精品解析：甘肃省甘南藏族自治州卓尼县卓尼县柳林中学2025届高三高考模拟信息卷（一）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（一） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式，求出集合，再求交集即可得答案. 【详解】由，得， 由，得， 所以集合， 所以． 故选：B. 2. 若双曲线义的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】渐近线方程为，故，求出. 【详解】的渐近线方程为， 又一条渐近线方程为，所以，所以． 故选：D． 3. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知化简得出，进而求解得出，根据指对互化以及幂运算求解即可得出答案. 【详解】由，得， 整理，可得， 解得，或. 因为，所以，则，所以． 故选：D． 4. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出函数的最小正周期为，然后分别求出和时的取值范围，即可得到的最小值. 【详解】由题知函数的最小正周期为． 当时，， 又，所以， 当时，， 又，所以， 所以函数的最小值为． 故选：B 5. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，结合面积关系列式求解即可. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意可知， 因为，则， 两边平方得，则，整理可得， 所以椭圆C的离心率为． 故选：C． 6. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 7. 从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（ ） A. 1650 B. 1617 C. 1122 D. 528 【答案】A 【解析】 【分析】被3除余的数组成集合，分两种情况，从中任取两个数，从中取1个数，再从中取1个数，求出相应的取法相加即可. 【详解】将1，2，3，…，100中的数按被3除余数多少分为3类： 被3除余的数组成集合，则中各有33个数，中有34个数， 从中任取两个数，其和可以被3整除，共有种取法： 从中取1个数，再从中取1个数，两者的和也可被3整除，有种， 故符合条件的取法种数为种． 故选：A． 8. 已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 1013 D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】赋值法依次求出的值，以及关系式，进而推得，求出函数的周期.进而结合的值，可得出当i为偶数时，；当i为奇数时，根据二项式定理展开式得出除以4的余数为1，即可得出对应值，求和即可得出答案. 【详解】令时，因为， 所以. 令， 则，所以. 令，则， 所以，则，所以4为的一个周期. 又， 所以由周期性可知，即． 当i为偶数时，为偶数，所以； 当i为奇数时，设， 则 ， 故被4除的余数为1，所以， 所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解与抽象函数有关的值时，常采用赋值法，代入计算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 在复平面内z对应的点在曲线上 C. D. 的虚部为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据复数的乘法运算及复数相等即可判断A；由复数的几何意义得出z对应点的坐标即可判断B；由共轭复数的性质即可判断C；由复数的运算法则计算，再由虚部的定义即可判断D． 【详解】对于A，设， 由，得， 所以，即，解得 所以，故A正确； 对于B，在复平面内z对应的点为，当时，， 所以点不在曲线上，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以的虚部为2，故D正确． 故选：ACD． 10. 在正四棱柱中，，E为的中点，则（ ） A. 平面ABE B. 平面ACE C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 直线与平面ABE所成的角为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.连接，BD，易证四边形为矩形，由判断；B.设，连接OE，易得，再利用线面平行的判定定理判断；C.三棱锥的外接球也是四棱锥的外接球，取BE的中点M，易证均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，即外接球的半径为判断；D.易知则直线与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角求解判断. 【详解】如图所示： 对于A，连接，BD，易证四边形为矩形，因为，所以，所以，又，因为，所以与BE不垂直，故A错误； 对于B，设，连接OE，因为E为的中点，O为BD的中点，所以，又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，故B正确； 对于C，三棱锥的外接球也是四棱锥的外接球，取BE的中点M，易证均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，所以，故M为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，易知，所以直线与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角，分别取的中点F，G，连接EF，BF，CG，，易证平面ABFE，连接AH，所以为直线AC与平面ABE所成的角．在中，，所以，所以，故D错误． 故选：BC． 11. 已知圆，直线，点P在圆C上，O为坐标原点，直线OP与l相交于点N，直线OP上的动点M满足，动点M的轨迹记为曲线，设为曲线上一点，则（ ） A. 曲线与l有两个交点 B. 的最小值为 C. 曲线关于x轴对称 D. 