8.5.2直线与平面平行（2知识点+6题型）2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.5.2 直线与平面平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 知识点2 直线与平面平行的性质定理及应用 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 思路方法总结 1.平行问题的实质 (1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决. (2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法. 2.(1)证明线面平行的方法：利用判定定理证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行，即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行，即由立体向平面转化.在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理. (2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论. 3.利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤 典例·举一反三 题型一 直线与平面平行的判断 1．下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 2．在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 5．下列命题正确的有 ． ①若直线上有无数个点不在平面内，则 ②若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行 ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 ④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 题型二 直线与平面平行的证明 6．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 7．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积. 8．如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形；(2)平面． 9．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 10．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 题型三 直线与平面平行的补充条件 11．在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 12．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足 时，有平面. 13．如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 14．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上． （1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明； （2）求四棱锥的体积． 题型四 线面平行的性质 15．如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 16．如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（   ）    A． B． C． D． 17．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    18．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 19．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 题型五 线面平行的动点问题 20．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 21．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 23．如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 题型六 根据线面平行求线段长度 25．如图，棱长为a的正方体中，，设过点，C，E的平面与平面的交线为EF，则三棱锥的体积为 . 26．如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    27．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    28．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 29．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.2 直线与平面平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 知识点2 直线与平面平行的性质定理及应用 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 思路方法总结 1.平行问题的实质 (1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决. (2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法. 2.(1)证明线面平行的方法：利用判定定理证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行，即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行，即由立体向平面转化.在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理. (2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论. 3.利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤 典例·举一反三 题型一 直线与平面平行的判断 1．下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 【答案】A 【分析】根据直线与平面平行的定义判断A，根据直线与平面的位置关系判断BCD. 【详解】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 2．在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用线面平行的判定定理和性质定理来判断“”与“平面”之间的条件关系. 【详解】由，平面，平面BEF，得平面． 由平面，平面PCD，平面平面，得． 故“”是“平面”的充要条件． 故选：A 3．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 4．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，设，连接,，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明平面. 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则平面. 故选：B. 5．下列命题正确的有 ． ①若直线上有无数个点不在平面内，则 ②若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行 ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 ④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【答案】③ 【分析】利用直线与平面平行的定义，判定及性质逐一判断各选项. 【详解】对于①，当直线与相交时，直线上除了交点之外的所有点都不在平面内，故①错误； 对于②，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或是异面直线，故②错误； 对于③，若直线与平面内某一条直线有公共点，则这个公共点也是直线与平面的公共点，这与直线与平面平行的定义矛盾，故③正确； 对于④，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线也可能在平面内，故④错误； 故答案为：③ 题型二 直线与平面平行的证明 6．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面. 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 7．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 8．如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理得到，，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到，证明菱形即可. （2）利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 9．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 10．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求证即可由线面平行判定定理得证平面； （2）延长即可作出截面图，再结合题设条件和正方体性质即可即可计算求解截面的周长. 【详解】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为.    题型三 直线与平面平行的补充条件 11．在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【详解】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 12．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足 时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 故答案为：在中点与中点连线上. 13．如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】当时，连接，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】当时，连接，因为，所以， 因为E，F分别为的中点，所以，从而， 又平面平面，所以平面． 故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）. 14．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上． （1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）点为棱的中点，证明见解析；（2）． 【分析】（1）证法1：取的中点，连接，，可得平面，再由线面平行的性质可得，则可得是棱的中点，由三角形中位线定理结合已知可得四边形是平行四边形，可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论；证法2：由已知条件可证得平面，从而得是平行四边形，，由线面平行的判定可得面，从而得面面，再由面面平行的性质可得结论； （2）解法一：连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，然后分别求出两个三棱锥的体积即可；解法二：分别取和的中点，，连接，，连接交于点，连接，，可证得平面平面，则平面，然后结合已知条件求出等腰梯形的面积，从而可求得四棱锥的体积 【详解】（1）证法1：点为棱的中点，证明如下： 取的中点，连接，． ∵，平面，平面， ∴平面，∵平面，平面平面， ∴． 又是棱的中点，∴是棱的中点， ∴∥， ∵，分别为棱，的中点，∴∥， ∴∥， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． 证法2：为的中点时，平面． 证明如下： ∵平面，平面，平面平面， ∴，平面，平面，所以平面， 又∵为的中点，为的中点，∴是平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴面， 又∵与在平面内相交，∴面面， 又∵面，∴平面． （2）解法一：连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，三棱锥可视为，底面积，高为， 设，体积为． 三棱锥与等高，体积比为底面积之比， 设，则，故， 因此，，即为所求． 解法二：分别取和的中点，，连接，，连接交于点，连接，． ∵和是正三角形，且，分别是和的中点， ∴，且∥，，则，，，四点共面． ∵平面，平面，∴， 又平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴平面平面． 在矩形中，，， ∴，∴，且， ∴，即．又平面平面， 平面平面，平面，∴平面． 在等腰梯形中，，，， ∴等腰梯形的高， ∴四棱锥的体积． 题型四 线面平行的性质 15．如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】B 【分析】应用线面平行的性质定理分别得出及即可判断. 【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，且平面平面，所以， 因此. 故选：B. 16．如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取圆台下底面圆心，确定取最小值的情况，结合线面平行的性质求出圆台两底半径及高，进而求出圆台体积. 【详解】取圆台下底面圆心，令，连接，显然， 由平面平面，平面，平面，得 则四边形为平行四边形，， 在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6， 由，解得，因此，圆台的高， 所以该圆台的体积为. 故选：C    17．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    【答案】矩形 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 18．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，先根据线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可证明. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 19．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 题型五 线面平行的动点问题 20．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【详解】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 21．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）首先证明平面，然后结合线面平行的性质、平行线的传递性即可得证. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）为的中点， 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. 23．如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 24．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 题型六 根据线面平行求线段长度 25．如图，棱长为a的正方体中，，设过点，C，E的平面与平面的交线为EF，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】利用面面平行的性质定理证得，再利用平行线的传递性得到，从而求得，再利用等体积法即可得解. 【详解】设点的位置如图，如图，连接EF，，CF，AC， 因为平面与平面的交线为EF， 又在正方体中，平面平面， 平面与平面的交线为，所以， 又在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，所以， 又，所以， 又正方体的棱长为，， 故. 26．如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可. 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 27．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【答案】 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    28．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 29．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$