09 第一阶段 专题二 §4 解三角形中的高线、中线、角平分线问题-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

§4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【备考指南】　三角形中的三线(高线、中线、角平分线)可以较好的考查学生对几何图形的认知、数形结合意识，是高考命题的热点之一，难度中等．求解此类问题务必注意转化与化归思想的应用． 基础考点1　高线问题 【典例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C， 所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sin A＞0， 所以sin A＝． (2)由正弦定理， 得BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2． 由(1)得，tan A＝3＞， 所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞， 即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2． 设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C， 即5h＝2×3×， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6． 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 易得cos A cos C≠0， 所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A＞0， 所以sin A＝． (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin (cos A＋sin A)＝， 由正弦定理， 得AC＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6． 1．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． 2．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c． (1)求A的大小； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长． 条件①：cos B＝，b＝1；条件②：a＝3，c＝条件③：b＝3，c＝． [解]　(1)在△ABC中，因为a cos B＋b＝c， 由正弦定理得sin A cos B＋sin B＝sin C， 所以sin A cos B＋sin B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，即sin B＝sin B cos A， 又因为A，B∈(0，π)，sin B≠0， 所以cos A＝，A＝． (2)设BC边上的高为h． 若选条件①：因为cos B＝，所以B∈，sin B＝， 所以0<A＋B<π，所以△ABC存在且唯一确定． 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 则ha＝ab sin C，解得h＝，即BC边上的高为． 若选条件②：由余弦定理的推论得cos A＝， 即＝，解得b＝3±，此时满足条件的△ABC有两个，条件②不符合题意． 若选条件③：根据条件可得△ABC存在且唯一确定，由余弦定理的推论得cos A＝， 即＝，解得a＝(舍负)， 则ha＝bc sin A，解得h＝， 即BC边上的高为． 【教师备选资源】 1．(2024·陕西西安模拟)在△ABC中，tan A＝，AB＝3，AC＝4，则点A到边BC的距离为(　　) A．　 B． C．　 D． A　[在△ABC中，由tan A＝， 所以 解得sin A＝，cos A＝． 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝9，故BC＝3． 设点A到边BC的距离为d，由三角形面积公式得AB·AC sin A＝·BC·d，故d＝．故选A．] 2．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，AD是BC边上的高线，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ D　[由题意BC＝＝，根据射影定理，BD·BC＝AB2，BD＝＝＝， ∴＝，∴＋＋＝＋． 故选D．] 基础考点2　中线问题 【典例2】　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1． (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×， 解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4． 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝． 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝． 在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝1＋4－2＝3， 所以b＝． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos B＝， 所以sin B＝＝， 所以tan B＝． (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得 ， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠BAC＝， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC ＝bc＝bc ＝＝， 解得bc＝4． 则由解得b＝c＝2． 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则， 所以(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bc cos A)， ∴bc cos A＝－2，① S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2，② 由①②解得tan A＝－，∴A＝， ∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2． 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2， 又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8， 则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12． 又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2， 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得12＝8－2bc cos A，所以bc cos A＝－2， 故tan A＝－⇒cos A＝－，所以bc＝4， 又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2， b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故b＝c＝2． 解答三角形的中线问题的两种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则(b2＋c2＋2bc cos A)． 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，且4cos B＝c－b． (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值． [解]　(1)因为a＝4，且4cos B＝c－b， 故a cos B＝c－b， 所以sin A cos B＝sin C－sin B， 即sin A cos B＝sin (A＋B)－sin B， 所以cos A sin B＝sin B ， 而B∈(0，π)，所以sin B≠0， 故cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)由题意a＝4，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即16＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2－16＝bc≤， 即b2＋c2≤32，当且仅当b＝c＝4 时取等号． 又AD是BC边上的中线，故＝， 所以＝(c2＋b2＋bc)≤(c2＋b2)≤×32＝12，即≤2，所以AD长度的最大值为2． 【教师备选资源】 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； (2)若a＝，＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． [解]　(1)∵cos ＝cos ＝sin ， ∴b sin ＝a sin B， 由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B， ∵sin B≠0，∴sin ＝sin A， ∴sin ＝2sin cos ，∵A∈(0，π)，∈，∴sin ≠0， 得cos ＝，即＝， ∴A＝． (2)∵＝3， ∴bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， ∵AD是△ABC的中线， ∴＝， ∴＝2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝， ∴＝， 即AD的长为． 