8.5.3平面与平面平行（2知识点+6题型）2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.5.3 平面与平面平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 知识点2 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 思路方法总结 1.平面与平面平行的判定方法 ①定义法：两个平面没有公共点. ②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. ③转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. ④利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 3.平行关系的综合应用 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示. 典例·举一反三 题型一 面面平行的判断 1．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 2．平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 3．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面与平行的是（    ） A． B．内不共线的三点到的距离相等 C．是平面内的直线且 D．是两条异面直线且 4．设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    题型二 面面平行的证明 6．在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 7．如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 8．在正方体中，为的中点，是的中点，若是上的点，则当点在什么位置时，平面平面？ 9．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 10．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 题型三 面面平行的补充条件 11．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 12．平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 13．在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 14．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ平面PAO． 15．如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 题型四 面面平行证明线线平行 16．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 17．如图，在四棱锥中，为的中点，是上的点，且平面，证明：为的中点． 18．如图，已知平面平面，点是平面、外的一点（不在与之间），直线、分别与、交于点和．    (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 19．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 20．如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 题型五 面面平行证明线面平行 21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 22．在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 23．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 24．如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 25．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    题型六 面面平行的动点问题 26．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 27．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 28．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 29．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 30．如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.3 平面与平面平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 知识点2 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 思路方法总结 1.平面与平面平行的判定方法 ①定义法：两个平面没有公共点. ②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. ③转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. ④利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 3.平行关系的综合应用 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示. 典例·举一反三 题型一 面面平行的判断 1．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 【答案】D 【分析】根据题意，结合线与线，线与面，以及面与面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则直线与，可能相交、平行或异面，所以A错误； 对于B中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误； 对于C中，若，，，则或，所以C错误； 对于D中，若为异面直线，且，，， 假设直线与直线都不相交，则，所以， 这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确. 故选：D. 2．平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 【答案】A 【分析】对于选项A利用面面平行的判定定理即可判断正确，选项B,C,D利用举反例画图即可判断. 【详解】对于选项A：由任意两一直线与平面平行，一定能找到两条相交的直线a,b使得直线平面, 直线平面,又两条相交直线在平面内，由面面平行的判断定理即可得到. 对于选项B:由图可知直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内，但是平面与平面相交；故B错误 对于选项C:由图可知：直线平面，直线平面，且直线平面，直线平面，但是平面与平面相交，故C错误 对于选项D:平面内只要与直线a平行的线都与平面平行， 这样的线有无数条，但是平面与平面相交，故D错误 故选：A 3．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面与平行的是（    ） A． B．内不共线的三点到的距离相等 C．是平面内的直线且 D．是两条异面直线且 【答案】D 【分析】对于A、B、C，举出反例即可排除；对于D直接证明即可. 【详解】对于A，和可平行也可相交；如图所示，，，则，但不能判定平面与平行； 对于B，如图所示，确定的平面记为，确定的平面记为，其中三点不共线，且到平面的距离都相等，但此时平面与平面不平行；若需要，必须是内不共线的三点，且在的同侧到的距离相等，才可判定平面与平面平行，故B错误； 对于C，如图所示，当是平面内的两条平行直线时，与可能相交，故C错误； 对于D，如图所示，，是两条异面直线， 过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为，，， 由得，从而，则，同理， 因为与相交，所以． 故选：D． 4．设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，，则,可能平行，也可能相交，故不一定成立， 若，则，， 故是，的充分不必要条件. 故选：A 5．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    【答案】①②③④ 【分析】先把正方体的平面展开图还原成正方体，命题①②，利用线面平行的判定定理，即可判断；命题③④，利用面面平行的判定定理，即可判断. 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示， 对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确； 对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题③正确； 对于④，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题④正确.    故答案为：①②③④. 题型二 面面平行的证明 6．在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 7．如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明平面，然后由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 8．在正方体中，为的中点，是的中点，若是上的点，则当点在什么位置时，平面平面？ 【答案】点为的中点 【分析】根据条件有，利用线面平行的判定定理得平面，利用正方体的性质，得到，利用线面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面，证明如下： 在中，是中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，因为正方体中侧面为正方形，且为中点， 所以，且， 又，且，所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面PAO，平面PAO，所以平面， 又，，平面，所以平面平面PAO， 即当点Q为的中点时，平面平面PAO． 9．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 10．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 题型三 面面平行的补充条件 11．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 12．平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【答案】D 【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确. 故选：D. 13．在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 【答案】 【分析】确定为平面内的两条相交直线，，故，得到答案. 【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 故答案为：. 14．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ平面PAO． 【答案】Q为CC1的中点 【分析】设Q为CC1的中点，推得QB∥PA，连接DB，证得D1B∥PO，证得D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，再结合面面平行的判定定理，即可求解. 【详解】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA， 连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO， 又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO， 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO， 故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO． 【点睛】解答空间中的平行关系及应用问题常见的误区： 1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误； 2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解； 3、对面面平行性质定理理解不深导致错解. 15．如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明. 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）存在，点是的中点，此时，连结    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 由（1）可知，平面，且，且平面， 所以平面平面， 所以上存在中点，使平面平面. 题型四 面面平行证明线线平行 16．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 17．如图，在四棱锥中，为的中点，是上的点，且平面，证明：为的中点． 【答案】证明见解析 【分析】先由线面平行的判定定理证明平面，再由面面平行的性质定理得到，然后可得. 【详解】因为，平面平面， 所以平面． 因为平面，平面， 所以可设平面平面， 又因为平面， 所以． 因为平面平面，所以，从而得． 因为为的中点，所以为的中点． 18．如图，已知平面平面，点是平面、外的一点（不在与之间），直线、分别与、交于点和．    (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的性质可证结论； （2）由平行线分线段成比例定理可求. 【详解】（1）因为直线直线， 所以点共面， 可得平面，平面，又因为， 所以； （2）因为， 所以， 故 19．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）证明的延长线与的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 20．如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 题型五 面面平行证明线面平行 21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过线线平行得到平面平面，进而证明平面. 【详解】如图，取的中点，连接. ∵分别是棱的中点，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. 22．在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 23．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 24．如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行证明面面平行，再应用面面平行性质得出线面平行 【详解】证明：设的中点为，连接， 为的中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形的中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 25．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【详解】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    题型六 面面平行的动点问题 26．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 27．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 28．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 29．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 30．如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，，证明见解析 【分析】（1）易证平面ABC，平面ABC，再利用面面平行的判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. （2）如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. （3）如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$