高二数学月考卷（苏教版2019，选择性必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 3．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 4．的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 5．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法． A． B． C． D． 6．某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（    ）（参考公式：，， A． B． C． D． 7．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 11．在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（   ） A．若点为的中点，则平面平面 B． C．异面直线，所成角的取值范围是 D．点到平面距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有 种. 13．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表： 是大绿书的用户 不是大绿书的用户 男性 女性 若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中） 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设，求： (1)； (2)； (3). 16．（15分） 安顺市教育局为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，从2022年起，安顺市中小学积极推进劳动教育课程改革，某高中积极响应教育局安排，先后开发开设了具有安顺特色的烹饪、手工、园艺、职业体验、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程，为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表： 月份 2 4 6 8 10 满意人数 80 95 100 105 120 (1)由表中看出，满意人数与月份之间存在很强的线性正相关关系，请用相关系数加以证明（一般认为时有很强的线性相关关系）；并求关于的经验回归方程，请用该方程预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数； (2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表： 满意 不满意 合计 男生 65 10 75 女生 55 20 75 合计 120 30 150 请根据的独立性检验，能否认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关联? 参考公式：，； 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中，，． 17．（15分） 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 19．（17分） 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， . 故选：C 2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【解析】因为散点图都呈直线型，所以图1，图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确； 图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 图1正相关，图2负相关，所以，故C不正确； 因为图2相关程度更强，所以，故D正确. 故选：C. 3．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 【答案】B 【解析】由条件可知，，， 线性回归方程必过点，所以，所以. 故选：B 4．的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【解析】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C 5．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将方形、五角形看成一个整体，与除圆之外的4个图形全排列， 再将圆形安排在第一个或最后一个，因此共有种不同的排法． 故选：A. 6．某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（    ）（参考公式：，， A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为续航里程服从正态分布，即， 由题意，又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 7．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述，. 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正八面体的棱长为，连接、相交于点，连接，如图所示， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为，所以，， 令，则，所以， ，， 设平面的法向量为，所以，， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为.故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 10．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 【答案】AC 【解析】对于A，甲3:2获胜的事件是第5局甲获胜，前4局甲胜2局，概率为，A正确； 对于B，打完前4个球时甲得3分的事件是甲发2球得2分的事件与甲发2球得1分的事件和， 其概率为，B错误； 对于C，比分为8:8后由甲发球，甲以11:9获胜的事件是4次发球，前3球甲胜2球，第4球甲胜， 其概率为，C正确； 对于D，设打成后再打2个球时甲的得分为，则， ，， 设该局比赛甲获胜为事件，则， 由全概率公式，得 ，解得，则该局比赛甲获胜的概率，D错误. 故选：AC 11．在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（   ） A．若点为的中点，则平面平面 B． C．异面直线，所成角的取值范围是 D．点到平面距离的最小值为 【答案】BC 【解析】如图建系易得：. 对于A，若点为的中点，则， 设平面的法向量为，， 则，即， 设，可得，则， 设平面的法向量为，， 则，即， 设，则， 所以，显然不平行，即平面平面不成立，故错误； 对于B，设，则， 则， 所以，故B正确； 对于C，， ， 设异面直线，所成的角为，则， 因为，易得，所以， 所以，又，所以，C正确； 对于D，由A知平面的一个法向量为，， 所以点到平面距离为， 因为，所以当时，取得最小值为，故D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有 种. 【答案】 【解析】首先从四位家长中选三人有种方法， 然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法， 根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种. 故答案为： 13．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表： 是大绿书的用户 不是大绿书的用户 男性 女性 若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中） 【答案】3 【解析】因为用大绿书APP的用户存在性别差异， 所以， 即，所以的最小值为3.故答案为：. 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】，或 【解析】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ，则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：；或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以.（5分） （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以.（10分） （3）令，得：.（13分） 16．（15分） 安顺市教育局为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，从2022年起，安顺市中小学积极推进劳动教育课程改革，某高中积极响应教育局安排，先后开发开设了具有安顺特色的烹饪、手工、园艺、职业体验、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程，为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表： 月份 2 4 6 8 10 满意人数 80 95 100 105 120 (1)由表中看出，满意人数与月份之间存在很强的线性正相关关系，请用相关系数加以证明（一般认为时有很强的线性相关关系）；并求关于的经验回归方程，请用该方程预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数； (2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表： 满意 不满意 合计 男生 65 10 75 女生 55 20 75 合计 120 30 150 请根据的独立性检验，能否认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关联? 参考公式：，； 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中，，． 【解析】（1）由统计数据的表格，可得， 则，， ， 可得， 所以变量关于的相关系很强，且关于正相关，（6分） 又由，， 所以关于的回归直线方程为， 令，可得， 据此预测12月份该校全体学生对劳动课程的满意人数为人. （10分） （2）零假设：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关， 根据表格中的数据，可得， 因为，根据的独立性检验，我们可推断不成立，因此可认为该校学生性别与对劳动课程是否满意有关. （15分） 17．（15分） 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为（5分） （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ；（10分） （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. （15分） 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【解析】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以.（5分） （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分） （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得，（14分） 即，整理得，解得， 所以．（17分） 19．（17分） 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【解析】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，，（3分） 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为．（7分） （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，，（9分） 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，（14分） （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． （17分） 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 3．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 4．的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 5．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法． A． B． C． D． 6．某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（    ）（参考公式：，， A． B． C． D． 7．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 11．在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（   ） A．若点为的中点，则平面平面 B． C．异面直线，所成角的取值范围是 D．点到平面距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有 种. 13．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表： 是大绿书的用户 不是大绿书的用户 男性 女性 若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中） 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设，求： (1)； (2)； (3). 16．（15分） 安顺市教育局为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，从2022年起，安顺市中小学积极推进劳动教育课程改革，某高中积极响应教育局安排，先后开发开设了具有安顺特色的烹饪、手工、园艺、职业体验、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程，为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表： 月份 2 4 6 8 10 满意人数 80 95 100 105 120 (1)由表中看出，满意人数与月份之间存在很强的线性正相关关系，请用相关系数加以证明（一般认为时有很强的线性相关关系）；并求关于的经验回归方程，请用该方程预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数； (2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表： 满意 不满意 合计 男生 65 10 75 女生 55 20 75 合计 120 30 150 请根据的独立性检验，能否认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关联? 参考公式：，； 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中，，． 17．（15分） 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 19．（17分） 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C A A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．24 13．3 14． 或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以.（5分） （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以.（10分） （3）令，得：.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由统计数据的表格，可得， 则，， ， 可得， 所以变量关于的相关系很强，且关于正相关，（6分） 又由，， 所以关于的回归直线方程为， 令，可得， 据此预测12月份该校全体学生对劳动课程的满意人数为人. （10分） （2）零假设：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关， 根据表格中的数据，可得， 因为，根据的独立性检验，我们可推断不成立，因此可认为该校学生性别与对劳动课程是否满意有关. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为（5分） （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ；（10分） （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以.（5分） （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分） （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得，（14分） 即，整理得，解得， 所以．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，，（3分） 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为．（7分） （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，，（9分） 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，（14分） （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． （17分） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！