七年级数学月考卷（沪教2024版七下第15～17章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第三次月考

2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 D C C B D C 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7． 8．1 9． 10． 11． 12．或 13．23 14．或 15． 16．75 17． 18．2或或12 三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）：【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步和第三步错误， 故答案为：第一步、第三步；............................2分 （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，............................3分 在数轴上表示不等式组解集，如图所示： ............................1分 20．（本题6分）【解答】证明：， ， 又， ， ，（内错角相等，两直线平行）............................2分 ， ，（同旁内角互补，两直线平行）............................2分 ．（平行于同一条直线的两直线平行），............................2分 21．（本题6分）【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题；......2分 （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知， ， ， ， ， ；............................4分（如选其他条件结论，酌情给分！） 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知， ， ， ， ， ； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知， ， ， ， ， 又， ． 22．（本题6分）【解答】解：（1）设采购一个种机器人万元、一个种机器人万元， ， 解得：， 答：采购一个种机器人60万元、一个种机器人65万元．............................3分 （2）设该公司可以采购种机器个，种机器人个， ， 解得：，............................3分 答：该公司可以采购种机器人数量的范围． 23．（本题8分）【解答】（1）证明：， ， 即， ， ， 在△和△中， ， △△；............................4分 （2）解：由（1）知，△△， ， ， ， ， ．............................4分 24．（本题10分）【解答】解：（1）于，于， ， ， ， ， ， △△；............................4分 （2）当所在的直线旋转到△的外部时，仍有，，， ，............................2分 ， △△，............................2分 ，， ，............................2分 答：的长为． 25．（本题10分）【解答】解：（1），， ， 在和中， ， ， ，，............................1分 ；............................1分 （2），，............................2分 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，， ． 在和中， ， ，............................3分 ，． 为等腰直角三角形， ， 点、、在同一直线上， ． ， ． ，， ． ， ， ．............................3分 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教五四版(2024）第15章一元一次不等式~第17章三角形。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共12分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知，下列结论中成立的是　　 A． B． C．若，则 D． 2．如图所示，下列说法中正确的是　　 A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 3．下列是命题的是　　 A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求的值 4．若三角形的两条边分别为和，则此三角形的第三边可能是　　 A． B． C． D． 5．如图，如果△△，且点在上，那么下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 6．如图，已知、分别平分、，若，，则的大小为　　 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共88分） 2、 填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．不等式组的解集是　 　 ． 8．若不等式组的解集为，则符合条件的正整数的值为　 　． 9．如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是　 　． 10．如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为 　　 ． 11．如图，已知，交于点，，，那么 　 　． 12．同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么　 　． 13．如图，已知为△的中线，，，△的周长为，则△的周长为 　 ． 14．在△中，为边上的高，，，则　 　． 15．如图，已知直线、相交于点，，，，　 　． 16．如图，已知△△，如果，，那么 　 　 ． 17．如图所示，，，，，，则　 　． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 　秒时，与全等． 3、 解答题（本大题共7题，满分52分） 19．（本题满分6分） 以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 ．第六步 （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 20．（本题满分6分） 完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点在上，交于，交于，，，． 求证：． 证明：， ， 又， ， 　 　　 　，　 　 ， 　 　，　 　 　 　　 　．　 　 21．（本题满分6分） 如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 22．（本题满分6分） 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种机器人进行销售，已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台种机器人和12台种机器人． （1）求采购一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．求该公司可以采购种机器人数量的范围． 23．（本题满分8分） 如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 24．（本题满分10分） 如图（1），，，于，于． （1）求证：△△； （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将所在的直线旋转到△的外部，若，，求的长． 25．（本题满分10分） （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教五四版(2024）第15章一元一次不等式~第17章三角形。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共12分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知，下列结论中成立的是　　 A． B． C．若，则 D． 【答案】 【解答】解：， ，，， ， ， ． 故选：． 2．如图所示，下列说法中正确的是　　 A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】 【解答】解：如图， ．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项不符合题意； ．与既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项不符合题意； ．与是直线，直线，被直线所截的内错角，因此选项符合题意； ．与既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项不符合题意． 故选：． 3．下列是命题的是　　 A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求的值 【答案】 【解答】解：“作两条相交直线”、“若，求的值”均为描述性语言，它不是命题，故选项、不符合题意； “和相等吗？”为疑问句，它不是命题，故选项不符合题意； “对顶角相等”它是命题，故选项符合题意； 故选：． 4．若三角形的两条边分别为和，则此三角形的第三边可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，不能构成三角形，故不符合题意； 、，能构成三角形，故符合题意； 、，不能构成三角形，故不符合题意； 、，不能构成三角形，故不符合题意． 故选：． 5．如图，如果△△，且点在上，那么下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：对于选项， △△， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， △△， ，，， ， ， ， 在△中，， ， ， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， ， ， 故结论正确，不符合题意； 对于选项， 点在上， 不是的平分线， ， 故选项不正确，符合题意． 故选：． 6．如图，已知、分别平分、，若，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：连接并延长，如图所示： 由三角形外角性质可知；； 、分别平分、， ；； ，， ， ， 连接并延长，如图所示： ， 故选：． 第二部分（非选择题 共88分） 2、 填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．不等式组的解集是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 8．若不等式组的解集为，则符合条件的正整数的值为　 　． 【答案】1． 【解答】解：的解集为， ， 解得， 正整数的值为1； 故答案为：1． 9．如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是　 　． 【答案】． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以， 所以这两条直线的锐角夹角是， 故答案为：． 10．如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，已知，交于点，，，那么 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图， 过点作， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 12．同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么　 　． 【答案】或． 【解答】解：如图： 的两边与的两边分别平行， ，， ， 比的3倍少， ， ， 如图： 的两边与的两边分别平行， ，， ， 比的3倍少， ， 故答案为：或． 13．如图，已知为△的中线，，，△的周长为，则△的周长为 　 ． 【解答】解：是边上的中线， ， △和△周长的差， △的周长为，比长， △周长为：． 故答案为23． 14．在△中，为边上的高，，，则　 　． 【答案】或． 【解答】解：为边上的高， ． 在△中，，， ． 又， 或． 故答案为：或． 15．如图，已知直线、相交于点，，，，　 　． 【答案】． 【解答】解：， ， ，，， ． 故答案为：． 16．如图，已知△△，如果，，那么 　 　 ． 【答案】75． 【解答】解：△△，， ，， ， ， 在△中，， ， ， 故答案为：75． 17．如图所示，，，，，，则　 　． 【解答】解：， ， ， 在△和△中， △△， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 　秒时，与全等． 【解答】解：由题意得，，， ，， ，， ①如图1，在上，点在上时，作，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 当， 则， ． 解得：； ③如图3，当点与重合时，， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 3、 解答题（本大题共7题，满分52分） 19．（本题满分6分） 以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 ．第六步 （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步和第三步错误， 故答案为：第一步、第三步；............................2分 （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，............................3分 在数轴上表示不等式组解集，如图所示： ............................1分 20．（本题满分6分） 完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点在上，交于，交于，，，． 求证：． 证明：， ， 又， ， 　 　　 　，　 　 ， 　 　，　 　 　 　　 　．　 　 【解答】证明：， ， 又， ， ，（内错角相等，两直线平行）............................2分 ， ，（同旁内角互补，两直线平行）............................2分 ．（平行于同一条直线的两直线平行），............................2分 21．（本题满分6分） 如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题；......2分 （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知， ， ， ， ， ；............................4分（如选其他条件结论，酌情给分！） 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知， ， ， ， ， ； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知， ， ， ， ， 又， ． 22．（本题满分6分） 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种机器人进行销售，已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台种机器人和12台种机器人． （1）求采购一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．求该公司可以采购种机器人数量的范围． 【解答】解：（1）设采购一个种机器人万元、一个种机器人万元， ， 解得：， 答：采购一个种机器人60万元、一个种机器人65万元．............................3分 （2）设该公司可以采购种机器个，种机器人个， ， 解得：，............................3分 答：该公司可以采购种机器人数量的范围． 23．（本题满分8分） 如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 【解答】（1）证明：， ， 即， ， ， 在△和△中， ， △△；............................4分 （2）解：由（1）知，△△， ， ， ， ， ．............................4分 24．（本题满分10分） 如图（1），，，于，于． （1）求证：△△； （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将所在的直线旋转到△的外部，若，，求的长． 【解答】解：（1）于，于， ， ， ， ， ， △△；............................4分 （2）当所在的直线旋转到△的外部时，仍有，，， ，............................2分 ， △△，............................2分 ，， ，............................2分 答：的长为． 25．（本题满分10分） （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1），， ， 在和中， ， ， ，，............................1分 ；............................1分 （2），，............................2分 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，， ． 在和中， ， ，............................3分 ，． 为等腰直角三角形， ， 点、、在同一直线上， ． ， ． ，， ． ， ， ．............................3分 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每题3分，满分36分） 7. _____________ 8. ____________ 9. _______________ 10. _____________ 11. ____________ 12. ______________ 13. _____________ 14. ____________ 15. ______________ 16. _____________ 17. ____________ 18. ______________ 三、解答题（共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　 　 ； （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（6分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25． （10分） （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　 　． （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教五四版(2024）第15章一元一次不等式~第17章三角形。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共12分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知，下列结论中成立的是　　 A． B． C．若，则 D． 2．如图所示，下列说法中正确的是　　 A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 3．下列是命题的是　　 A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求的值 4．若三角形的两条边分别为和，则此三角形的第三边可能是　　 A． B． C． D． 5．如图，如果△△，且点在上，那么下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 6．如图，已知、分别平分、，若，，则的大小为　　 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共88分） 2、 填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．不等式组的解集是　 　 ． 8．若不等式组的解集为，则符合条件的正整数的值为　 　． 9．如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是　 　． 10．如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为 　　 ． 11．如图，已知，交于点，，，那么 　 　． 12．同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么　 　． 13．如图，已知为△的中线，，，△的周长为，则△的周长为 　 ． 14．在△中，为边上的高，，，则　 　． 15．如图，已知直线、相交于点，，，，　 　． 16．如图，已知△△，如果，，那么 　 　 ． 17．如图所示，，，，，，则　 　． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 　秒时，与全等． 3、 解答题（本大题共7题，满分52分） 19．（本题满分6分） 以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 ．第六步 （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 20．（本题满分6分） 完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点在上，交于，交于，，，． 求证：． 证明：， ， 又， ， 　 　　 　，　 　 ， 　 　，　 　 　 　　 　．　 　 21．（本题满分6分） 如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 22．（本题满分6分） 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种机器人进行销售，已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台种机器人和12台种机器人． （1）求采购一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．求该公司可以采购种机器人数量的范围． 23．（本题满分8分） 如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 24．（本题满分10分） 如图（1），，，于，于． （1）求证：△△； （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将所在的直线旋转到△的外部，若，，求的长． 25．（本题满分10分） （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$