18 第一阶段 专题三 重点培优练4 子数列与数列新定义问题-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

重点培优练4　子数列与数列新定义问题 1．解决数列中子数列问题的关键是通过阅读，理解题意，要弄清楚子数列有多少项，项有什么特征． 2．解决数列新定义题型的流程：理解“新定义”－－利用“举例”检验是否理解“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法－－类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题． 1．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f (x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f ，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝(　　) A．n2－n 　 B．n2＋n C．3n2－2n 　 D．n2－n 2．(2024·云南昆明期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝当m＝3时，a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(　　) A．170 　 B．168 C．130 　 D．172 3．(多选)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则(　　) A．Mn＝ ＝a3a5 C．a1＋a2＋…＋an＝2－22-n D．M1＋M2＋…＋Mn< 4．(多选)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi∈Z．记an＝xn＋yn，如A1(0，0)，即a1＝0，A2(1，0)，即a2＝1，A3(1，－1)，即a3＝0，…，以此类推．设数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．a2 023＝43 　 B．S2 023＝－87 C．a8n＝2n 　 D．S4n2＋5n＋1＝ 5．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij，例如a32＝9，若aij＝2 025，则i＋j＝________． 6．(2024·福建福州模拟)已知数列{an}的前n项积为bn，且＋＝1． (1)证明：{bn}是等差数列； (2)从{bn}中依次取出第1项，第2项，第4项，…，第2n-1项，按原来顺序组成一个新数列{cn}，求数列{n(cn－1)}的前n项和． 7．(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列． (1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若{bn}是公差为2的等差数列，求an． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 1．解决数列中子数列问题的关键是通过阅读，理解题意，要弄清楚子数列有多少项，项有什么特征． 2．解决数列新定义题型的流程：理解“新定义”－－利用“举例”检验是否理解“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法－－类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题． 1．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f (x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f ，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝(　　) A．n2－n 　 B．n2＋n C．3n2－2n 　 D．n2－n A　[由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2(k∈N*)时，均有an＝f ＝＝k， 故可得S3n＝0＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1)＋n＝3××(n－1)＋n＝n2－n.故选A．] 2．(2024·云南昆明期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝当m＝3时，a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(　　) A．170 　 B．168 C．130 　 D．172 D　[依题意，3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1，…， 故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3＋10＋5＋16＋8＝42， 又(60－5)÷3＝18……1，所以a6＋a7＋…＋a60＝18×7＋4＝130． 所以a1＋a2＋…＋a60＝42＋130＝172． 故选D．] 3．(多选)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则(　　) A．Mn＝ ＝a3a5 C．a1＋a2＋…＋an＝2－22-n D．M1＋M2＋…＋Mn< ABD　[显然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝，A正确； 由中位线性质易得an＝an－1，即{an}是等比数列，公比为，因此＝a3a5，B正确； a1＝AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝＝2－21-n，C错误； M1＝×12＝，{an}是等比数列，公比为，则{Mn}也是等比数列，公比是， M1＋M2＋…＋Mn＝＝<，D正确．故选ABD．] 4．(多选)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi∈Z．记an＝xn＋yn，如A1(0，0)，即a1＝0，A2(1，0)，即a2＝1，A3(1，－1)，即a3＝0，…，以此类推．设数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．a2 023＝43 　 B．S2 023＝－87 C．a8n＝2n 　 D．