高一数学月考卷（江苏专用，苏教版2019必修第二册第9～14章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，平面，若平面平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线必垂直于平面内的无数条直线 6．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（    ） A． B．复数的共轭复数的虚部为 C．若复数为纯虚数，则 D．若，为复数，则 10．在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．若，则直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 13．已知，则 . 14．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 16．（15分）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 17．（15分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 18．（17分）在三棱锥中，，，，为的中点，为靠近的三等分点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角. 19．（17分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，平面，若平面平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线必垂直于平面内的无数条直线 6．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（    ） A． B．复数的共轭复数的虚部为 C．若复数为纯虚数，则 D．若，为复数，则 10．在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．若，则直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 13．已知，则 . 14．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 16．（15分）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 17．（15分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 18．（17分）在三棱锥中，，，，为的中点，为靠近的三等分点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角. 19．（17分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C D D D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．【详解】（1）因为，设， 则， 2分 所以，即或. 4分 （2）因为， 所以得到， 6分 解得. 8分 （3）因为， 11分 所以，当且仅当同向时等号成立. 13分 16．【详解】（1）由，解得. 2分 （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 4分 则有，解得. 所以中位数为67.69. 6分 这次数学考试的平均成绩为 . 9分 （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 12分 所以第70的分位数为. 15分 17．【详解】（1）依题意，得 ， ，所以，． 2分 在中，， 由余弦定理，得 ． 5分 同理，在中，． 7分 由于 ，所以 ， 解得 ． 10分 （2）如图，作 ，垂足为 ， 11分 在 中，． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 15分 18．【详解】（1）在中，，，，则， 所以 2分 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 5分 同理，在中，，，，则， 所以 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 8分 由且平面， 平面. 又平面， 平面平面. 11分 （2）由（1）可知， 则即为二面角的平面角，即， 13分 又，， 由余弦定理，， 在中，，所以 又为的中点，， 则，所以 又平面， 平面. 16分 则即为直线与平面所成角的平面角，且， 所以，直线与平面所成角为. 17分 19．【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以， 2分 即，又，，， 所以或． 4分 若，则，与矛盾， 所以，此时或． 6分 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形． 8分 （2）由（1）得， 所以或． 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 10分 当时，，此时为钝角，不符合题意． 12分 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ． 15分 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是． 17分 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 故选：A 2．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，若，则， 即，解得或， 因为是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 易知，可得函数的图象如下： 由题意可得或，解得或. 故选：C. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， . 故选：D 5．已知直线，平面，若平面平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线必垂直于平面内的无数条直线 【答案】D 【详解】对于A，若，则与也可能平行或者，故A错误， 对于B，若，当至少有一条直线与垂直时才有，否则还有可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况，B错误， 对于C，若，且，才会有，否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况，故C错误， 对于D，若则，则直线必垂直于平面内的无数条直线.若且，直线必垂直于平面内的无数条直线. 故选：D 6．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，错误. 故选：D 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R， 由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为， 如图，由，可得，所以， 因为，即， 解得或． 又， 当时，； 当时，． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（    ） A． B．复数的共轭复数的虚部为 C．若复数为纯虚数，则 D．若，为复数，则 【答案】BC 【详解】因为，A正确； 复数，其共轭复数为，虚部为1，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，，其中为实数，所以， ，D正确. 故选：BC. 10．在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】AD 【详解】对于A，根据正弦定理，由可得，大边对大角，所以.故A正确； 对于B，根据正弦定理，由可得，即， 则或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误； 对于C，，则或，即或， 所以是直角三角形或钝角三角形，故C错误； 对于D，若为锐角三角形，则，即， 因为函数在上单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD. 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．若，则直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 【答案】ABC 【详解】对于A，平面平面，平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，由A知平面，在矩形中，， 直线与平面所成的角为，在中， ，故C正确； 对于D，设平面平面，假设底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 【答案】 【详解】在中，由及，得， 由三点共线，得，所以. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 14．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由有 所以， 又由，所以， 因为， 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 【详解】（1）因为，设， 则， 2分 所以，即或. 4分 （2）因为， 所以得到， 6分 解得. 8分 （3）因为， 11分 所以，当且仅当同向时等号成立. 13分 16．（15分）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【详解】（1）由，解得. 2分 （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 4分 则有，解得. 所以中位数为67.69. 6分 这次数学考试的平均成绩为 . 9分 （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 12分 所以第70的分位数为. 15分 17．（15分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【详解】（1）依题意，得 ， ，所以，． 2分 在中，， 由余弦定理，得 ． 5分 同理，在中，． 7分 由于 ，所以 ， 解得 ． 10分 （2）如图，作 ，垂足为 ， 11分 在 中，． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 15分 18．（17分）在三棱锥中，，，，为的中点，为靠近的三等分点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角. 【详解】（1）在中，，，，则， 所以 2分 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 5分 同理，在中，，，，则， 所以 在中，，， 根据余弦定理，， 解得，则有，所以 8分 由且平面， 平面. 又平面， 平面平面. 11分 （2）由（1）可知， 则即为二面角的平面角，即， 13分 又，， 由余弦定理，， 在中，，所以 又为的中点，， 则，所以 又平面， 平面. 16分 则即为直线与平面所成角的平面角，且， 所以，直线与平面所成角为. 17分 19．（17分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以， 2分 即，又，，， 所以或． 4分 若，则，与矛盾， 所以，此时或． 6分 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形． 8分 （2）由（1）得， 所以或． 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 10分 当时，，此时为钝角，不符合题意． 12分 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ． 15分 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是． 17分 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$