30 C. 30x＋2×20x＝ ×20×30 D. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30 D 课堂练习 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是( ) A．2s B．3s C．4s D．5s 必做题 B 【知识技能类作业】 18 课堂练习 1.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( ) A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644 C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356 选做题 C 【知识技能类作业】 课堂练习 2.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)( ) A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 选做题 D 【知识技能类作业】 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝______时，S△DPQ＝28cm2． 【知识技能类作业】 选做题 2或4 课堂练习 21 课堂练习 如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF. (1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？ (2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由. 解：(1)设CD=xm，则DE=(32-2x)m，依题意得x(32-2x)=126， 整理得x2-16x+63=0， 解得x1=9，x2=7， 当x1=9时，32-2x=14， 当x2=7时，32-2x=18＞15（不合题意，舍去）， ∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地. 【综合实践类作业】 课堂练习 如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF. (2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由. 解：(2)设CD=ym，则DE=(32-2y)m， 依题意得y(32-2y)=130， 整理得y2-16y+65=0， =(-16)2-4×1×65=-4＜0， 故方程没有实数根， ∴长方形场地面积不能达到130m2. 【综合实践类作业】 课堂总结 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法是什么？ 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 如何利用一元二次方程解决动点问题？ 在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图形和临界图形， 然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度，再根据题目中的等量关系列方程求解. 【知识技能类作业】 1.如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( ) A．(40－x)(70－x)＝2450 B．(40－x)(70－x)＝350 C．(40－2x)(70－3x)＝2450 D．(40－2x)(70－3x)＝350 C 作业布置 25 【知识技能类作业】 2.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( ) A．8 cm2 B．8 cm2或64 cm2 C．64 cm2 D．36 cm2 C 作业布置 26 【知识技能类作业】 3.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm. 10 作业布置 27 作业布置 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t. （1）问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在t，使△PDQ的面积等于26cm2？ 解：(1)设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，∵AP=x，QB=2x， ∴PB=6-x. ∴ ×(6-x)×2x=8，解得x1=2，x2=4. 答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2. 【综合实践类作业】 28 作业布置 【综合实践类作业】 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t. （2）是否存在t，使△PDQ的面积等于26cm2？ 解：(2)假设存在t使得△PDQ面积为26cm2，则72-6t-t(6-t)-3(12-2t)=26, 整理得,t2-6t+10=0， ∵ =36-4×1×10=-4＜0， ∴原方程无解,所以不存在t,能够使△PDQ的面积等于26cm2. 29 几何图形问题： 动点问题： 2.3.2一元二次方程的应用 习题讲解书写部分 板书设计 $$