8.5.1直线与直线平行（2知识点+4题型）-2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.5.1 直线与直线平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本事实4 基本事实 4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点2 空间等角定理 1.定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思路方法总结 1.证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得a∥b. 2.运用空间等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种： ①当两个角的两组对应边方向都相同或都相反时两角相等；②当两个角的一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，两角互补. 典例·举一反三 题型一 平行公理 1．如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【详解】如图，连接，则分别为的中点，    故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C 2．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【分析】利用平行分线段成比例的推论，结合平行线的传递性即可得解. 【详解】如图，连接BD， ，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 3．如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 4．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，，可得四边形为菱形，利用面积法求出菱形的高即可求出直线与的距离. 【详解】在棱长为1的正方体中，取中点，连接， 因为为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，又为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，从而，同理，四边形为平行四边形， 而，因此四边形为菱形，显然， 令直线到直线的距离为，由，得， 所以直线到直线的距离为. 故选：. 5．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解； （2）运用中位线性质，结合平行线传递性，证明共面,进而得到四点共面. 【详解】（1）由题意知，由已知，可得． 又． 四边形为平行四边形． （2）四点共面．理由如下： 是的中点，， 则四边形为平行四边形,所以 由（Ⅰ）知，所以，故共面． 又点在直线上 所以四点共面． 题型二 等角定理的辨析 6．给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 7．(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【答案】AC 【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假. 【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B：由等角定理可知B正确； 对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误； 对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：AC. 8．若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 9．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 10．已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 题型三 等角定理的应用 11．如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 12．若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 13．空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 14．如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形推得．再根据平行的传递性有，从而得到，，最后根据两角两边同向且平行得证. 【详解】连接，根据条件分别为棱的中点可知， 四边形为平行四边形． 又， 所以四边形是平行四边形， 所以，同理． 又与∠CEB两边的方向相同， 因此． 15．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，； （2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解. 【详解】（1）因为与相交于点O，所以与共面， 在和中，可得， 又因为，所以， 所以，， 所以 同理，. （2）因为，，且和，和的方向相反， ∴. 同理，因此， 又， 所以. 题型四 线线平行的综合应用 16．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 17．若，且，则为 . 【答案】或 【解析】根据空间中两个角的边分别平行时,两个角相等或互补即可得解. 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时,两个角相等或互补,即与相等或互补 所以或 故答案为: 或 【点睛】本题考查了空间中两个角的边分别平行时的数量关系,属于基础题. 18．已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面的交线为，则点到的距离为 . 【答案】 【分析】作出平面的交线，再利用等面积法求点到直线距离即可. 【详解】过作，交的延长线于点，连接，如图， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，，即平面 又平面，所以平面与平面的交线为， 因为，， 设点到的距离为， 由等面积法可知，， 所以， 故答案为：. 19．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】通过平行以及长度关系证明，，然后根据等角定理证明. 【详解】证明：因为，分别是，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 同理可证， 又与方向相同，所以. 20．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； （2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.1 直线与直线平行 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本事实4 基本事实 4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点2 空间等角定理 1.定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思路方法总结 1.证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得a∥b. 2.运用空间等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种： ①当两个角的两组对应边方向都相同或都相反时两角相等；②当两个角的一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，两角互补. 典例·举一反三 题型一 平行公理 1．如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 2．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 3．如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 4．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（    ） A．1 B． C． D． 5．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 题型二 等角定理的辨析 6．给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 8．若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 9．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 10．已知空间两个角与，若，，，则 . 题型三 等角定理的应用 11．如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 12．若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 13．空间中两个角和，若，则的大小是 14．如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 15．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 题型四 线线平行的综合应用 16．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 17．若，且，则为 . 18．已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面的交线为，则点到的距离为 . 19．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 20．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$