精品解析：湖北省部分高中协作体2025届高三下学期四月联考数学试题

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期四月统考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解 【详解】由题意：， 故选：B 2. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 3. 已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示以及数乘运算解方程组可得结果. 【详解】设，则， 由，解得， 即. 故选：A. 4. 如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 5. 若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案. 【详解】因为数列满足，，所以， 同理可得，所以数列{an}的周期为4，即， 且，而， 所以该数列的前2 025项的乘积是. 故选：C. 6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ） A. 30 B. 20 C. 10 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分取出的两数都是偶数和取出的两数都是奇数两类求解即可. 【详解】从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类， ①取出的两数都是偶数，共有3种取法； ②取出的两数都是奇数，共有3种取法． 故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法． 答案：D 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】∵ ∴，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即. 故选：A. 8. 已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可. 【详解】解：设，则，， 由题知关于x轴对称，关于轴对称， 所以，，即，， 所以， 所以，即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，得到，，推出是以4为周期的函数；根据，以及函数周期，得到，即可得出结果. 【详解】由题知函数的定义域为，因为是偶函数，所以，从而； 因为是偶函数，所以，从而； 于是，，所以是以4为周期的函数. 因为，所以，即，所以是偶函数. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查函数周期性与奇偶性的综合，熟记奇偶性与周期性的定义即可，属于常考题型. 10. 已知直线的方程为为原点，则（ ） A. 若，则点一定不在直线上 B. 若点在直线上，则 C. 直线上存在定点 D. 存在无数个点总不在直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式进行判断. 【详解】到直线的距离为，所以与圆相切， 因此选项A错误，B正确，D正确； 由可得，，若直线存在定点， 则，这样的不存在，因此直线上不存在定点，选项C错误. 故选：BD. 11. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数与的关系判断D. 【详解】由题可得有两个不相等的实数根， 所以，所以，A错误； 根据题意为的两个根，所以，B正确； 因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在单调递增，单调递减，单调递增， 所以成立，C正确； 因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，D正确， 故选:BCD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据等体积法：即可： 详解：由题可得=,故答案为 点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键． 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于，表示出切线方程；设直线与曲线相切于，表示出切线方程.利用两个方程相同建立方程，解出m，进而求出. 【详解】由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 所以，消去s，整理得：，解得：，所以. 所以斜率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数的最小正周期为. （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）若，求取值的集合. 【答案】（1）函数 的单调递减区间为；（2）取值的集合为. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，利用正弦函数的单调性解不等式即可求得函数的单调递减区间；（Ⅱ），即 ，由正弦函数的性质得，化简后，写成集合形式即可. 试题解析：（Ⅰ） ， 因为周期为，所以，故， 由，得， 函数 的单调递减区间为， （Ⅱ），即 ， 由正弦函数得性质得， 解得所以， 则取值的集合为. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 17. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 【答案】（1） 连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH， 所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，， 所以平面AEG∥平面BDH． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，， 因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以， 在△PBC中，， 在△BCH中，， 同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD． 在△BDH中，，， 因为，所以． 18. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 19. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【小问1详解】 解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； 【小问2详解】 解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期四月统考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，化简得（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 3. 已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ） A. 30 B. 20 C. 10 D. 6 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 10. 已知直线的方程为为原点，则（ ） A. 若，则点一定不在直线上 B. 若点在直线上，则 C. 直线上存在定点 D. 存在无数个点总不在直线上 11. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______． 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数的最小正周期为. （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）若，求取值的集合. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 17. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 18. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 19. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $