10 第一阶段 专题二 重点培优练1 平面向量中的最值与范围-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

第一阶段　突破核心　升华思维 专题二　三角函数与解三角形 重点培优练1　 平面向量中的最值与范围 平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用. 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 2 1．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为(　　) A．(4，＋∞) B． C． D．∪(4，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ D　[因为a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向，即t－1＋3t>0，即t>，由a，b共线得2t－2＝t，得t＝4，故t的取值范围为∪(4，＋∞)． 故选D．] 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．9　　 B．3　　 C．　　 D．10 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ C　[根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1， 得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10， 所以|a|≤，即|a|的最大值为．故选C．] 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 3．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4 　B．6 　C．8 　D．9 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ C　[由题意得，＝＝(a－1，1)，＝＝(－b－1，2)， ∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R， 则可得2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为8．] 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 4．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则的最大值为(　　) A．2 　B． 　C．3 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ C　[如图，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，则由题知，QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，所以QD＝ ＝＝＝， 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 由图可知当点P运动到D或E时PQ最大， 所以＝()·()＝()·()＝－＝－≤－＝3， 所以的最大值为3.故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 5．(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则＋的最小值为(　　)  A．1 　 B．2 C．4 　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 A　[因为G是AD的中点，且＝x＝y， 所以＝×()＝(x＋y)． 因为M，G，N三点共线，所以(x＋y)＝1， 所以＋＝(x＋y)·＝≥＝1， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 6．(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝(　　) A． 　B． C． 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ B　[如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由AB＝AC＝2，BC＝2，则OA＝＝1， 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，0)， 则＝(－x，1)，＝(－－x，0)， 则＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－， 当x＝－时，取得最小值，此时＝，PA＝＝． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 7．(2024·河南濮阳模拟)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则的取值范围是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 [0，2]　[＝||·||·cos ∠AOP， 即等于||与在方向上的投影的乘积， ||＝2，结合图形可知0≤||·cos ∠AOP≤1， 所以的取值范围为[0，2]．] [0，2]　 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 8．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为__________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 [3－2，3＋2]　[由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1， 又因为|PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝，所以|PM| ∈[－1，＋1]，则∈[3－2，3＋2]．] [3－2，3＋2]　 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 THANK YOU 00000 $$ 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用. 1．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为(　　) A．(4，＋∞) 　 B． C． 　 D．∪(4，＋∞) D　[因为a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向，即t－1＋3t>0，即t>， 由a，b共线得2t－2＝t，得t＝4，故t的取值范围为∪(4，＋∞)． 故选D．] 2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．9　　 B．3　　 C．　　 D．10 C　[根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1， 得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10， 所以|a|≤，即|a|的最大值为．故选C．] 3．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4 　 B．6 C．8 　 D．9 C　[由题意得，＝＝(a－1，1)， ＝＝(－b－1，2)， ∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R， 则可得2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当b＝2a＝时，等号成立， ∴＋的最小值为8．] 4．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　) A．2 　 B． C．3 　 D． C　[如图，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR， 则由题知，QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，所以QD＝＝＝＝， 由图可知当点P运动到D或E时PQ最大， 所以·＝()·()＝()·()＝－＝－≤－＝3， 所以·的最大值为3.故选C．] 5．(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则＋的最小值为(　　) A．1 　 B．2 C．4 　 D． A　[因为G是AD的中点，且＝x＝y， 所以＝×()＝(x＋y)． 因为M，G，N三点共线，所以(x＋y)＝1， 所以＋＝(x＋y)·＝≥＝1， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 故选A．] 6．(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当·取得最小值时，PA＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 由AB＝AC＝2，BC＝2，则OA＝＝1， 所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，0)， 则＝(－x，1)，＝(－－x，0)， 则·＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－， 当x＝－时，·取得最小值，此时＝，PA＝＝． 故选B．] 7．(2024·河南濮阳模拟)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是________． [0，2]　[·＝||·||·cos ∠AOP， 即·等于||与在方向上的投影的乘积， ||＝2，结合图形可知0≤||·cos ∠AOP≤1， 所以·的取值范围为[0，2]．] 8．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围为________． [3－2，3＋2]　[由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M， 则·＝()·()＝·＝||2－||2＝||2－1，又因为|PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝，所以|PM|∈[－1，＋1]，则·∈[3－2，3＋2]．] 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点培优练1　平面向量中的最值与范围 平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用. 1．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为(　　) A．(4，＋∞) 　 B． C． 　 D．∪(4，＋∞) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．9　　 B．3　　 C．　　 D．10 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4 　 B．6 C．8 　 D．9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　) A．2 　 B． C．3 　 D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则＋的最小值为(　　) A．1 　 B．2 C．4 　 D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当·取得最小值时，PA＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7．(2024·河南濮阳模拟)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$