精品解析：陕西省多校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024~2025学年度第二学期期中校际联考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：A. 2. 将化为弧度制，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【详解】. 故选：C. 3. 圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式可求得结果. 【详解】圆心角为，半径为的扇形，其弧长为. 故选：D. 4. 以下说法中，正确的是（ ） A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B. 零向量的长度为0，没有方向 C. 单位向量都是共线向量 D. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的性质及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】∵，∴，∴或， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用投影数量的定义可求得结果. 【详解】因为，则，， 则，可得， 所以，在方向上的投影. 故选：D. 7. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，然后根据向量的加法可求得结果 【详解】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小， 因为，与水平夹角均为， 所以，的夹角为， 所以， 所以物体的重力大小为， 故选：A 8. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A不正确； 对于B中，由，，所以B正确； 对于C中，由，，可得，所以C不正确； 对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确． 故选：BD． 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C对立 C. A与B相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念可得选项A正确，选项B错误；根据可得选项C正确；计算可得选项D错误. 【详解】样本空间为，事件，事件，事件， A.∵，∴与互斥，A正确. B.∵，∴与不对立，B错误. C.∵，∴， ∵， ∴，与相互独立，C正确. D.∵，∴， ∵，∴，D错误. 故选：AC. 11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最小正周期 B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦函数周期的公式判定A；利用三角函数的图象变换判定B；由余弦函数及单调性，列出不等式组，求得的范围判定C；由零点情况，列出不等式组，求得的范围判定D． 【详解】对于A，，的最小正周期，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，当时，，由在区间上单调递增， 得，解得， 又，当且仅当时，此不等式有解，即，C正确； 若对于D，当时，，由在上只有一个零点， 得，解得，D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定抽样比，即可求解； 【详解】由题意可知抽样比为：， 所以高一年级应抽取的人数是， 故答案为： 13 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即得 【详解】∵， ∴ 故答案为：. 14. 在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由可求出线段的长，根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 【详解】 由可知为的中点. 又因为为外接圆的圆心，所以，所以为直角三角形， 所以，即，所以. 又，所以，所以. 又因为为边上的动点，所以，. 所以， 因为，所以，所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是：根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由，所以.根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：，， 若三点共线，则， 可得，解得或． 16. 已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）求函数在区间上值域． 【答案】（1），单调增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出的值，结合正弦函数的单调性确定函数的单调递增区间； （2）根据正弦函数的性质得出，进而得出函数在区间上的值域. 【小问1详解】 因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期， 所以，，则， ， 又因为当，时函数单调递增， 即，, 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 （2）当时，，所以 所以函数在区间的值域为. 17. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）20. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，解指数、对数不等式求得不等式的解集. （2）利用求得，由分离常数，利用构造函数法，结合函数的值域，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 由， 得， 得， 得， 解得. 故不等式的解集是. （2）因为函数的图象过点， 所以， 即， 解得. 所以. 因为关于的方程有实根， 即有实根. 所以方程有实根.. 令， 则. 因为，， 所以的值域为. 所以， 解得. 所以实数的取值范围是. 【点睛】研究方程的零点问题，可考虑分离常数法，结合函数值域进行求解. 19. 如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解，，，再根据题中可知，求出的值即可求解函数解析式； （2）结合题意可得从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌，只需令，解不等式得到的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴ 又，, ，. 【小问2详解】 由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运算的核心素养. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中校际联考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将化为弧度制，正确是（ ） A. B. C. D. 3. 圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 以下说法中，正确的是（ ） A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B. 零向量的长度为0，没有方向 C. 单位向量都是共线向量 D. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C对立 C. A与B相互独立 D. 11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最小正周期 B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________． 13 若，则_____． 14. 在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 16. 已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）求函数在区间上值域． 17. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围. 19. 如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$