2．在①(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)； ②2S＝；③b cos C＝a－c sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________． (1)求角B的大小； (2)若AC边上的中线BD＝2，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)若选①，在△ABC中，因为sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， 故由(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)可得(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)， 由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)， 即c2＋a2－b2＝ac，则cos B＝． 又0<B<π，故B＝． 若选②，2S＝， 即ac sin B＝ac cos B， 所以tan B＝，又B∈(0，π)， 所以B＝． 若选③，由b cos C＝a－c sin B及正弦定理得sin B cos C＝sin A－sin C sin B． 又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)－sin C sin B． 即sin C cos B－sin C sin B＝0，因为0<C<π，sin C≠0，所以tan B＝． 又0<B<π，得B＝． 综上所述：选择①②③，都有B＝． (2)因为AC边上的中线BD＝2，所以2⇒42＝c2＋a2＋2ca cos B⇒16＝c2＋a2＋ca≥3ca⇒ca≤． 又S△ABC＝ca≤(当且仅当c＝a＝时取等号)， 所以△ABC面积的最大值为． 基础考点3　角平分线问题 【典例3】　(2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． [解]　(1)因为b cos C＝a＋c sin B， 由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C sin B， 又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)＋sin C sin B，所以sin B cos C＝sin B cos C＋ 即sin C cos B＋sin C sin B＝0， 因为C∈(0，π)，故sin C≠0， 所以cos B＋sin B＝0，即tan B＝－， 又B∈(0，π)，则B＝． (2)由(1)可知，B＝， 又外接圆的半径为2． 由正弦定理可知＝4，所以b＝4sin ＝6， 因为BD是∠ABC的平分线， 故∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝， 又BD＝，由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 可得ac sin ＝a·sin ＋c·sin ， 即ac＝(a＋c)．① 由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2ac cos ， 即(a＋c)2－ac＝36.② 由①②可得a＝c＝2． 所以BD⊥AC， 又因为EC＝2AE，则DE＝1， 所以S△BDE＝×1×＝． 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC． 已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C． (1)求角A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积． [解]　(1)在△ABC中，由正弦定理及2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C， 得b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理的推论得cos A＝＝－， 又0<A<π，所以A＝． (2)因为AD 是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC＝， 由S△ABC＝S△ABD＋S△CAD， 可得bc sin ＝c·AD·sin ＋b·AD·sin ． 因为b＝3，AD＝2，所以c＝6， 故S△ABC＝bc sin A＝×3×6×＝． 【教师备选资源】 1．(2024·广东广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于(　　) A．　 B． C．　 D． A　[设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α，如图所示， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 可得×3×2sin 2α＝×3×sin α＋×2×sin α， 整理得3sin 2α＝2sin α， 即sin α＝0， 又因为sin α≠0，所以cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以sin2α＝＝， 在△ABC中，由余弦定理得a2＝32＋22－2×3×2cos2α＝13－4＝9，所以a＝3． 由AH是BC边上的中线，得 ＝， 所以＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 所以AH＝． 故选A．] 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，B＝，点D是△ABC外一点，AC平分∠BAD，且∠ADC＝，则△BCD的面积的取值范围为________． 　[如图，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2， 所以BC＝2sin ∠BAC， 在△ACD中，＝＝＝2， 所以CD＝2sin ∠DAC， 又AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC， 因为四边形ABCD的内角和为2π，且∠ABC＋∠ADC＝π，易知π－2∠BAC＝∠BCD， 所以S△BCD＝BC·CD sin ∠BCD ＝×2sin ∠BAC×2sin ∠DAC×sin ∠BCD ＝2sin2∠BAC×sin(π－2∠BAC) ＝2sin2∠BAC×sin2∠BAC ＝(1－cos 2∠BAC)sin 2∠BAC， 设2∠BAC＝x，则S△BCD＝(1－cos x)sin x＝sin x－cos x sin x，令f (x)＝sin x－cos x sin x， 则f ′(x)＝cos x－(－sin2x＋cos2x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(－cos x＋1)， 因为在△ACD中，0<∠DAC<， 所以0<2∠BAC<，所以－<cos x<1， 故f ′(x)>0恒成立，又y＝cos x在区间上单调递减， 当cos x＝－，x＝时，f (x)＝， 当cos x＝1，x＝0时，f (x)＝0， 所以0<f (x)<， 所以0<S△BCD<．] 3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，∠ABC＝，AB＝3BC＝3，则sin ∠DAB的值为________． 　[在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝1， 由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC ＝32＋12－2×3×1×＝7，所以AC＝． 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BAC＝＝＝， 所以cos ∠BAC＝． 又因为AC平分∠DAB，所以sin ∠DAB＝2sin ∠BAC cos ∠BAC＝．] 专题限时集训(六)　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 一、单项选择题 1．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA， 则AD＝CA，AB＝＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝， 则在△ABC中，sin B＝sin ＝． 故选B．] 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　) A．49 　 B．7 C． 　 D． D　[因为S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝，故可得b＝5． 根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19， 故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝， 故＝ ＝＝． 即AB边上的中线长为． 故选D．] 3．(教材改编)在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝(　　) A．