S4n2＋5n＋1＝ BD　[由题意知，点A1(0，0)，S1＝a1＝0， 设Ai＋1(xi＋1，yi＋1)＝Bi(xi，yi)，an＋1＝bn， 设数列{bn}的前n项和为Tn， 则Sn＋1＝Tn，第一圈从点(1，0)到点(1，1)共8个点，由对称性可知S9＝T8＝b1＋b2＋…＋b8＝0； 第二圈从点(2，1)到点(2，2)共16个点，由对称性可知S25－S9＝T24－T8＝b9＋b10＋…＋b24＝0，即S25＝T24＝0， 以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0，即T8×＝T4n2＋4n＝0， 设b2 022在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝＝4k(k＋1)， 由此可知前22圈共有2 024个数，故T2 024＝0， 则T2 022＝T2 024－(b2 024＋b2 023)， b2 024所在点的坐标为(22，22)， 则b2 024＝22＋22＝44，b2 023所在点的坐标为(21，22)，则b2 023＝21＋22＝43，b2 022所在点的坐标为(20，22)，则a2 023＝b2 022＝20＋22＝42，故A错误； S2 023＝T2 022＝T2 024－(b2 024＋b2 023)＝0－(44＋43)＝－87，故B正确； 当n＝1时，a8所在点的坐标为(0，1)，则a8＝0＋1＝1≠2，故C错误； S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝T4n2＋5n－T4n2＋4n＝b4n2＋4n＋1＋b4n2＋4n＋2＋…＋b4n2＋5n，对应点的坐标为(n＋1，n)，(n＋1，n－1)，…，(n＋1，1)， 所以S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝(n＋1＋n)＋(n＋1＋n－1)＋…＋(n＋1＋1)＝(2n＋1)＋2n＋…＋(n＋2)＝＝，故D正确．故选BD．] 5．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij，例如a32＝9，若aij＝2 025，则i＋j＝________． 68　[每行最后一个数的排列为1，5，11，19，29，…， 第n行最后一个数的通项公式为an＝n(n＋1)－1， 其中a44＝44×45－1＝1 979<2 025，a45＝45×46－1＝2 069>2 025， 所以2 025位于第45行，且(2 025－1 979)÷2＝23， 所以2 025位于第45行，第23列，所以i＝45，j＝23，i＋j＝45＋23＝68．] 6．(2024·福建福州模拟)已知数列{an}的前n项积为bn，且＋＝1． (1)证明：{bn}是等差数列； (2)从{bn}中依次取出第1项，第2项，第4项，…，第2n-1项，按原来顺序组成一个新数列{cn}，求数列{n(cn－1)}的前n项和． [解]　(1)证明：因为数列{an}的前n项积为bn，所以an＝． 又因为＋＝1，所以＋＝1， 化简可得bn－bn－1＝2， 当n＝1时，＋＝1， 解得b1＝3， 所以{bn}是首项为3，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以cn＝＝2·2n-1＋1＝2n＋1， 故n(cn－1)＝n·2n． 令数列{n(cn－1)}的前n项和为Tn， 则Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，② ①－②可得－Tn＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n－n·2n+1， 化简可得Tn＝2＋(n－1)·2n+1， 所以数列{n(cn－1)}的前n项和Tn＝2＋(n－1)·2n+1． 7．(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列． (1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若{bn}是公差为2的等差数列，求an． [解]　(1)由题意知＝，因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4， 因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝＝(4n－1)． (2)因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1，所以＝＝， 所以＝，＝，…，＝， 所以＝， 因为a1＝1， 所以an＝(4n2－1)． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一阶段　突破核心　升华思维 专题三　数列 重点培优练4　 子数列与数列新定义问题 1．解决数列中子数列问题的关键是通过阅读，理解题意，要弄清楚子数列有多少项，项有什么特征． 2．解决数列新定义题型的流程：理解“新定义” ——利用“举例”检验是否理解“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法——类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题． 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 真题感悟 明确考向 2 4 3 题号 1 5 1．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f (x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f ，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝(　　) A．n2－n 　 B．n2＋n C．3n2－2n 　 D．n2－n 6 7 √ 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 真题感悟 明确考向 2 4 3 题号 1 5 A　[由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2(k∈N*)时，均有an＝f ＝＝k， 故可得S3n＝0＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1)＋n＝3××(n－1)＋n＝n2－n.故选A．] 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 √ 2 4 3 题号 1 5 6 7 2．(2024·云南昆明期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝当m＝3时，a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(　　) A．170 　B．168 　C．130 　D．172 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 D　[依题意，3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1，…， 故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3＋10＋5＋16＋8＝42， 又(60－5)÷3＝18……1，所以a6＋a7＋…＋a60＝18×7＋4＝130． 所以a1＋a2＋…＋a60＝42＋130＝172． 故选D．] 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 3．(多选)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则(　　) A．Mn＝ B． ＝a3a5 C．a1＋a2＋…＋an＝2－22-n D．