专题08 四边形易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题08 四边形易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 多边形内角和问题】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 【易错必刷二 正多边形的内角问题】 4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 5．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知正五边形，，交的延长线于点F，求的度数 6．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，五边形的内角都相等，．    (1)________度； (2)若，，求证，． 【易错必刷三 多边形截角后的内角和问题】7．（23-24八年级上·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      8．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°． (1)求这个正多边形的边数； (2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个多边形少加一个内角后，其他所有内角的度数和为，则这个内角的度数为 °． 【易错必刷四 多边形外角和的实际应用】 10．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 11．（2025·青海海西·一模）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是 米． 12．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【易错必刷五 多边形内角和与外角和综合】 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）一个多边形的内角和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形每个内角都相等，求每一个外角的度数． 14．（24-25八年级上·山东德州·期中）小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． (1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ (2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； (3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【易错必刷六 利用平行四边形的性质求解】 16．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 17．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将含角的三角尺（，）的长直角边与含角的三角尺（，）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是，上的动点，当四边形为平行四边形时，平行四边形的面积是 ． 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【易错必刷七 利用平行四边形的性质证明】 19．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 21．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【易错必刷八 平行四边形的判定】 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 24．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 【易错必刷九 证明四边形是平行四边形】 25．（24-25八年级下·天津红桥·期中）如图，在四边形中，，于点E，于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 26．（2024·湖南岳阳·一模）如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 27．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【易错必刷十 三角形中位线有关的求解问题】 28．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ． 30．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【易错必刷十一 与三角形中位线有关的证明】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 32．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 33．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【易错必刷十二 矩形的判定】 34．（2024·湖北武汉·二模）如图，和相交于点， ，，，分别是，的中线． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 35．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 36．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图,在中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）． (1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可） (2)添加条件后,请证明四边形是矩形． 【易错必刷十三 矩形的性质】 37．（2024·甘肃酒泉·二模）如图，是矩形的对角线．    (1)作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，用黑色笔将作图痕迹加黑）； (2)①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 38．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在矩形中，，，与相交于点O， (1)求的长； (2)过点B作，垂足为E．求的长． 39．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，是上一点，连接，，平分． (1)求证：； (2)作于点，若，求的长． 【易错必刷十四 矩形的折叠】 40．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 41．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．    42．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【易错必刷十五 斜边的中线等于斜边的一半】 43．（2025·山东菏泽·一模）如图，在，． (1)使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 44．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 45．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【易错必刷十六 菱形的判定】 46．（23-24八年级下·山东淄博·期末）小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 (1)你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； (2)请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 47．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，平行四边形中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：： (2)在平行四边形中能否添加一个条件，使四边形为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由． 48．（23-24·湖南岳阳·一模）如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【易错必刷十七 菱形的性质】 49．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，，求的长． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 51．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求折痕的长． 【易错必刷十八 菱形的面积】 52．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 53．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 54．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【易错必刷十九 正方形的判定】 55．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点． (1)将点A绕着点O旋转后得到点，连接、，得到四边形，则这个四边形是______形，你判断的理由是______； (2)若要使四边形为菱形，则需满足的条件是______； (3)若要使四边形为正方形，则需满足的条件是______． 56．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 57．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 【易错必刷二十 正方形的性质】 58．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 59．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 60．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【易错必刷二十一 正方形折叠问题】 61．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 62．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 = ． 63．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【易错必刷二十二 中点四边形】 64．