2 　 B．4 C．2 　 D．6 A　[如图，在△AMC中，cos ∠AMC＝， 在△BCM中，cos ∠BMC＝， ∵∠AMC＋∠BMC＝π， ∴cos ∠AMC＝－cos ∠BMC， 又∵AM＝BM， ∴＝－， 整理可得AC2＋BC2＝2(CM2＋AM2)， 即4＋BC2＝2(7＋AM2)， ∴2AM2＝AB2＝BC2－10， ∴2BC2－20＝AB2． 在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝4＋BC2－2BC， ∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20， 解得BC＝－6(舍)或BC＝4， ∴AB＝＝2． 故选A．] 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为(　　) A． 　 B． C． 　 D．3 D　[因为b＝3，c＝3，B＝30°， 所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 可得9＝a2＋27－2×a×3×， 整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b， 所以a＝6，S△ABC＝ac sin B＝， 所以AC边上的高线的长为＝3． 故选D．] 5．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝(　　) A．2 　 B． C．3 　 D．2 B　[因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°， 即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝AD＝，可得2×AC＝2×＋×AC，则×AC＝4，解得AC＝． 故选B．] 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　) A．3 　 B． C． 　 D．2 C　[如图，在△ABC中，由A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，则C＝， 所以∠ACD＝∠BCD＝， 由CD＝，a＝3b，所以＝＝， 在△ACD和△BCD中，由余弦定理得 AD2＝b2＋3－2b·cos 30°＝b2－3b＋3， DB2＝(3b)2＋3－2·3b·cos 30°＝9b2－9b＋3， 故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)， 解得b＝，故a＝4． 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即c2＝16＋－2×4××＝，故c＝．] 二、多项选择题 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若BC边上的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　) A．A＝ 　 B．A＝ C．＝6　 D．△ABC的面积为3 ACD　[由(2b－c)cos A＝a cos C， 得2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C， 得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A ＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 因此2cos A＝1，得cos A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确； 因为AD是BC边上的中线，所以由＝， 得4， 得36＝c2＋12＋2×2×c， 得c＝2或c＝－4(舍去)， 因此＝2×2×＝6，C正确； S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确．故选ACD．] 8．(2024·山东淄博模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列结论正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形 B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是 D．若∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则4a＋c的最小值为9 BCD　[选项A，因为a cos A＝b cos B， 即＝，所以a2， 整理可得(a2－b2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，所以>A>－B>0， 由正弦函数y＝sin x在上单调递增， 则sin A>sin ＝cos B，故B正确； 选项C，如图，若△ABC有两解，则a sin B<b<a，所以3<b<2，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，BD＝1，得ac sin 120°＝a sin 60°＋c sin 60°， 即ac＝a＋c，得＋＝1，得4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a＝3时，取等号，故D正确． 故选BCD．] 三、填空题 9．在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的取值范围是________． [2，)　[设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4， 因为sin B＋sin C＝2sin A， 由正弦定理 得b＋c＝2a＝8， 所以c＝8－b， 因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理， 可得 则 解得3<b<5． 由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16， 得15<bc≤16． 由＝， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝， 结合bc的范围， 代入得|的取值范围为[，)．] 10．在△ABC中，AB>AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6，则sin B＝________，∠BAC的平分线AM的长等于________． 　　[∵BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6＝AB·AC·sin A＝AB· ∴AB·AC＝24，① 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 可得28＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC＝(AB＋AC)2－3×24， ∴AB＋AC＝10，② ∴由①②联立解得 (由于AB>AC，舍去)或 ∴cos B＝＝＝，可得sin B＝＝． ∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC＝30°， ∴S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 即S△ABC＝AB·AM sin∠BAM＋AC·AM sin ∠CAM， 即6＝×6×AM×＋×4×AM×，解得AM＝．] 四、解答题 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2b cos B，C＝． (1)求B； (2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；③△ABC的面积为． [解]　(1)依题意c＝2b cos B，C＝，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin 2B＝，由于0<B<，0<2B<，所以2B＝，B＝． (2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①． 如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线． 若选②，由(1)知A＝， 设BC＝AC＝2x，由C＝， 得cos ＝， 则AB＝2x， 故周长为x＝4＋2，解得x＝1． 从而BC＝AC＝2，AB＝2． 则在△ABD中， 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝， 解得AD＝．因此BC边上的中线长为． 若选③，由(1)知A＝B＝，因为S△ABC＝， 得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝， 在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××＝， ∴AD＝．因此BC边上的中线长为． 12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B． (1)求C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． [解]　(1)由已知A＋B＋C＝π，所以b sin ＝b sin ＝b cos ， 所以b cos ＝c sin B，由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)，则sin B≠0，0<<，cos ≠0， 所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，所以sin ＝，所以＝，则C＝． (2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，得ab＝4c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号， 此时△ABC面积的最小值为4． 