当Q在第二象限时，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关点法求出曲线的方程，令，判断是否有解可判断A；根据，解不等式可判断B；将方程中将y换为，观察方程是否变化可判断C；令，利用导数求最值可判断D. 【详解】由题意知直线OP的斜率存在，设直线OP的方程为，则， 设，由题意知，则， 所以， 设，则，由得，则 又，所以， 所以曲线的方程为，所以， 因为，所以， 当时，方程无解，所以曲线与l没有交点，故A错误； 由上可知，所以， 因为，所以，解得，所以的最小值为，故B正确； 在曲线的方程中将y换为，化简后与原方程相同， 所以曲线关于x轴对称，故C正确； 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时， ， 所以，则的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】化简，可得，由，代入数据即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以． 故答案为： 13. 已知函数，若与曲线相切，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，得出过该点的切线方程结合已知即可求解． 【详解】设切点为，又，则， 所以切线方程为，即， 所以，解得， 故答案为：． 14. 已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为________． 【答案】84 【解析】 【分析】将9个数据按由小到大分成前4后5两段，利用平均数、方差公式列式并建立不等关系求解. 【详解】设这9名学生成绩从低到高依次为，即， 则9名学生成绩的中位数为，设的平均值为m，方差为S，的平均值为n，方差为T， 依题意，，则， 因此， 当且仅当时取等号，即，整理得， 解得，即当，且时，， 此时n，也就是的最大值为84，则当时，9名学生成绩的中位数的最大值为84. 故答案为：84. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 【答案】（1） 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 无差异 （2） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 根据列联表中的数据，计算得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． 【小问2详解】 从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为， X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ， 所以的分布列为： （或）． 16. 如图，已知A，B，C是圆锥PO的底面圆周上的三点，且与均为边长为的等边三角形． （1）证明：平面平面PBC； （2）求圆锥PO的侧面积； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为为等边三角形，O为的外心，所以O为的中心， 延长AO与BC交于点D，则， 连接PD，因为，所以， 因为，AD，平面PAD，所以平面PAD， 又平面PBC，所以平面平面PAD，即平面平面PBC． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长AO与BC交于点D，则，用面面垂直得判定定理证明即可； （2）由正弦定理求出底面半径，再由圆锥侧面积公式求解即可； （3）在中，勾股定理求出，以O为坐标原点，以平行于BC的直线为x轴，以OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面ABP的一个法向量，平面PAO的一个法向量，根据向量和的夹角的余弦值，即可求二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设底面圆的半径为r，由正弦定理，得， 所以， 所以圆锥PO的侧面积为． 【小问3详解】 在中，，所以， 以O为坐标原点，以平行于BC的直线为x轴，以OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，所以． 设平面ABP的一个法向量，则 令，得， 所以 ， 由（1）可知，平面PAO，则x轴垂直平面PAO，取平面PAO的一个法向量， 所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若的面积为，求a的值； （3）若角A的平分线交于点D，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边得，结合得出，由余弦定理即可求解； （2）由得，根据三角形面积公式得，结合即可求解； （3）由二倍角公式求得，由等面积法和三角形面积公式得出，结合即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理及，得， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理，得． 【小问2详解】 由，所以， 由的面积为，得，所以． 又，所以， 故． 【小问3详解】 因为，所以， 又，所以，所以， 由，得， 所以， 所以． 18. 已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为． （1）求C的方程； （2）若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上． （ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2） （ⅰ）证明：由题意知直线l不与坐标轴垂直，故设直线l的方程为， 所以l与直线的交点D的坐标为， 所以OD的方程为， 由消去y并化简，得，易得其两根分别为， 设，则，即． 