第14课 平行四边形的判定定理-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第14课 平行四边形的判定定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握平行四边形的判定定理. 2.会运用平行四边形的判定定理判断一个四边形是不是平行四边形. 3.会综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5.两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． ( 能力拓展 )考点01 平行四边形的判定 【典例1】如图，在▱ABCD中，AC是它的一条对角线，过B，D两点分别作BE⊥AC，DF⊥AC，E，F为垂足． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若BE＝4，BF＝6，求四边形BEDF的面积． 【即学即练1】1．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　 　 （填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 2．已知：如图，点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）求证：△ABE≌△CDF． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠D，∠C＝∠B B．AB＝AD，CB＝CD C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD＝BC 2．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A．∠C+∠D＝180° B．AD＝BC C．AB＝CD D．AD∥BC 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（　　） ①又∵AE∥CF； ②∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，即AE＝CF； ③∴四边形AECF是平行四边形； ④∴AB＝CD，AB∥CD； ⑤∵四边形ABCD是平行四边形； A．④①③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 4．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　） A．82°，98°，82° B．102°，88°，102° C．82°，98°，98° D．92°，78°，92° 5．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 6．如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 　　 个平行四边形． 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：　 　 ，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）． 8．在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 　 　 ．（只需填写一种情况） 9．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是 　 　 的四边形是平行四边形． 10．如图所示，AB∥DC，CA平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝　 　 ． 11．如图，将▱BEDF的对角线EF向两个方向延长，分别至点A和点C，且使EA＝FC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 13．如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 14．尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 15．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，AB＝12，E是边CD的中点，连接BE交AD的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）当BF⊥DC时，求四边形BDFC的面积． 16．在▱ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，若E是CD的中点，AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边的所有平行四边形． 题组B 能力提升练 17．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（　　） 甲方案：在BD上取BN＝MD，连接AN、AM、CN、CM； 乙方案：作AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB，连接AM，CN； 丙方案：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M．连接AM，CN． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 18．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等，邻角互补 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 19．如图，E是▱ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　） A．EF＝BF B．∠BDE＝∠BCE C．∠ABD＝∠DCE D．∠AEB＝∠BCD 20．在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　 ． 21．如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC． （1）求证：四边形BEDG是平行四边形； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC． 题组C 培优拔尖练 22．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．28 B．26 C．24 D．20 23．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 25．平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则m2+n2的值为 　 　 ． 26．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 27．课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． 知识应用 （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14课 平行四边形的判定定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握平行四边形的判定定理. 2.会运用平行四边形的判定定理判断一个四边形是不是平行四边形. 3.会综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5.两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． ( 能力拓展 )考点01 平行四边形的判定 【典例1】如图，在▱ABCD中，AC是它的一条对角线，过B，D两点分别作BE⊥AC，DF⊥AC，E，F为垂足． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若BE＝4，BF＝6，求四边形BEDF的面积． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质求出∠BAE＝∠DCF，根据垂直可得∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF，证明△ABE≌△CDF得出BE＝DF，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得DF＝BE＝4，DE＝BF＝6，根据勾股定理求出EF，即可根据S▱BEDF＝S△BEF+S△DFE得出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形BEDF是平行四边形， ∴DF＝BE＝4，DE＝BF＝6， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴在Rt△BEF中，， ∴， 同理可得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【即学即练1】1．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　③　 （填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 【思路点拨】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； ④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．已知：如图，点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）求证：△ABE≌△CDF． 【思路点拨】（1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，AF＝CE，AB＝CD，继而得到DF＝BE，从而得证△ABE≌△CDF； 【解析】证明：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵平行四边形ABCD， ∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD， 又∵∴AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴DF＝BE， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠D，∠C＝∠B B．AB＝AD，CB＝CD C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD＝BC 【思路点拨】根据平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【解析】解：根据平行四边形的判定方法对各个选项进行判断如下： A、两组邻角分别相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形，故此选项不符合题意； B、两组邻边分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形，故此选项不符合题意； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　） A．∠C+∠D＝180° B．AD＝BC C．AB＝CD D．AD∥BC 【思路点拨】已知AB∥CD，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定． 【解析】解：在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴可添加的条件是：AB＝DC或AD∥BC或∠C+∠D＝180°， ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题． 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（　　） ①又∵AE∥CF； ②∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，即AE＝CF； ③∴四边形AECF是平行四边形； ④∴AB＝CD，AB∥CD； ⑤∵四边形ABCD是平行四边形； A．④①③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 【思路点拨】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】证明：⑤∵四边形ABCD是平行四边形； ④∴AB＝CD，AB∥CD； ②∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF，即AE＝CF； ①又∵AE∥CF； ③∴四边形AECF是平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 4．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　） A．82°，98°，82° B．102°，88°，102° C．82°，98°，98° D．92°，78°，92° 【思路点拨】由握两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断． 【解析】解：A、四边形的第四个角的度数是360°﹣82°﹣98°﹣82°＝98°，得到四边形的两组对角分别相等，判定四边形是平行四边形，故A符合题意； B、四边形的第四个角的度数是360°﹣102°﹣88°﹣102°＝68°，因此四边形只有一组对角相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、四边形的第四个角的度数是360°﹣82°﹣98°﹣98°＝82°，得到四边形的两组对角分别互补而不是分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D、四边形的第四个角的度数是360°﹣92°﹣78°﹣92°＝98°，因此四边形只有一组对角相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 5．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【思路点拨】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断即可． 【解析】解：由作图可知OD＝OB，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是读懂图象信息． 6．如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 　3　 个平行四边形． 【思路点拨】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得出结论． 【解析】解：∵AB∥A'B'，B′C′∥BC，C′A′∥CA， ∴四边形AC'BC、四边形ABCB'、四边形ABA'C是平行四边形， 故答案为：3． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，熟记两组对边分别平行的四边形为平行四边形是解题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：　BE＝DF　 ，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）． 【思路点拨】添加条件是BE＝DF，根据三角形全等的性质和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明． 【解析】解：添加的条件：BE＝DF． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF 又∵BE＝DF ∴△ABE≌△CDF ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD ∴∠AEF＝∠EFC ∴AE∥FC ∴四边形AECF为平行四边形．“答案不唯一” 故答案为：BE＝DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 8．在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 　AB∥CD　 ．（只需填写一种情况） 【思路点拨】由条件∠A+∠B＝180°可推出AD∥BC，再加上条件AB∥CD，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形． 【解析】解：添加条件AB∥CD， ∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥CB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：AB∥CD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是 　两组对边分别相等　 的四边形是平行四边形． 【思路点拨】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定即可． 【解析】解：由作图可知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记两组对边分别相等的四边形为平行四边形是解题的关键． 10．如图所示，AB∥DC，CA平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝　8　 ． 【思路点拨】连接BC，证AD＝CD，同理AD＝AB，则CD＝AB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由平行四边形的性质得BE＝DE，AE＝CE，则S△ADE＝S△ABE＝4，即可得出结论． 【解析】解：如图，连接BC， ∵AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵CA平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， 同理AD＝AB， ∴CD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BE＝DE，AE＝CE， ∴S△ADE＝S△ABE＝4， ∴S△ACD＝2S△ADE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 11．如图，将▱BEDF的对角线EF向两个方向延长，分别至点A和点C，且使EA＝FC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【思路点拨】由平行四边形的性质得BF∥DE，BF＝DE，则∠AFB＝∠CED，由EA＝FC，推导出AF＝CE，即可根据“SAS”证明△AFB≌△CED，得AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，则AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形． 【解析】证明：将▱BEDF的对角线EF向两个方向延长，分别至点A和点C，且使EA＝FC， ∴BF∥DE，BF＝DE，EA+EF＝FC+EF， ∴∠AFB＝∠CED，AF＝CE， 在△AFB和△CED中， ， ∴△AFB≌△CED（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 【思路点拨】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，结合BE＝FD可得OE＝OF，即可证明四边形AECF是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得S△AEF＝S△ABE＝2，再根据平行四边形的性质可得． 【解析】（1）证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE＝EF＝FD， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OB﹣BE＝OD﹣FD， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵S△ABE＝2，BE＝EF， ∴S△AEF＝S△ABE＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 13．如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【思路点拨】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【解析】（1）证明：∵点E是线段BD的中点， ∴BE＝DE， 又∵EF＝CE， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF∥CD； （2）如图，连接AF， ∵四边形FBCD是平行四边形， ∴BD∥CD，BF＝CD， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BF， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴AB与FD互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 14．尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【思路点拨】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证； （2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 【解析】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE； （2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 故小丽的作法有问题． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 15．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，AB＝12，E是边CD的中点，连接BE交AD的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）当BF⊥DC时，求四边形BDFC的面积． 【思路点拨】（1）证明△BEC≌△FED（AAS），得BE＝FE，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明∠A＝90°，进而由勾股定理得BD＝13，再由线段垂直平分线的性质得FD＝BD＝13，然后由平行四边形面积公式列式计算即可． 【解析】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵BC∥AD， ∴∠CBE＝∠DFE， 又∵E是边CD的中点， ∴CE＝DE， 在△BEC与△FED中， ， ∴△BEC≌△FED（AAS）， ∴BE＝FE， ∴四边形BDFC是平行四边形； （2）解：∵BC∥AD，∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴BA⊥FD，BD＝＝＝13， 由（1）可知，BE＝FE，四边形BDFC是平行四边形， ∵BF⊥DC， ∴FD＝BD＝13， ∴S平行四边形BDFC＝FD•AB＝13×12＝156， 即四边形BDFC的面积为156． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 16．在▱ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，若E是CD的中点，AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边的所有平行四边形． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AB∥CD，再证明△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝BF即可； （2）证明△EDG≌△CEH（ASA），得EG＝CH，DG＝EH，再由平行四边形的判定得四边形GHCE、四边形GHED是平行四边形，同理可证四边形GHFA、四边形GHBF是平行四边形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AB∥CD，DE∥BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE＝BF； （2）解：以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE． ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 由（1）可知，DE＝BF，DE∥BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∴DF∥BE， ∴∠EDG＝∠CEH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ECH＝∠CFB， ∵△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB， ∴∠ECH＝∠AED， ∴AE∥CF， 在△EDG和△CEH中， ， ∴△EDG≌△CEH（ASA）， ∴EG＝CH，DG＝EH， 又∵EG∥CH，DG∥EH， ∴四边形GHCE、四边形GHED是平行四边形， 同理：四边形GHFA、四边形GHBF是平行四边形， 综上可知，以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 17．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（　　） 甲方案：在BD上取BN＝MD，连接AN、AM、CN、CM； 乙方案：作AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB，连接AM，CN； 丙方案：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M．连接AM，CN． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【思路点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，所以∠ABM＝∠CDN，由BN＝MD，推导出BM＝DN，则△ABM≌△CDN，所以AM＝CN，∠AMN＝∠CNM，则AM∥CN，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断甲方案正确；由AD∥CB，得∠BAD＝∠DCB，而∠DAN＝∠BAD，∠BCM＝∠DCB，所以∠DAN＝∠BCM，可证明△DAN≌△BCM，得AN＝CM，∠AND＝∠CMB，则AN∥CM，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断乙方案正确；由AB∥CD，得∠ABN＝∠CDM，由AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M，得AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°，可证明△ABN≌△CDM，得AN＝CM，所以四边形ANCM是平行四边形，可判断丙方案正确，于是得到问题的答案． 【解析】解：甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABM＝∠CDN， ∵BN＝MD， ∴BN+MN＝MD+MN， ∴BM＝DN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴AM＝CN，∠AMN＝∠CNM， ∴AM∥CN， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故甲方案正确； 乙方案：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ADN＝∠CBM， ∵AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB， ∴∠DAN＝∠BAN＝∠BAD，∠BCM＝∠DCM＝∠DCB， ∴∠DAN＝∠BCM， 在△DAN和△BCM中， ， ∴△DAN≌△BCM（ASA）， ∴AN＝CM，∠AND＝∠CMB， ∴AN∥CM， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故乙方案正确； 方案丙：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M， ∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM， ∴四边形ANCM是平行四边形， 故丙方案正确， 故选：A． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明AM∥CN且AM＝CN或AN∥CM且AN＝CM是解题的关键． 18．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等，邻角互补 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【思路点拨】因为平行四边形的对角相等，且两组对边分别平行，所以平行四边形的邻角互补，可判断A不符合题意；△ABE中，AE＝AB，在BE上取一点C，使CE≠BC，作AC的垂直平分线交AE于点F，连接并延长CF到点D，使DF＝EF，连接AD，则CF＝AF，所以CD＝AE＝AB，可证明△AFD≌△CFE，则∠D＝∠E＝∠B，四边形ABCD是一组对边相等，一组对角相等的四边形，但四边形ABCD不是平行四边形，可判断B符合题意；四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，由∠A+∠B＝180°，推导出∠C+∠B＝180°，则CD∥AB，所以四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由平行四边形的判定定理可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵平行四边形的对角相等，且两组对边分别平行， ∴平行四边形的邻角互补， 故A不符合题意； 如图1，△ABE中，AE＝AB，在BE上取一点C，使CE≠BC，作AC的垂直平分线交AE于点F，连接并延长CF到点D，使DF＝EF，连接AD， ∵CF＝AF，DF＝EF， ∴CF+DF＝AF+EF， ∴CD＝AE＝AB， 在△AFD和△CFE中， ， ∴△AFD≌△CFE（SAS）， ∴∠D＝∠E＝∠B， ∴四边形ABCD是一组对边相等，一组对角相等的四边形，但四边形ABCD不是平行四边形， ∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形， 故B符合题意； 如图2，AD∥BC，∠A＝∠C，∵∠A+∠B＝180°， ∴∠C+∠B＝180°， ∴CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴一组对平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， 故C不符合题意； 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质，正确理解和运用平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．如图，E是▱ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　） A．EF＝BF B．∠BDE＝∠BCE C．∠ABD＝∠DCE D．∠AEB＝∠BCD 【思路点拨】添加条件EF＝BF后可证明△DEF≌△CBF（AAS），得到DF＝CF，进而可得结论，A不符合题意；添加条件∠BDE＝∠BCE，可证明∠BCE+∠DBC＝180°，进而得到BD∥CE，从而证明结论，B不符合题意；添加条件∠ABD＝∠DCE，可证BD∥CE，进而证明结论，C不符合题意；添加条件∠AEB＝∠BCD，无法得到四边形BCED为平行四边形，D符合题意． 【解析】解：A、∵▱ABCD， ∴AE∥BC， ∴∠DEF＝∠CBF，∠EDF＝∠BCF， ∵EF＝BF， ∴△DEF≌△CBF（AAS）， ∴DF＝CF， ∴四边形BCED为平行四边形，不符合题意； B、∵▱ABCD， ∴AE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°， ∵∠BDE＝∠BCE， ∴∠BCE+∠DBC＝180°， ∴BD∥CE， ∴四边形BCED为平行四边形，不符合题意； C、∵▱ABCD， ∴AB∥DC， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠DCE， ∴∠BDC＝∠DCE， ∴BD∥CE， ∴四边形BCED为平行四边形，不符合题意； D、添加条件∠AEB＝∠BCD，无法证明四边形BCED为平行四边形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握平行四边形和三角形的性质是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　﹣3或5　 ． 【思路点拨】证明BC∥x轴，再求出BC＝OA＝4，进而分两种情况讨论，①点C在点B左侧，则x＝﹣3；②点C在点B右侧，则x＝5，即可得出结论． 【解析】解：∵B（1，3），C（x，3）， ∴BC∥x轴， ∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0）， ∴BC＝OA＝4， ①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3； ②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5； 综上所述，x＝﹣3或5， 故答案为：﹣3或5． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明BC∥x轴是解题的关键． 21．如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC． （1）求证：四边形BEDG是平行四边形； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，则∠DAC＝∠BCA，再由角平分线的定义得∠ADG＝∠CBE，然后证明△ADG≌△CBE（ASA），即可得出结论； （2）过E点作EH⊥BC于点H，由角平分线的性质得EH＝EF＝5，再由平行四边形的性质得AB+BC＝14，然后利用三角形的面积公式列式计算即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC， ∴，， ∴∠ADG＝∠CBE， ∴△ADG≌△CBE（ASA）， ∴∠AGD＝∠CEB，BE＝DG， ∴180°﹣∠AGD＝180°﹣∠CEB， ∴∠DGE＝∠BEG， ∴BE∥DG， ∵BE＝DG， ∴四边形BEDG是平行四边形； （2）解：如图，过E作EH⊥BC于点H， ∵▱ABCD的周长为28， ∴， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EH＝EF＝5， ∴＝＝＝35． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．28 B．26 C．24 D．20 【思路点拨】连接EF，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，可得BE＝CF，可判定四边形BCFE是平行四边形，从而得到，再证明四边形ADFE是平行四边形，可得，最后根据阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF，即可求解． 【解析】解：连接EF，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵Q是BF中点， ∴BQ＝FQ， 在△BEQ和△FCQ中， ∵∠BEQ＝∠FCQ，∠BQE＝∠FQC，BQ＝FQ， ∴△BEQ≌△FCQ（AAS）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴， ∵AB﹣BE＝CD﹣CF，即AE＝FD， ∵AE∥FD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是相关性质的熟练掌握． 23．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】证△AEB≌△∠CFD（AAS）即可判断出①；证△GAE≌△∠FCH（ASA）即可判断出②；由∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC，即可判断出③；由AG＝CH，GD＝HB即可判断出④；证S△ABE＝，，即可判断出⑤． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAB＝∠FCD，∠GAE＝∠FCH， ∵BG⊥AC，DH⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△AEB≌△∠CFD（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CE，故①正确； ∵∠GAE＝∠FCH，∠AEG＝∠CFH， ∴△GAE≌△∠FCH（ASA）， ∴AG＝CH， ∴AD＝AG＝CB﹣CH，即GD＝BH， ∴四边形GBHD是平行四边形，故②正确； ∵∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC， 故③错误； ∵AG＝CH，GD＝HB， ∴AG+AB+BH＝GD+DC+CH， 故GH平分▱ABCD的周长， 故④正确； 如图，过点E作EM⊥AD，并延长ME交BC于点N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， 则S△ABE＝S△ABG﹣S△AEG＝﹣＝， ， ∵AG＝CH， ∴S△ABE＝S△EHC， 故⑤正确，故正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用上述性质逐一判断即可解答，熟练利用相关性质是解题的关键． 24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 【思路点拨】由平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，可得∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，则AF＝AB＝6，由题意得，点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝8﹣2t，计算求解即可；当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝2t﹣8，计算求解即可． 【解析】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线， ∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF， ∴AF＝AB＝6， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s， 当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝8﹣2t， 解得，t＝2， 当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝2t﹣8， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 25．平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则m2+n2的值为 　50　 ． 【思路点拨】▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，设AC＝m，BD＝n，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，先证四边形AEFD是平行四边形得出BE＝CF，再根据勾股定理求解即可． 【解析】解：设▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC＝m，BD＝n， 作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，如图所示， 在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝3， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝90°，AE∥DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE＝DF，EF＝AD＝BC＝4， ∴BE＝CF， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2＝9， 在Rt△AEC中，AE2+EC2＝AC2＝m2， 在Rt△DCF中，DF2+CF2＝CD2＝9， 在Rt△BFD中，DF2+BF2＝BD2＝n2， ∴m2+n2 ＝AE2+EC2+DF2+BF2 ＝AE2+（4﹣BE）2+DF2+（4+CF）2 ＝AE2+16﹣8BE+BE2+DF2+16+8CF+CF2 ＝32+（AE2+BE2）+（DF2+CF2） ＝32+9+9 ＝50， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，作平行四边形的高构造直角三角形是解题的关键． 26．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【思路点拨】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案； ②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH． 【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN＝＝＝4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 27．课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． 知识应用 （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，证明△OAD≌△OCB（ASA），即可证明OA＝OC，OB＝OD； （2）过点B作BH∥AE交DE于H，连接PH，CH，则∠DBH＝∠BAC＝60°，先证明△ADE是等边三角形，得到∠D＝60°，DE＝DA，进而证明△DBH是等边三角形，得到BH＝BD＝DH，接着证明四边形ABHC是平行四边形，得到AH，BC互相平分，则AH＝2AP，证明△ADH≌△EDB（SAS），得到BE＝AH，则BE＝2AP． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴OA＝OC，OB＝OD； （2）解：BE＝2AP，证明如下： 如图所示，过点B作BH∥AE交DE于H，连接PH，CH， ∴∠DBH＝∠BAC＝60°， ∵AB＝CE，AC＝BD， ∴AB+BD＝AC+CE，即AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠D＝60°，DE＝DA， ∴△DBH是等边三角形， ∴BH＝BD＝DH， ∴BH＝AC， 又∵BH∥AC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AH，BC互相平分， ∵点P为BC的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴AH＝2AP， 在△ADH和△EDB中， ， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AH， ∴BE＝2AP． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，关键是平行四边形判定定理的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$