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(六) 1．B　[如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA， 则AD＝CA，AB＝＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝， 则在△ABC中，sin B＝sin ＝． 故选B．] 2．D　[因为S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝，故可得b＝5． 根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19， 故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝， 故＝ ＝＝． 即AB边上的中线长为． 故选D．] 3．A　[如图，在△AMC中，cos ∠AMC＝， 在△BCM中，cos ∠BMC＝， ∵∠AMC＋∠BMC＝π， ∴cos ∠AMC＝－cos ∠BMC， 又∵AM＝BM， ∴＝－， 整理可得AC2＋BC2＝2(CM2＋AM2)， 即4＋BC2＝2(7＋AM2)， ∴2AM2＝AB2＝BC2－10， ∴2BC2－20＝AB2． 在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝4＋BC2－2BC， ∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20， 解得BC＝－6(舍)或BC＝4， ∴AB＝＝2． 故选A．] 4．D　[因为b＝3，c＝3，B＝30°， 所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 可得9＝a2＋27－2×a×3×， 整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b， 所以a＝6，S△ABC＝ac sin B＝， 所以AC边上的高线的长为＝3． 故选D．] 5．B　[因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°， 即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝AD＝，可得2×AC＝2×＋×AC，则×AC＝4，解得AC＝． 故选B．] 6．C　[如图，在△ABC中，由A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，则C＝， 所以∠ACD＝∠BCD＝， 由CD＝，a＝3b，所以＝＝， 在△ACD和△BCD中，由余弦定理得 AD2＝b2＋3－2b·cos 30°＝b2－3b＋3， DB2＝(3b)2＋3－2·3b·cos 30°＝9b2－9b＋3， 故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)， 解得b＝，故a＝4． 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即c2＝16＋－2×4××＝，故c＝．] 7．ACD　[由(2b－c)cos A＝a cos C， 得2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C， 得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A ＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 因此2cos A＝1，得cos A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确； 因为AD是BC边上的中线，所以由＝， 得4， 得36＝c2＋12＋2×2×c， 得c＝2或c＝－4(舍去)， 因此＝2×2×＝6，C正确； S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确．故选ACD．] 8．BCD　[选项A，因为a cos A＝b cos B， 即＝，所以a2， 整理可得(a2－b2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，所以>A>－B>0， 由正弦函数y＝sin x在上单调递增， 则sin A>sin ＝cos B，故B正确； 选项C，如图，若△ABC有两解，则a sin B<b<a，所以3<b<2，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，BD＝1，得ac sin 120°＝a sin 60°＋c sin 60°， 即ac＝a＋c，得＋＝1，得4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a＝3时，取等号，故D正确． 故选BCD．] 9．[2，)　[设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4， 因为sin B＋sin C＝2sin A， 由正弦定理 得b＋c＝2a＝8， 所以c＝8－b， 因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理， 可得 则 解得3<b<5． 由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16， 得15<bc≤16． 由＝， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝， 结合bc的范围， 代入得|的取值范围为[，)．] 10．　　[∵BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6＝AB·AC·sin A＝AB· ∴AB·AC＝24，① 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 可得28＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC＝(AB＋AC)2－3×24， ∴AB＋AC＝10，② ∴由①②联立解得 (由于AB>AC，舍去)或 ∴cos B＝＝＝，可得sin B＝＝． ∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC＝30°， ∴S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 即S△ABC＝AB·AM sin∠BAM＋AC·AM sin ∠CAM， 即6＝×6×AM×＋×4×AM×，解得AM＝．] 11．解：(1)依题意c＝2b cos B，C＝，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin 2B＝，由于0<B<，0<2B<，所以2B＝，B＝． (2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①． 如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线． 若选②，由(1)知A＝， 设BC＝AC＝2x，由C＝， 得cos ＝， 则AB＝2x， 故周长为x＝4＋2，解得x＝1． 从而BC＝AC＝2，AB＝2． 则在△ABD中， 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝， 解得AD＝．因此BC边上的中线长为． 若选③，由(1)知A＝B＝，因为S△ABC＝， 得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝， 在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××＝， ∴AD＝．因此BC边上的中线长为． 12．解：(1)由已知A＋B＋C＝π，所以b sin ＝b sin ＝b cos ， 所以b cos ＝c sin B，由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)，则sin B≠0，0<<，cos ≠0， 所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，所以sin ＝，所以＝，则C＝． (2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，得ab＝4c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号， 此时△ABC面积的最小值为4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一阶段　突破核心　升华思维 专题二　三角函数与解三角形 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【备考指南】　三角形中的三线(高线、中线、角平分线)可以较好的考查学生对几何图形的认知、数形结合意识，是高考命题的热点之一，难度中等．求解此类问题务必注意转化与化归思想的应用． 2 　基础考点1　高线问题 （一） 　基础考点2　中线问题 （二） 　基础考点3　角平分线问题 （三） 　专题限时集训(六)　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 （四） §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 基础考点1　高线问题 【典例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C， 2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sin A＞0， 所以sin A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)由正弦定理， 得BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞， 即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2． 设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C， 即5h＝2×3×， 解得h＝6，所以AB边上的高为6． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 易得cos A cos C≠0，所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A＞0，所以sin A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin (cos A＋sin A)＝，由正弦定理，得AC＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 1．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． 2．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c． (1)求A的大小； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长． 条件①：cos B＝，b＝1；条件②：a＝3，c＝条件③：b＝3，c＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)在△ABC中，因为a cos B＋b＝c， 由正弦定理得sin A cos B＋sin B＝sin C， 所以sin A cos B＋sin B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，即sin B＝sin B cos A， 又因为A，B∈(0，π)，sin B≠0， 所以cos A＝，A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)设BC边上的高为h． 若选条件①：因为cos B＝，所以B∈，sin B＝， 所以0<A＋B<π，所以△ABC存在且唯一确定． 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 则ha＝ab sin C，解得h＝，即BC边上的高为． 若选条件②：由余弦定理的推论得cos A＝， 即＝，解得b＝3±，此时满足条件的△ABC有两个，条件②不符合题意． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 若选条件③：根据条件可得△ABC存在且唯一确定，由余弦定理的推论得cos A＝， 即＝，解得a＝(舍负)， 则ha＝bc sin A，解得h＝， 即BC边上的高为． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【教师备选资源】 1．(2024·陕西西安模拟)在△ABC中，tan A＝，AB＝3，AC＝4，则点A到边BC的距离为(　　) A．　 B． C．　 D． √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 A　[在△ABC中，由tan A＝，所以 解得sin A＝，cos A＝． 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝9，故BC＝3． 设点A到边BC的距离为d，由三角形面积公式得AB·AC sin A＝·BC·d，故d＝．故选A．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 2．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，AD是BC边上的高线，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 D　[由题意BC＝＝，根据射影定理，BD·BC＝AB2，BD＝＝＝， ∴＝，∴＋＋＝＋． 故选D．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 基础考点2　中线问题 【典例2】　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1． (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×，解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4． 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝． 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝1＋4－2＝3， 所以b＝． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos B＝，所以sin B＝＝， 所以tan B＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得 ， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠BAC＝，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC ＝bc＝bc ＝＝， 解得bc＝4． 则由解得b＝c＝2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则， 所以(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bc cos A)， ∴bc cos A＝－2，① S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2，② 由①②解得tan A＝－，∴A＝， ∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2， 又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8， 则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12． 又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2， 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得12＝8－2bc cos A，所以bc cos A＝－2， 故tan A＝－⇒cos A＝－，所以bc＝4， 又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2， b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故b＝c＝2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 解答三角形的中线问题的两种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则(b2＋c2＋2bc cos A)． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，且4cos B＝c－b． (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)因为a＝4，且4cos B＝c－b， 故a cos B＝c－b， 所以sin A cos B＝sin C－sin B， 即sin A cos B＝sin (A＋B)－sin B， 所以cos A sin B＝sin B ， 而B∈(0，π)，所以sin B≠0， 故cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)由题意a＝4，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即16＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2－16＝bc≤， 即b2＋c2≤32，当且仅当b＝c＝4 时取等号． 又AD是BC边上的中线，故＝， 所以＝(c2＋b2＋bc)≤(c2＋b2)≤×32＝12，即≤2，所以AD长度的最大值为2． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【教师备选资源】 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； (2)若a＝，＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)∵cos ＝cos ＝sin ， ∴b sin ＝a sin B， 由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B， ∵sin B≠0，∴sin ＝sin A， ∴sin ＝2sin cos ，∵A∈(0，π)，∈，∴sin ≠0， 得cos ＝，即＝，∴A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)∵＝3， ∴bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， ∵AD是△ABC的中线， ∴＝， ∴＝2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝， ∴＝，即AD的长为． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 2．在①(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)； ②2S＝；③b cos C＝a－c sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______． (1)求角B的大小； (2)若AC边上的中线BD＝2，求△ABC面积的最大值． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)若选①，在△ABC中，因为sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， 故由(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)可得(a－c)sin C＝(a－b) (sin A＋sin B)，由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)， 即c2＋a2－b2＝ac，则cos B＝． 又0<B<π，故B＝． 若选②，2S＝，即ac sin B＝ac cos B， 所以tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 若选③，由b cos C＝a－c sin B及正弦定理得sin B cos C＝sin A－sin C sin B． 又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)－sin C sin B． 即sin C cos B－sin C sin B＝0，因为0<C<π，sin C≠0，所以tan B＝． 又0<B<π，得B＝． 综上所述：选择①②③，都有B＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)因为AC边上的中线BD＝2，所以2⇒42＝c2＋a2＋2ca cos B⇒16＝c2＋a2＋ca≥3ca⇒ca≤． 又S△ABC＝ca≤(当且仅当c＝a＝时取等号)， 所以△ABC面积的最大值为． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【典例3】　(2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． 基础考点3　角平分线问题 [解]　(1)因为b cos C＝a＋c sin B， 由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C sin B， 又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)＋sin C sin B，所以sin B cos C＝sin B cos C＋ 即sin C cos B＋sin C sin B＝0，因为C∈(0，π)，故sin C≠0， 所以cos B＋sin B＝0，即tan B＝－，又B∈(0，π)，则B＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)由(1)可知，B＝， 又外接圆的半径为2． 由正弦定理可知＝4，所以b＝4sin ＝6， 因为BD是∠ABC的平分线， 故∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝， 又BD＝，由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 可得ac sin ＝a·sin ＋c·sin ， 即ac＝(a＋c)．① 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2ac cos ， 即(a＋c)2－ac＝36.② 由①②可得a＝c＝2． 所以BD⊥AC， 又因为EC＝2AE，则DE＝1， 所以S△BDE＝×1×＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C． (1)求角A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)在△ABC中，由正弦定理及2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C， 得b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理的推论得cos A＝＝－， 又0<A<π，所以A＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 (2)因为AD 是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC＝， 由S△ABC＝S△ABD＋S△CAD， 可得bc sin ＝c·AD·sin ＋b·AD·sin ． 因为b＝3，AD＝2，所以c＝6， 故S△ABC＝bc sin A＝×3×6×＝． 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【教师备选资源】 1．(2024·广东广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于(　　) A．　 B． C．　 D． √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 A　[设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α，如图所示， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 可得×3×2sin 2α＝×3×sin α＋×2×sin α， 整理得3sin 2α＝2sin α，即sin α＝0， 又因为sin α≠0，所以cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以sin2α＝＝， 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 在△ABC中，由余弦定理得a2＝32＋22－2×3×2cos2α＝13－4＝9，所以a＝3． 由AH是BC边上的中线，得＝， 所以＝＝ ＝＝＝． 所以AH＝． 故选A．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，B＝，点D是△ABC外一点，AC平分∠BAD，且∠ADC＝，则△BCD的面积的取值范围为__________． 　[如图，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，所以BC＝2sin ∠BAC， 在△ACD中，＝＝＝2， 所以CD＝2sin ∠DAC， 　 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 又AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC， 因为四边形ABCD的内角和为2π，且∠ABC＋∠ADC＝π，易知π－2∠BAC＝∠BCD， 所以S△BCD＝BC·CD sin ∠BCD ＝×2sin ∠BAC×2sin ∠DAC×sin ∠BCD ＝2sin2∠BAC×sin(π－2∠BAC) ＝2sin2∠BAC×sin2∠BAC ＝(1－cos 2∠BAC)sin 2∠BAC， 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 设2∠BAC＝x，则S△BCD＝(1－cos x)sin x＝sin x－cos x sin x，令f (x)＝sin x－cos x sin x， 则f ′(x)＝cos x－(－sin2x＋cos2x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1) (－cos x＋1)， 因为在△ACD中，0<∠DAC<， 所以0<2∠BAC<，所以－<cos x<1， 故f ′(x)>0恒成立，又y＝cos x在区间上单调递减， 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 当cos x＝－，x＝时，f (x)＝， 当cos x＝1，x＝0时，f (x)＝0， 所以0<f (x)<， 所以0<S△BCD<．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，∠ABC＝，AB＝3BC＝3，则sin ∠DAB的值为________． 　[在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝1， 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC ＝32＋12－2×3×1×＝7，所以AC＝． 　 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BAC＝＝＝， 所以cos ∠BAC＝． 又因为AC平分∠DAB，所以sin ∠DAB＝2sin ∠BAC cos ∠BAC＝．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 一、单项选择题 1．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝(　　) A． 　B． C． 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 专题限时集训(六)　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 B　[如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA，  则AD＝CA，AB＝＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝， 则在△ABC中，sin B＝sin ＝． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　) A．49 　 B．7 C． 　 D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 D　[因为S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝，故可得b＝5． 根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19， 故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝， 故＝ ＝＝． 即AB边上的中线长为．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 3．(教材改编)在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝(　　) A．2 　B．4 C．2 　D．6 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[如图，在△AMC中，cos ∠AMC＝， 在△BCM中，cos ∠BMC＝， ∵∠AMC＋∠BMC＝π， ∴cos ∠AMC＝－cos ∠BMC， 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 又∵AM＝BM，∴＝－， 整理可得AC2＋BC2＝2(CM2＋AM2)，即4＋BC2＝2(7＋AM2)， ∴2AM2＝AB2＝BC2－10，∴2BC2－20＝AB2． 在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝4＋BC2－2BC， ∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20，解得BC＝－6(舍)或BC＝4， ∴AB＝＝2． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为(　　) A． 　B． 　C． 　D．3 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[因为b＝3，c＝3，B＝30°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得9＝a2＋27－2×a×3×，整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，所以a＝6，S△ABC＝ac sin B＝，所以AC边上的高线的长为＝3．故选D．] 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 5．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝(　　) A．2 　B． 　C．3 　D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°，即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝AD＝，可得2×AC＝2×＋×AC，则×AC＝4，解得AC＝．故选B．] √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　) A．3 　 B． C． 　 D．2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 C　[如图，在△ABC中，由A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，则C＝，所以∠ACD＝∠BCD＝，由CD＝，a＝3b，所以＝＝，在△ACD和△BCD中，由余弦定理得 AD2＝b2＋3－2b·cos 30°＝b2－3b＋3， DB2＝(3b)2＋3－2·3b·cos 30°＝9b2－9b＋3， 故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，解得b＝，故a＝4． 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即c2＝16＋－2×4××＝，故c＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 二、多项选择题 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A ＝a cos C，b＝2，若BC边上的中线AD＝3，则下列结论正确的有 (　　) A．A＝ 　 B．A＝ C．＝6　 D．△ABC的面积为3 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 ACD　[由(2b－c)cos A＝a cos C， 得2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C， 得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A ＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 因此2cos A＝1，得cos A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 因为AD是BC边上的中线，所以由＝， 得4， 得36＝c2＋12＋2×2×c， 得c＝2或c＝－4(舍去)， 因此＝2×2×＝6，C正确； S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确．故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 8．(2024·山东淄博模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列结论正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形 B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是 D．若∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则4a＋c的最小值为9 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 BCD　[选项A，因为a cos A＝b cos B， 即＝，所以a2，整理可得(a2－b2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，所以>A>－B>0， 由正弦函数y＝sin x在上单调递增， 则sin A>sin ＝cos B，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 选项C，如图，若△ABC有两解，则a sin B<b<a，所以3<b<2，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，BD＝1，得ac sin 120°＝a sin 60° ＋c sin 60°，即ac＝a＋c，得＋＝1，得4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥＋5＝4＋5＝9， 当且仅当＝，即c＝2a＝3时，取等号，故D正确． 故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 三、填空题 9．在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的取值范围是____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [2，)　[设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4， 因为sin B＋sin C＝2sin A， 由正弦定理 得b＋c＝2a＝8， 所以c＝8－b， [2，)　 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理， 可得 则 解得3<b<5． 由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16， 得15<bc≤16． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 由＝，所以 ＝ ＝ ＝ ＝， 结合bc的范围，代入得|的取值范围为[，)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 10．