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 65．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： ． 66．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． (1)证明：四边形EFGH为平行四边形． (2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________ 【易错必刷二十三 平行四边形的动点问题】 67．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 68．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 69．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【易错必刷二十四 平行四边形中的最值问题】 70．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正三角形与正方形中，、、三点共线，且，．若有一动点沿着由往移动，则的长度最小是（    ） A．2 B． C． D． 71．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ． 72．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．    (1)求点A的坐标； (2)求的长度； (3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【易错必刷二十五 多边形的镶嵌】 73．（24-25七年级下·全国·期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 74．（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 75．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请填写下表 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … (2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________ A．正三角形            B．正六边形            C．正方形                D．正五边 (3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 四边形易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 多边形内角和问题】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，多边形的内角与外角，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由外角性质可得，由四边形的内角和定理可得，则，又，从而求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式列出方程即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论； （2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷二 正多边形的内角问题】 4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出正五边形的每一个内角为，然后根据折叠的性质求得和，在中，根据三角形的内角和定理可求出，又根据折叠的性质可知，于是可求出． 【详解】解：五边形的内角和为， ， 由折叠可知：，， ， ． 5．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知正五边形，，交的延长线于点F，求的度数 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角． 根据平行线的性质得出，再由正五边形得出，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ． 又∵五边形是正五边形 ∴ ∴． 6．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，五边形的内角都相等，．    (1)________度； (2)若，，求证，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． （1）先根据多边形内角和公式求出该图形的内角和，再利用内角和求即可； （2）连接、，然后证明≌可得，再根据等腰三角形的性质可得． 【详解】（1）解：多边形的内角和公式为：， 五边形的内角和为：， 又五边形的内角都相等， ， 故答案为：； （2）证明：连接、， 在和中， ， ≌， ， ， ．    【易错必刷三 多边形截角后的内角和问题】 7．（23-24八年级上·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      【答案】剩下的多边形的内角和是或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，为三角形，则内角和为； 若边数不变，还是四边形，则内角和为； 若边数增加1，为五角形，则内角和， 综上，剩下的多边形的内角和是或或． 8．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°． (1)求这个正多边形的边数； (2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 【答案】(1)这个正多边形的边数为8； (2) 【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可； （2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即这个正多边形的边数为8； （2）解：∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点）， ∴截完角后所形成的多边形为九边形， 则其内角和为：． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所形成多边形的边数是解题的关键． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个多边形少加一个内角后，其他所有内角的度数和为，则这个内角的度数为 °． 【答案】 【分析】根据题意得，和少加一个内角的和为，即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和． 【易错必刷四 多边形外角和的实际应用】 10．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【答案】60 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转的次数，再根据每次转60米即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 11．（2025·青海海西·一模）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是 米． 【答案】30 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键． 先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是向右转， 多边形的边数，周长（米）． 故答案为：30． 12．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】(1)能 (2)正八边形 (3)（2）中图形的周长为160米 【分析】（1）利用，能整除即可求解． （2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解． （3）利用周长公式即可求解． 【详解】（1）解：， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 【易错必刷五 多边形内角和与外角和综合】 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）一个多边形的内角和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形每个内角都相等，求每一个外角的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角和与外角和公式． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用任意多边形的外角和是进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为8； （2）∵该多边形每个内角都相等， ∴该多边形每个外角都相等， 每一个外角的度数． 14．（24-25八年级上·山东德州·期中）小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． (1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ (2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； (3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)多边形的边数为5或6． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理计算求出n的值，n应为整数，据此判断即可； （2）这个外角的度数为α，根据题意列出，求解即可； （3）设这个多边形的边数为，没有加上去的内角的度数为，则这个内角所对应的外角为，根据题意列出，求得，再根据0°＜β＜180°且n为整数，即可求解． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∵应为整数， ∴小明计算的结果不对； （2）解：设这个外角的度数为， 根据题意得，， 解得， 即这个外角的度数为； （3）解：设这个多边形的边数为n，没有加上去的内角的度数为β，则这个内角所对应的外角为180°﹣β， 根据题意得，， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或， 即该多边形的边数为或． 15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． 【易错必刷六 利用平行四边形的性质求解】 16．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】取的中点G，连接，在中，根据，是的平分线，可得，即得，根据三角形中位线的性质可得，，根据即可求出答案． 【详解】解：取的中点G，连接， 在中，， ， 又是的平分线， ， ， ， O是的中点，F为的中点， ，， G是的中点，F为的中点， ，， ， O，F，G在同一条直线上， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将含角的三角尺（，）的长直角边与含角的三角尺（，）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是，上的动点，当四边形为平行四边形时，平行四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，由平行四边形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，根据含的直角三角形的性质可求解的长，即可求得，利用平行四边形的面积公式可求解． 【详解】由题意得，当四边形为平行四边形时，， ， ， ， ，， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为：36． 18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 【易错必刷七 利用平行四边形的性质证明】 19．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论． 【详解】证明：连接，与交于点O， 四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，根据平行四边形的性质，得到，得到，，根据，，推出，利用，即可得证． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 21．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【易错必刷八 平行四边形的判定】 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 23．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 24．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)BE＝DF； (2)见解析 【分析】（1）本题答案不唯一，可以添加BE=DF； （2）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，然后求出EO＝FO，再利用平行四边形判定定理证明． 【详解】（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形； 故答案为：BE＝DF； （2）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【易错必刷九 证明四边形是平行四边形】 25．（24-25八年级下·天津红桥·期中）如图，在四边形中，，于点E，于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，根据“”证明，得出，根据平行线的判定得出，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． 26．（2024·湖南岳阳·一模）如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再根据，等量交换得，结合已知条件，根据全等三角形判定（边角边），得，即可得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， 四边形是平行四边形． 27．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）添加的条件是； （2）利用证明，推出，，证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：添加的条件是； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【易错必刷十 三角形中位线有关的求解问题】 28．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，从而得到为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点， 为直角三角形， ， 、分别是、的中点， ， 、分别是、的中点， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ， 则的面积， 的面积与线段的长有关， 故选：C． 29．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键．首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的和长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在平行四边形中，，， ，， ∴， ∵点分别平分线段， 是的中位线， ∴． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)14 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：、分别是、的中点， ， ， ， ， ∴的周长． 【易错必刷十一 与三角形中位线有关的证明】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 32．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 33．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十二 矩形的判定】 34．（2024·湖北武汉·二模）如图，和相交于点， ，，，分别是，的中线． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握全等三角形和矩形的相关性质与判定是解题的关键． （1）证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的判定方法添加条件使四边形为矩形即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）添加（答案不唯一），理由如下： ∵，分别是，的中线， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 35．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：要使平行四边形是矩形，可添加的条件是（对角线相等的平行四边形是矩形）或者（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 36．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图,在中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）． (1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可） (2)添加条件后,请证明四边形是矩形． 【答案】(1)①（或②） (2)证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定及平行四边形判定及性质． （1）根据题意,先分析平行四边形的性质有哪些,思考平行四边形和矩形的区别,可知“对角线相等的平行四边形为矩形”继而解出本题; （2）根据（1）所得结论证明出是矩形即可． 【详解】（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可． （2）解:证明:若选①判定如下: ∵四边形是平行四边形, ∴,,, ∵, ∴在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴为平行四边形, ∵, ∴为矩形; 若选②判定如下: 解:∵四边形是平行四边形, ∴, ∵, ∴为平行四边形, ∵, ∴为矩形． 【易错必刷十三 矩形的性质】 37．（2024·甘肃酒泉·二模）如图，是矩形的对角线．    (1)作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，用黑色笔将作图痕迹加黑）； (2)①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形，见解析；②25 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质与判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定以及垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，分别交于点、，连接，则问题可求解； （2）①首先垂直平分，得到，，，再根据，得到，进而得到，然后得出，得出，最后证明四边形是菱形；②设，则，然后根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）所作图形如图所示．    （2）解：①垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ②四边形是矩形，， ，， 可设，则， ， ， 即， 解得， 菱形的周长为：． 38．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在矩形中，，，与相交于点O， (1)求的长； (2)过点B作，垂足为E．求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理，牢记相关性质是解题关键， （1）在中，由勾股定理求出即可求出结论； （2）在中借助面积求出即可； 【详解】（1）解： 四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形为矩形， ； （2）在中， ， ， ． 39．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，是上一点，连接，，平分． (1)求证：； (2)作于点，若，求的长． 【答案】(1)详见详解 (2)5 【分析】此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，而，所以，则； （2）由于点，得，可证明，得，所以，而，勾股定理得即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【易错必刷十四 矩形的折叠】 40．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用矩形的性质和翻折的性质得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， 由翻折的性质可得， ， ， 假设，则，在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 的面积为， 故选：B． 41．