易知过点M与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 与联立消去x并整理，得， ， 整理得，即，所以， 即过点M与抛物线C相切的直线的斜率为， 又直线l的斜率也为，且l过C的内部一点， 所以过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出点P，Q的坐标，根据的周长，得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设直线l方程，求出D的坐标为，表达出OD的方程为，联立抛物线方程，表达出，设切线方程为，与联立，由根的判别式得到方程，求出，直线l的斜率也为，证明出平行关系； （ii）联立直线l与抛物线方程，设，得到，由弦长公式得到，结合点到直线距离得到的面积，由幂函数单调性得到面积的取值范围． 【小问1详解】 因为轴，所以直线l的方程为， 联立方程得，解得或 故点P，Q的坐标分别为， 所以， 因为的周长为，所以，解得， 故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii），由（i）得消去x，得， 设，则，且， 所以 ， 由（i）得，，则M到直线PQ的距离， 所以的面积， 因为幂函数在上单调递增，且， 所以， 故面积的取值范围为． 19. 已知定义在I上的连续函数的导函数为，对同时满足下列条件的数列称为“相关数列”： ①；②． （1）若，数列是“相关数列”，且，求数列的通项公式； （2）若，数列是“相关数列”，证明：是递减数列； （3）若，数列是“相关数列”，且，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：因为，所以的定义域为，且， 因为数列是“相关数列”，所以，则， 当时，易证，所以， 因为，所以，所以，同理可得． 要证是递减数列，需证，即证，只需证， 即证． 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 故是递减数列． （3） 证明：当时，， 故当时，成立． 当时，只需证， 设为数列的前项和， 则， 所以需证，即证． 因为，所以的定义域为，且， 设，则， ， 由是“相关数列”，得， 又，所以， 因为，令， 则，易证， 所以，即在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以，所以， 所以只需证． 令， 则， 设， 则（为的导函数）， 又，所以在上单调递增， 即在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以，所以，则在上单调递减， 所以，即在上单调递增， 所以，即， 所以，故． 综上可知，． 【解析】 【分析】（1）根据“相关数列定义再由等比数列概念可求得数列的通项公式； （2）由数列是“相关数列”，可得，结合，构造函数，可证明是递减数列； （3）构造函数并结合“相关数列”定义判断出函数的单调性，可证明，再由函数的单调性可证明得出结论. 【小问1详解】 由，得的定义域为，且， 由数列是“相关数列”，得，且， 所以，所以， 又，所以是首项为1，公比为的等比数列，故， 即数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据“相关数列”的定义，利用其结构特征通过合理构造函数判断出对应的函数单调性，结合分析法即可得出要证明的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（一） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线义的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. 4 D. 16 3. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（ ） A. 1650 B. 1617 C. 1122 D. 528 8. 已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 1013 D. 1012 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 在复平面内z对应的点在曲线上 C. D. 的虚部为2 10. 在正四棱柱中，，E为的中点，则（ ） A. 平面ABE B. 平面ACE C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 直线与平面ABE所成的角为 11. 已知圆，直线，点P在圆C上，O为坐标原点，直线OP与l相交于点N，直线OP上的动点M满足，动点M的轨迹记为曲线，设为曲线上一点，则（ ） A. 曲线与l有两个交点 B. 的最小值为 C. 曲线关于x轴对称 D. 当Q在第二象限时，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，则________． 13. 已知函数，若与曲线相切，则实数________． 14. 已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 16. 如图，已知A，B，C是圆锥PO的底面圆周上的三点，且与均为边长为的等边三角形． （1）证明：平面平面PBC； （2）求圆锥PO的侧面积； （3）求二面角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若的面积为，求a的值； （3）若角A的平分线交于点D，且，求的值． 18. 已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为． （1）求C的方程； （2）若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上． （ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l； （ⅱ）求面积的取值范围． 19. 已知定义在I上的连续函数的导函数为，对同时满足下列条件的数列称为“相关数列”： ①；②． （1）若，数列是“相关数列”，且，求数列的通项公式； （2）若，数列是“相关数列”，证明：是递减数列； （3）若，数列是“相关数列”，且，记数列的前n项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $