8.3 实数及其简单运算（第1课时） -【七彩课堂】2024-2025学年新教材七年级数学下册同步教案（人教版2024）

8.3 实数及其简单运算 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类. 2.熟练掌握实数大小的比较方法. 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数. 【过程与方法】 在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神． 【情感态度与价值观】 1.对无理数的探究过程使学生体验数学的发展离不开实践． 2.通过合作学习,培养学生合作交流的意识和探究精神,体会数学在生活中的应用,激发学生爱数学的热情,体会数学的应用价值. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 进一步加深生对无理数概念和数轴的认识． 【教学难点】 对是无限不循环小数的探究过程． 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-4） 毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了． 有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 ． 既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师． 毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言． 希伯斯很不服气．他想，不承认这是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？为了坚持真理，捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去．直到最近几百年，数学家们才弄清楚，它确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，那是什么呢？ （二）探索新知 1.出示课件6-12，探究实数的概念和分类 教师问：请把下列有理数写成小数的形式. 3，- ，，，， 教师依次展示学生答案 学生1答：3=3，-=-0.6 . 学生2答：，0.. 学生3答：=0.1，=0.. 教师总结如下：3=3，-=-0.6 ，，0.，=0.1，=0. 教师问：从上面的题目，你有什么发现？ 学生答：上面的数都是有限小数或无限循环小数. 教师问：上面的数都是有理数，任何有理数都能写成有限小数或无限循环小数吗？ 学生答：任何有理数都能写成有限小数或无限循环小数. 教师问：请用计算器把和写成小数的形式. 学生答：=1.414 213 562 373 095 048 801 68… =1.709 975 946 676 696 989 353 10… 教师问：通过上面的操作，你有什么发现？ 学生答：和写成小数的形式，都是无限不循环小数. 教师问：无限不循环的小数 ----------叫作无理数. 你能举出一些无理数吗？ 学生答：，，-，，，2+1， 0.101 001 000 1…〔两个1之间依次多1个0〕， －168.323 223 222 3…〔两个3之间依次多1个2〕. 教师问：这些数有什么特点？ 教师问：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，根据此你能给实数分类吗？ 师生一起解答： （1）按定义分 ： （2）按性质符号分 ： 出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正. 考点1：实数的分类 将下列各数分别填入下列相应的括号内：（出示课件13） ，，，-， -，-，，,0，, 0.323 223 222 3…（相邻的两个2之间依次多一个0）. 无理数：{ } 有理数：{ } 正实数：{ } 负实数：{ } 解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数． 师生共同讨论解答如下： 解：无理数：{ ，，-，， 0.323 223 222 3…（相邻的两个2之间依次多一个0），…} 有理数：{ ，-，-，,0， ，… } 正实数：{ ， ，， ，,,0.323 223 222 3…（相邻的两个2之间依次多一个0），…} 负实数：{ -， -… } 方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复． 出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件15，探究实数与数轴的关系 教师问：无理数能在数轴上表示出来吗？ 学生答：无理数能在数轴上表示出来. 教师问：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从原点O到达点O ′ ，点O ′对应的数是多少？ 学生答：OO ′的长就是这个圆的周长π，所以点O ′对应的数是π.数轴上的点O ′就表示无理数π. 教师问：你能在数轴上表示出吗？ 学生答：在数轴上表示出如下图所示. 教师问：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？ 学生答：数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.所以将所有有理数都标到数轴上，数轴不能填满. 教师问：如果将所有实数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？ 学生答：将所有实数都标到数轴上，那么数轴能填满. 教师问：数轴上的数如何比较大小呢？ 学生问：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 教师问：数轴上每一点表示什么呢？ 学生答：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 教师问：数轴上的点与实数是什么关系？ 学生答：实数和数轴上的点是一一对应的. 考点2：求数轴上的点表示的实数值 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．（出示课件18） 分析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 学生独立思考后，师生共同解答. 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为-1和， ∴点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离为1+， 设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x， ∴-1-x＝1＋，∴x＝-2-. 总结点拨： 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件20-21，探究实数大小的比较 教师问：与有理数一样，实数也可以比较大小：在数轴上有理数如何比较大小呢？ 学生答：数轴上右边的点表示的有理数比左边的点表示的有理数大. 教师问：观察下面的数轴，在数轴上如何比较实数的大小呢？ 学生答：数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 教师问：如何比较实数的大小呢？ 学生答：与有理数一样，在实数范围内：正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 教师问：不用计算器，与2比较哪个大？与3比较呢？ 师生一起解答：如图所示，，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此＞2.同样，因为5<9，所以＜3. 考点3：比较实数的大小 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用“<”连接它们.（出示课件22） 1 -2 - 学生独立思考后，师生共同解答. 解：-2<- < 1< <. 出示课件23，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧. （三）课堂练习（出示课件24-30） 练习课件第24-30页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件31） 无理数的概念 无限不循环小数 实数的概念 有理数和无理数统称为实数 实数的分类 按定义分； 按性质符号分 实数与数轴的关系 与数轴上的点一一对应 实数的大小比较 （五）课前预习 预习下节课（8.3第2课时）的相关内容. 知道实数的绝对值、相反数的求法及实数的运算方法. 七、课后作业 1、教材第54页练习第1,2，3题. 2、第267页第1，2，3，4，5，6题. 八、板书设计： 1.知识梳理 有理数 实数的分类 实数 无理数 实数与数轴上的点的对应关系 2.考点讲解 考点1 考点2 考点3 九、教学反思： 成功之处：由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度 不足之处：对于分数的概念，需要让学生明白，分数的分子和分母都是有理数，这是需要强调的地方. 学科网（北京）股份有限公司 $$