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意证明，再设，则，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵矩形，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则 ∴，解得：， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①5；②； (2)或或4 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，利用矩形的性质求出，，则可证明 ，得到，在中利用勾股定理建立方程求解即可；②过点E作于H，由折叠的性质可得，求出，利用等面积法得到，再求出，得到，则； （2）分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，过点E作于H， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， 在中，由勾股定理得， ∴； 当时，由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 当时，在中， ∴； 综上所述，的长为或或4． 【易错必刷十五 斜边的中线等于斜边的一半】 43．（2025·山东菏泽·一模）如图，在，． (1)使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—中线的作法，勾股定理，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，理解相关知识是解答关键． （1）分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接即可求解； （2）利用含的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求解． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线． （2）解：，， ． 在，， ， ， ． 是中边上的中线， ． 44．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 45．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理和直角三角形斜边中线定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理，并灵活应用． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点 ∴ ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十六 菱形的判定】 46．（23-24八年级下·山东淄博·期末）小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 (1)你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； (2)请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 【答案】(1)①②（答案不唯一） (2)见详解 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及平行四边形的性质、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． （1）依题意：选择的两个补充条件是①②； （2）先证明平行四边形是菱形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：选择的两个补充条件是①②；（答案不唯一） （2）解： 四边形是平行四边形， ∵ ∴平行四边形是菱形， ∵ ∴菱形是正方形， 47．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，平行四边形中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：： (2)在平行四边形中能否添加一个条件，使四边形为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加，见解析 【分析】（1）由作图可得垂直平分线段，通过证明 ，得到，即可得证， （2）添加，通过证明是等边三角形，根据临边相等的平行四边形是菱形，即可得证， 本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关判定与性质定理． 【详解】（1）解：由作图可知垂直平分线段， ， 是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， ， （2）解：添加， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形． 48．（23-24·湖南岳阳·一模）如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)① (2)证明见详解 【分析】（1）由菱形的判定方法可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】（1）添加能使成为菱形． 故答案为：①； （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，证明是解决问题的关键． 【易错必刷十七 菱形的性质】 49．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据，平分可得到，从而可得，从而可证得四边形是平行四边形，结合可证得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质可知，，，再根据，直角三角形性质可知，最后根据勾股定理即可确定． 【详解】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)或或 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据菱形的性质得，，然后证明，即可作答． （2）根据菱形的性质得，，，然后结合等腰三角形的性质，进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴； ∴当时，如图所示： ∴； ∴当时，如图所示： ∴； 综上：当是等腰三角形时，的度数为或或． 51．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求折痕的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，，进而得出，即可得证； （2）设，则，由折叠可得，在中，，求得，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质，可得：， ， ， ， ∴四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，交于点O，    ， 设，则， 由折叠可得， 在中，， ， 解得，， ， 在中， 四边形为菱形， ， 在中，， 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【易错必刷十八 菱形的面积】 52．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式（两条对角线的乘积的一半），矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题关键． （1）利用面积公式进行求解即可； （2）等积法求出的长即可； （3）根据题意，画出图形，得到四边形为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形ABCD的面积为． 故答案为：24． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴菱形的面积， ∴． （3）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形的面积． 53．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 54．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 【易错必刷十九 正方形的判定】 55．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点． (1)将点A绕着点O旋转后得到点，连接、，得到四边形，则这个四边形是______形，你判断的理由是______； (2)若要使四边形为菱形，则需满足的条件是______； (3)若要使四边形为正方形，则需满足的条件是______． 【答案】(1)平行四边；对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2) (3)且 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形、菱形、正方形的判断． （1）旋转中心为点O，旋转角为，根据旋转的性质可知，，已知，根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形； （2）根据两邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件； （3）根据有一个角为直角的菱形为正方形，在（2）的条件基础上增加． 【详解】（1）解：如图， 由旋转的性质及，可知这个四边形是平行四边形， 判断的理由是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）解：应满足条件：； 故答案为：； （3）解：应满足条件：且； 故答案为：且． 56．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，可证得四边形是平行四边形，即可； （2）证明，可得，可证得四边形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，从而得到，即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解： ， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 57．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）由三线合一定理得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，只需要满足，而由三线合一定理可得，则只需要满足即可． 【详解】（1）解：∵在中，，D点是的中点， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，分别是的角平分线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）解：当满足条件 时，四边形是正方形，理由如下： ∵，分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）； 【易错必刷二十 正方形的性质】 58．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可； （3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵是公共边 ∴ ∴． （2）解：证明如下： 连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长到，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可． 