在△ABC中，AB>AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6，则sin B＝______，∠BAC的平分线AM的长等于_______． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　　[∵BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6＝AB·AC·sin A＝AB·∴AB·AC＝24，① 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 可得28＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC＝(AB＋AC)2－3×24，∴AB＋AC＝10，② 　 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 ∴由①②联立解得 (由于AB>AC，舍去)或 ∴cos B＝＝＝，可得sin B＝＝． ∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC＝30°， ∴S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 即S△ABC＝AB·AM sin∠BAM＋AC·AM sin ∠CAM， 即6＝×6×AM×＋×4×AM×，解得AM＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 四、解答题 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝ 2b cos B，C＝． (1)求B； (2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；③△ABC的面积为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)依题意c＝2b cos B，C＝，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin 2B＝，由于0<B<，0<2B<，所以2B＝，B＝． (2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①． 如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 若选②，由(1)知A＝，设BC＝AC＝2x，由C＝， 得cos ＝，则AB＝2x， 故周长为x＝4＋2，解得x＝1． 从而BC＝AC＝2，AB＝2． 则在△ABD中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，解得AD＝．因此BC边上的中线长为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 若选③，由(1)知A＝B＝，因为S△ABC＝， 得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝， 在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××＝， ∴AD＝．因此BC边上的中线长为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B． (1)求C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 [解]　(1)由已知A＋B＋C＝π，所以b sin ＝b sin ＝b cos ，所以b cos ＝c sin B，由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B，因为B，C∈(0，π)，则sin B≠0，0<<，cos ≠0，所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，所以sin ＝，所以＝，则C＝． (2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，得ab＝4c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号， 此时△ABC面积的最小值为4． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 基础考点3 专题限时集训 §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 THANK YOU 00000 $$ §4　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 【备考指南】　三角形中的三线(高线、中线、角平分线)可以较好的考查学生对几何图形的认知、数形结合意识，是高考命题的热点之一，难度中等．求解此类问题务必注意转化与化归思想的应用． 基础考点1　高线问题 【典例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． 2．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c． (1)求A的大小； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长． 条件①：cos B＝，b＝1；条件②：a＝3，c＝条件③：b＝3，c＝． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础考点2　中线问题 【典例2】　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1． (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答三角形的中线问题的两种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则(b2＋c2＋2bc cos A)． 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，且4cos B＝c－b． (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础考点3　角平分线问题 【典例3】　(2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC． 已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C． (1)求角A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(六)　解三角形中的高线、中线、角平分线问题 一、单项选择题 1．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　) A．49 　 B．7 C． 　 D． 3．(教材改编)在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝(　　) A．2 　 B．4 C．2 　 D．6 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为(　　) A． 　 B． C． 　 D．3 5．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝(　　) A．2 　 B． C．3 　 D．2 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　) A．3 　 B． C． 　 D．2 二、多项选择题 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若BC边上的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　) A．A＝ 　 B．A＝ C．＝6　 D．△ABC的面积为3 8．(2024·山东淄博模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列结论正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形 B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是 D．若∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则4a＋c的最小值为9 三、填空题 9．在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的取值范围是________． 10．在△ABC中，AB>AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6，则sin B＝________，∠BAC的平分线AM的长等于________． 四、解答题 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2b cos B，C＝． (1)求B； (2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；③△ABC的面积为． 12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B． (1)求C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$