M1＋M2＋…＋Mn< √ 2 4 3 题号 1 5 6 7 √ √ 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 ABD　[显然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝，A正确； 由中位线性质易得an＝an－1，即{an}是等比数列，公比为，因此＝a3a5，B正确； a1＝AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝＝2－21-n，C错误； M1＝×12＝，{an}是等比数列，公比为，则{Mn}也是等比数列，公比是，M1＋M2＋…＋Mn＝＝<，D正确．故选ABD．] 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 4．(多选)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi∈Z．记an＝xn＋yn，如A1(0，0)，即a1＝0，A2(1，0)，即a2＝1，A3(1，－1)，即a3＝0，…，以此类推．设数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．a2 023＝43 　 B．S2 023＝－87 C．a8n＝2n 　 D．S4n2＋5n＋1＝ √ 2 4 3 题号 1 5 6 7 √ 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 BD　[由题意知，点A1(0，0)，S1＝a1＝0， 设Ai＋1(xi＋1，yi＋1)＝Bi(xi，yi)，an＋1＝bn， 设数列{bn}的前n项和为Tn， 则Sn＋1＝Tn，第一圈从点(1，0)到点(1，1)共8个点，由对称性可知S9＝T8＝b1＋b2＋…＋b8＝0； 第二圈从点(2，1)到点(2，2)共16个点，由对称性可知S25－S9＝T24－T8＝b9＋b10＋…＋b24＝0，即S25＝T24＝0，以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0，即＝T4n2＋4n＝0， 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 设b2 022在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝＝4k(k＋1)， 由此可知前22圈共有2 024个数，故T2 024＝0， 则T2 022＝T2 024－(b2 024＋b2 023)， b2 024所在点的坐标为(22，22)， 则b2 024＝22＋22＝44，b2 023所在点的坐标为(21，22)，则b2 023＝21＋22＝43，b2 022所在点的坐标为(20，22)，则a2 023＝b2 022＝20＋22＝42，故A错误； S2 023＝T2 022＝T2 024－(b2 024＋b2 023)＝0－(44＋43)＝－87，故B正确； 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 当n＝1时，a8所在点的坐标为(0，1)，则a8＝0＋1＝1≠2，故C错误； S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝T4n2＋5n－T4n2＋4n＝b4n2＋4n＋1＋b4n2＋4n＋2＋…＋b4n2＋5n，对应点的坐标为(n＋1，n)，(n＋1，n－1)，…，(n＋1，1)，所以S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝(n＋1＋n)＋(n＋1＋n－1)＋…＋(n＋1＋1)＝(2n＋1)＋2n＋…＋(n＋2)＝＝，故D正确．故选BD．] 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 5．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij，例如a32＝9，若aij＝2 025，则i＋j＝________． 2 4 3 题号 1 5 6 7 68　 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 68　[每行最后一个数的排列为1，5，11，19，29，…， 第n行最后一个数的通项公式为an＝n(n＋1)－1， 其中a44＝44×45－1＝1 979<2 025，a45＝45×46－1＝2 069>2 025， 所以2 025位于第45行，且(2 025－1 979)÷2＝23， 所以2 025位于第45行，第23列，所以i＝45，j＝23，i＋j＝45＋23＝68．] 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 6．(2024·福建福州模拟)已知数列{an}的前n项积为bn，且＋＝1． (1)证明：{bn}是等差数列； (2)从{bn}中依次取出第1项，第2项，第4项，…，第2n-1项，按原来顺序组成一个新数列{cn}，求数列{n(cn－1)}的前n项和． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 [解]　(1)证明：因为数列{an}的前n项积为bn，所以an＝． 又因为＋＝1，所以＋＝1， 化简可得bn－bn－1＝2， 当n＝1时，＋＝1， 解得b1＝3， 所以{bn}是首项为3，公差为2的等差数列． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 (2)由(1)可得bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以cn＝＝2·2n-1＋1＝2n＋1， 故n(cn－1)＝n·2n． 令数列{n(cn－1)}的前n项和为Tn， 则Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，② ①－②可得－Tn＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n－n·2n+1， 化简可得Tn＝2＋(n－1)·2n+1， 所以数列{n(cn－1)}的前n项和Tn＝2＋(n－1)·2n+1． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 7．(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列． (1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若{bn}是公差为2的等差数列，求an． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 [解]　(1)由题意知＝，因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4， 因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝＝(4n－1)． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 (2)因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1，所以＝＝， 所以＝，＝，…，＝， 所以＝， 因为a1＝1， 所以an＝(4n2－1)． 2 4 3 题号 1 5 6 7 重点培优练4　子数列与数列新定义问题 THANK YOU 00000 $$