59．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，列代数式，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）根据路程等于时间乘以速度可得，进而可得的长； （2）根据矩形对边相等得到，则，解方程即可得到答案； （3）根据正方形邻边相等得到，再根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵矩形是正方形， ∴． 60．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）根据四边形为正方形，根据勾股定理求出，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【易错必刷二十一 正方形折叠问题】 61．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 62．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 = ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握正方形与折叠，勾股定理求线段长度的方法是解题的关键． 根据折叠可得，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，由此可得的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意的折叠，如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可得，， 在中，，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 同理，， ∴， 故答案为： ． 63．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 【易错必刷二十二 中点四边形】 64．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 65．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： ． 【答案】/垂直 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 66．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． (1)证明：四边形EFGH为平行四边形． (2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________ 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由矩形的判定与性质得出答案． 【详解】（1）证明：连接BD， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF=BD，EF∥BD， 同理，GH=BD，GH∥BD， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点， ∴DH=AF=CH=BF， ∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形， ∴AD=HF=BC，DC=EG=AB， ∴S四边形EFGH=EG•HF＝AB•BC， ∵四边形ABCD的面积是7cm2， ∴AB•BC=7cm2， ∴四边形EFGH的面积是3.5cm2， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键． 【易错必刷二十三 平行四边形的动点问题】 67．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形 【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【详解】解：如图1，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 解得：． 如图2，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，． 在中，由勾股定理，得 ． ， 解得：； 如图3，当时，作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ， ， 故方程无解． 综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键． 68．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 69．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理， 对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可； 对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解. 【详解】（1）当运动时间为t秒时，，，依题意，得 ， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）过点Q作于点M，如图所示． ∵，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【易错必刷二十四 平行四边形中的最值问题】 70．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正三角形与正方形中，、、三点共线，且，．若有一动点沿着由往移动，则的长度最小是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握的直角三角形性质． 过点F，作交于点M，由题意知的长度最小值即为F到的距离，首先求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点F，作交于点M， 此时为的最小值， ∵正三角形与正方形中，、、三点共线， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴的长度最小值为2． 故选：A． 71．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值．本题考查了等腰直角三角形的性质,垂直平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，， ∴是等腰直角三角形 ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴， 即是的垂直平分线， 则， ， 当、、三点共线时，的值最小， 中，， 是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 72．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．    (1)求点A的坐标； (2)求的长度； (3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在，，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点P的位置． （1）由矩形的性质结合的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出（的长）的值； （3）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，由点E的坐标可得出点的坐标，由点B，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴，代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：如图作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，    此时的周长最小． ∵，， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 则的解析试为， 当时， ∴． 【易错必刷二十五 多边形的镶嵌】 73．（24-25七年级下·全国·期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，一元一次方程的应用，正多边形的组合能进行平面镶嵌，则位于同一顶点处的几个角之和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为、， 根据题意可知， 解得． 故选：D． 74．（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 【答案】150 【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角， 根据正方形的每一个内角为，正三角形的每一个内角为，可知正n边形的一个内角的度数为，可得答案． 【详解】解：正n边形的一个内角的度数． 故答案为：150． 75．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请填写下表 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … (2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________ A．正三角形            B．正六边形            C．正方形                D．正五边 (3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值 【答案】(1)填表见解析 (2)D (3)， 【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可； （2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可； （3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数求出结果即可． 【详解】（1）解：，则正三角形的每个内角为； ，则正四边形的每个内角为； ，则正五边形的每个内角为； ，则正六边形的每个内角为； 则正n边形的每个内角为； 填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … （2）解：A．∵，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意； B．∵，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意； C．∵，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意； D．∵，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意； 故选：D． （3）解：根据题意，可得方程： ， 整理得：， ∵x、y为正整数， ∴， 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$