第19章 专题七四边形中的计算与最值问题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

专题七 四边形中的计算与最值问题(答案P26) 类型1平行四边形中的计算问题 类型2矩形、菱形、正方形中的计算问题 1.如图所示,在平行四边形ABCD中,BAD 3.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在 的平分线交BC于点E,交DC的延长线于 AB,BC上,△DEF为等腰直角三角形, 点F. DEF=90*,AD+CD=10,AE-2.求AD$ (1)若AB-4,BC-6,求EC的长 的长. (2)若 EAD-50*,求 BAE和 D的度数 2.如图所示,在CABCD中,ABC的平分线交 AD于点E,延长BE交CD的延长线于点F. 4.(2024·吕梁中阳期中)如图所示,在平行四边 (1)若 F一20{*,求 A的度数 形ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分 (2)若AB=5,BC8,CE AD.求CABCD的 面积. 线交BC干点E(尺规作图的痕迹保留在图中 了),连接EF (1)求证:四边形ABEF为菱形 (2)AE,BF相交于点O,若BF-6,AB-5. 求AE的长. 113 5.如图所示,E为正方形ABCD对角线BD上 7.如图所示,正方形ABCD的面积为12 的一点,且BE-BC-1. △ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD (1)求DCE的度数. 内,在对角线AC上有一点P,使PD十PE最 (2)点P在EC上,作PM BD于点M. 小,求这个最小值 PN IBC于点N,求PM十PN的值. 类型4在四边形中求三角形周长或面积的 最值 8.将矩形沿虚线剪切(如图①所示)得四边形 ABCD,又将四边形ABCD沿对角线BD翻 折,点A落在DC的点F上(如图②所示),连 接AF交BD于点E,点O是BD的中点,射 线OD以点O为旋转中心,顺时针旋转交DC 于点N.过点O作OM1ON交BC于点M,连 15,则△CMN 接MN.若AD-2,S边形ABco= 15 类型3在四边形中求线段的最值 周长的最小值为 6.(2024·泸州中考)如图所示,在边长为6的正 方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上 的动点,目满足AE三BF,AF与DE交干点 O.点M是DF的中点,G是边AB上的点; ① ② _ AG-2GB,则OM+ FG的最小值是 2 9.如图所示,在边长为4的菱 形ABCD中, A-60*,点 M.N是边AB,BC上的动 点,若△DMN为等边三角形,点M,N不与 点A,B,C重合,则△BMN面积的最大值 G B 是 A.4 C.8 B.5 D.10 1114得DE=DG,AD=DC. 在Rt△AOB中，A0=√5-32=4， :∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， .AE=2AO=8. ∴∠CDG=∠ADE. 5.解：(1)在正方形ABCD中，∠BCD=90°， 在△ADE和△CDG中， ∠DBC=45°.：BE=BC,.∠BCE=∠BEC= (AD=CD, ∠ADE=∠CDG, 2180°-∠DBC)-67.5, DE-DG. ∴.∠DCE=∠DCB-∠BCE=90°-67.5°=22.5°. .△ADE≌△CDG(SAS), (2)如图所示，连接BP,作EF⊥BC于点F,则 ∴.AE=CG,∠DAE=∠DCG=45° ∠EFB=90°.∠EBF=45°， ,∠ACD=45°， ∴.△BEF是等腰直角三角形. ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°， BE=BC=1, .CE⊥CG, ∴.BF8+EF2-12, ∴.CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=92. ,CG=3√2，.CE=62. BF-EF 2 连接EG,如图②所示， ,PM⊥BD,PN⊥BC, ∴.EG=√CE+CG=√72+18=3/10， S△BPE+S△BPC=S△BE, DE-号G=35. BE·PM+BCPN=BC.ER. 1 .正方形DEFG的边长为35」 BE-BC,.PM+PN-EF 2 专题七四边形中的计算与最值问题 6.B 1.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， 7.解：连接BP,如图所示. ∴.AD∥BC,ABCD,∴.∠DAF=∠AEB 又：AE平分∠BAD,.∠DAF=∠BAE, ∴∠AEB=∠BAE,∴.AB=BE=4,.EC= BC-BE=6-4=2. (2)∠EAD=50°，AE平分∠BAD .∠BAE=50°，∠BAD=100°.，AB∥CD, .∠D+∠BAD=180°，.∠D=180°-100°=80 :点B与D关于AC对称， 2.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ..PD=PB, ∴.AD∥BC,AD=BC,AB∥CD,CD=AB, .PD+PE=PB+PE.设BE交AC于点P' ∴.∠AEB=∠CBF,∠ABE=∠F=20°， 由两点之间线段最短可知，当点P在点P'处时， ,∠ABC的平分线交AD于点E, PD+PE有最小值，最小值为BE的长. ∴∠ABE=∠CBF,∠AEB=∠ABE=20°， ,正方形ABCD的面积为12， .∠A=180°-20°-20°-140. ∴.AB=I2=2W3(负值含去). (2),∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=5. 又△ABE是等边三角形， 又AD=BC=8,CD=AB=5, ∴DE=AD-AE=3.,CE⊥AD, ∴.BE=AB=23..PD十PE的最小值为25. ∴.CE=√CD2-DE=√5-32=4， 8.3+32 2 9.3 .□ABCD的面积为AD·CE=8×4=32. 3.解：，△DEF为等腰直角三角形， 19.4综合与实践 多边形的镶嵌 ∴.DE=EF,∠FEB+∠AED=90 1.C2.A3.C 又：∠AED+∠ADE=90°， 4.D5.二十四6.六 .∠FEB=∠ADE.又，四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠A=90°，∴.△ADE≌△BEF(AAS). 7.解：用公式n-2)·180 得正十二边形的内角是 ..AD=BE...AD+CD=AD+AB=AD+AD+ 150°，正六边形的内角是120°，正方形的内角是90°， 2=10.解得AD=4. 150°+120°+90°=360°， 4.解：(1)证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 ∴用正十二边形、正六边形、正方形结合在一起能镶 AB=AF,∠BAE=∠FAE, 嵌地面 ,四边形ABCD是平行四边形， 用一个正十二边形、一个正六边形、一个正方形一起 .AD∥BC,.∠FAE=∠AEB, 镶嵌， .∠BAE=∠AEB, 8.D9.D10.B11.14412.4或5 .AB=BE,..BE=FA, 13.解：由题意，得一2)×180°+y-2)×180+ ,.四边形ABEF为平行四边形 y :AB=AF,.四边形ABEF为菱形 (x-20X180°=360， (2),四边形ABEF为菱形， AE⊥BF,B0-号FB=8,AE=2A0 1-2+1-2+1-2=2, y 26