07 第一阶段 专题二 §2 三角函数的图象和性质-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

第一阶段　突破核心　升华思维 专题二　三角函数与解三角形 §2　三角函数的图象和性质 【备考指南】　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 2 　基础考点　三角函数的图象与解析式 （一） 　能力考点　三角函数的性质及应用 （二） 　专题限时集训(四)　三角函数的图象和性质 （三） §2　三角函数的图象和性质 √ 基础考点　三角函数的图象与解析式 【典例1】　(1)(2024·江苏南京二模)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度　 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度　 D．向右平移个单位长度 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 　B．4 C．6 　 D．8 (3)(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 √ √ √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (1)A　(2)C　(3)BD　[(1)y＝sin ＝sin ， 则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度即可．故选A． (2)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象， 如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点． 故选C． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (3)由题图可得解得A错误；由题图可知，f (x)的最小正周期T＝－＝，所以＝，则ω＝4，B正确； 由题图可知，直线x＝×＝是函数f (x)图象的一条对称轴， 所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z． 又0<φ<，所以φ＝，C错误； 由上述可得f (x)＝2cos ＋1． 令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z． 当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 1．(2024·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 B　[因为y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，则y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得y＝cos ＝cos 的图象．故选B．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 B　[令f (x)＝sin2x－cos2x，则有f (x)＝－cos2x，设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)，根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x，即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____________． (－2，－] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (－2，－]　[由f (x)的部分图象，可得A＝1． 由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ． 将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 作出函数g(x)的部分图象如图所示，根据函数g(x)的图象知： 当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 【教师备选资源】 1．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________． 2 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2　[由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以取ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即( f (x)－1)f (x)＞0，可得 f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(　　) A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 A　[对于A，函数y＝f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，因为f (－x)＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f (x)，所以函数为奇函数，又f ＝＋＋＝＋>0，故A符合题意； 对于B，函数y＝f (x)＝sin x－sin 2x－sin 3x，因为f (－x)＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f (x)，所以函数为奇函数，又f ＝－－＝－<－＝0，故B不符合题意； 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 对于C，函数y＝f (x)＝sin x＋cos 2x＋cos 3x，因为f (0)＝，故C不符合题意； 对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 3．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 √ √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 AC　[将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确； 将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例2】　(1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f (x)与g(x)有相同的零点 B．f (x)与g(x)有相同的最大值 C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ √ (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④　B．②④ 　C．①④　D．①③ (3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________． [2，3) √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (1)BC　(2)C　(3)[2，3)　[(1)A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．故选BC．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x， ∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确． 综上，正确结论的编号是①④.故选C． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 法三：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C． (3)因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 1．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则(　　) A．c<b<a 　 B．c<a<b C．b<a<c 　 D．a<c<b 2 4 3 题号 1 √ C　[因为<1<，所以tan 1>1>sin 1>>cos 1，即b<a<c.故选C．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 √ 2．(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 √ √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故AB正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由于0<φ<，∴φ＝，∴f (x)＝2sin ． 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，∴2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 　 　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝3k＋，k∈Z，因为当x∈时，函数单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 4．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 [解]　(1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝． 又因为f ＝f ，所以直线x＝×，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴． (2)由(1)知T≥，故ω＝≤3，由ω∈N*，得ω＝1，2或3． 由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴，得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2 4 3 题号 1 因为f ＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z，若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝＋(k1－2k2)π，k1，k2∈Z，即ω＝＋(k1－2k2)，k1，k2∈Z，不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3． 若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－＋(k1－2k3)π，k1，k3∈Z，即ω＝－＋(k1－2k3)，k1，k3∈Z，不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3． 当k1＝2k3＋1时，ω＝2． 此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 【教师备选资源】 1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 A　[若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称，则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z，因为是的真子集，所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 2．(多选)(2024·湖南衡阳模拟)若函数f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为，且f (0)＝，则(　　) A．φ＝ B．点是函数f (x)图象的对称中心 C．函数f (x)在上单调递增 D．直线x＝是函数f (x)图象的对称轴 √ √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 AB　[选项A：∵f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为，∴T＝＝，∴ω＝2.∴f (x)＝sin (2x＋φ)． ∵f (0)＝，∴f (0)＝sin φ＝，又|φ|<，则φ＝． ∴f (x)＝sin ，∴A正确； 选项B：由2x＋＝kπ(k∈Z)，可得函数f (x)图象的对称中心的横坐标x＝＝－． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 当k＝0时，对称中心为，B正确； 选项C：当<x<π时，<2x<2π，<2x＋<2π＋， ∴f (x)在上不单调递增，C错误； 选项D：由2x＋＝kπ＋，k∈Z， 可得2x＝kπ＋，x＝＋(k∈Z)．∴x＝不是f (x)图象的对称轴． 或把x＝代入得f ＝sin ≠±1，∴x＝不是f (x)图象的对称轴，∴D错误．故选AB．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 3．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则(　　) A．f －1是奇函数 B．ω＝－＋k，k∈N* C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2 D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝ √ √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 BC　[依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－＋k，k∈N*，B选项正确． 则f (x)＝sin ＋1，k∈N*，所以f －1＝sin ＝sin ，由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数，A选项错误． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 C选项，因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－＋k，k∈N*代入得： ＋<x＋<＋，k∈N*， 整理得kπ<x＋<kπ＋－，k∈N*， 由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴， 所以<－≤，解得<k≤，由于k∈N*，所以k＝1， 对应ω＝－＋＝2，所以C选项正确． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 D选项，f (x)在区间上单调递减， 因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－＋k，k∈N*代入得： ＋<x＋<＋，k∈N*， 整理得k＋<x＋<k－，k∈N*， 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 则k－－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2， 当k＝1时，＜x＋＜，符合单调性， 当k＝2时，＜x＋＜，不符合单调性，所以k＝2舍去，所以ω＝－＋×1＝2，所以D选项错误． 故选BC．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 一、单项选择题 1．函数y＝sin x－cos x的最小正周期和最大值分别是(　　) A．2π， 　 B．π，　 C．2π，2 　 D．π，2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 专题限时集训(四)　三角函数的图象和性质 C　[由函数y＝sin x－cos x，可得y＝2＝2＝2sin ，故其最小正周期为2π，最大值为2.故选C．] 2．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x 　B．sin C．－sin 　D．cos 2x √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 3．已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　) A．－ 　B．－ 　C．0 　D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[ f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈， sin 2x∈，所以f (x)min＝－． 故选A．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 4．(2024·辽宁沈阳模拟)函数f (x)＝cos 在下列哪个区间上单调递增(　　) A． 　B．　C． 　D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 C　[令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 令k＝0可得，f (x)的一个单调递增区间为，结合选项可得C符合题意． 故选C．] 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 5．(2024·山西晋中模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＝2sin B．f (x)＝2sin C．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的 新图象对应的函数是偶函数 D．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是奇函数 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 C　[对于A，B选项：由题图可得A＝2，T＝－＝⇒T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2，所以f (x)＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点，所以2sin ＝2⇒φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin ，故A，B错误； 对于C，D选项：f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是y＝2sin＝2sin ＝－2cos 2x，所以为偶函数，故C正确，D错误．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 6．(2024·广东广州模拟)若将函数f (x)＝2sin x的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝－1在[0，π)内有两个不同的解α，β，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ 　B． C． 　D．－ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 D　[由函数f (x)＝2sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin 的图象，因为x∈[0，π)，所以2x＋∈，由g(x)＝－1，可得sin ＝－， 所以2α＋＋2β＋＝×2，得到α＋β＝， 所以sin (α＋β)＝sin ＝－． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 二、多项选择题 7．设函数f (x)＝2sin ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x)的一个零点为x＝－ D．f (x)的最大值为1 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 AC　[由周期公式知T＝＝π，A正确； 因为f ＝2sin ＝2sin ＝不是最值，所以直线x＝不是函数f (x)图象的对称轴，B错误； 因为f ＝2sin ＝2sin 0＝0，所以x＝－是函数 f (x)的零点，C正确； 由正弦函数的值域可知，f (x)的最大值为2，D错误．故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 8．(2024·江苏南通三模)已知函数f (x)＝sin ，则(　　) A．f (π＋x)＝f (x) B．f ＝f (x) C．x∈，f (x)>1 D．x∈，f ′(x)<0 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 AC　[对于A，f (x)的最小正周期为＝π，∴f (π＋x)＝f (x)，故A正确； 对于B，令2x＋＝＋kπ，k∈Z ，则x＝＋，k∈Z，若f ＝f (x)成立，则f (x)的图象关于x＝对称，令＋＝，解得k＝，因为k∉Z，故B错误； 对于C，∵x∈，∴2x＋∈，∴sin ∈， ∴f (x)∈(1，]，故C正确； 对于D，f ′(x)＝2cos ，当x＝时，则f ′(x)＝0，故D错误．故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 三、填空题 9．函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[由正弦函数的性质可知，当x∈时，－≤sin x≤1，y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2＋，当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2，故值域为．] 　 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝_______． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 －　 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 －　[设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，所以f (x)＝sin 或f (x)＝－sin ，又因为f (0)<0，所以f (x)＝sin ，所以f (π)＝sin ＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x＝sin ，T＝2π，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数 f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)， 则sin 2x＝t2－1，令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－， 所以f (x)的值域为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 [解]　(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sin x cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2＋1＝2sin ＋1， 因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝， 又x0∈，所以2x0＋∈， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 所以cos ＝－＝－， 所以cos 2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象， 再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝2sin 的图象，最后将y＝2sin 的图象上所有点的纵坐标变为原来的得到y＝sin 的图象，即g(x)＝sin ， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 由g(x)≥，即sin ≥，所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈， 又x∈，所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点 能力考点 专题限时集训 §2　三角函数的图象和性质 THANK YOU 00000 $$ §2　三角函数的图象和性质 【备考指南】　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 基础考点　三角函数的图象与解析式 【典例1】　(1)(2024·江苏南京二模)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 　 B．4 C．6 　 D．8 (3)(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 (1)A　(2)C　(3)BD　[(1)y＝sin ＝sin ， 则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度即可．故选A． (2)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C． (3)由题图可得解得A错误；由题图可知，f (x)的最小正周期T＝－＝，所以＝，则ω＝4，B正确； 由题图可知，直线x＝×＝是函数f (x)图象的一条对称轴， 所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z． 又0<φ<，所以φ＝，C错误； 由上述可得f (x)＝2cos ＋1． 令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z． 当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．] 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 1．(2024·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 B　[因为y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，则y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得y＝cos ＝cos 的图象．故选B．] 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[令f (x)＝sin2x－cos2x， 则有f (x)＝－cos2x， 设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)，根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x，即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．] 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． (－2，－]　[由f (x)的部分图象，可得A＝1． 由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ． 将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象． 作出函数g(x)的部分图象如图所示， 根据函数g(x)的图象知： 当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点， 即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．] 【教师备选资源】 1．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________． 2　[由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以取ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即( f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．] 2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(　　) A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x A　[对于A，函数y＝f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，因为f (－x)＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f (x)，所以函数为奇函数， 又f ＝＋＋＝＋>0， 故A符合题意； 对于B，函数y＝f (x)＝sin x－sin 2x－sin 3x，因为f (－x)＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f (x)， 所以函数为奇函数， 又f ＝－－＝－<－＝0，故B不符合题意； 对于C，函数y＝f (x)＝sin x＋cos 2x＋cos 3x， 因为f (0)＝，故C不符合题意； 对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．] 3．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 AC　[将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确； 将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．] 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例2】　(1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f (x)与g(x)有相同的零点 B．f (x)与g(x)有相同的最大值 C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ 　 B．②④ C．①④ 　 D．①③ (3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________． (1)BC　(2)C　(3)[2，3)　[(1)A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z， g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z， 显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 故选BC．] (2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C． 法二：∵f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到， ∴f (x)的最大值为2，故④正确．故选C． 法三：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C． (3)因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3． ] 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 1．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则(　　) A．c<b<a 　 B．c<a<b C．b<a<c 　 D．a<c<b C　[因为<1<，所以tan 1>1>sin 1>>cos 1，即b<a<c.故选C．] 2．(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故AB正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，∴φ＝，∴f (x)＝2sin ． 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，∴2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．] 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx， 又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称， 所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝3k＋，k∈Z， 因为当x∈时，函数单调，所以0≤ωx≤≤π， 即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．] 4．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． [解]　(1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝． 又因为f ＝f ， 所以直线x＝×，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴． (2)由(1)知T≥，故ω＝≤3， 由ω∈N*，得ω＝1，2或3． 由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴， 得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z． 因为f ＝， 所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z， 若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝＋(k1－2k2)π，k1，k2∈Z， 即ω＝＋(k1－2k2)，k1，k2∈Z， 不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3． 若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－＋(k1－2k3)π，k1，k3∈Z， 即ω＝－＋(k1－2k3)，k1，k3∈Z， 不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3． 当k1＝2k3＋1时，ω＝2． 此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝． 【教师备选资源】 1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称， 则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z， 因为是的真子集， 所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．] 2．(多选)(2024·湖南衡阳模拟)若函数f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为，且f (0)＝，则(　　) A．φ＝ B．点是函数f (x)图象的对称中心 C．函数f (x)在上单调递增 D．直线x＝是函数f (x)图象的对称轴 AB　[选项A：∵f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为， ∴T＝·＝，∴ω＝2.∴f (x)＝sin (2x＋φ)． ∵f (0)＝，∴f (0)＝sin φ＝，又|φ|<，则φ＝． ∴f (x)＝sin ，∴A正确； 选项B：由2x＋＝kπ(k∈Z)， 可得函数f (x)图象的对称中心的横坐标x＝＝－． 当k＝0时，对称中心为，B正确； 选项C：当<x<π时，<2x<2π，<2x＋<2π＋， ∴f (x)在上不单调递增，C错误； 选项D：由2x＋＝kπ＋，k∈Z， 可得2x＝kπ＋，x＝＋(k∈Z)．∴x＝不是f (x)图象的对称轴． 或把x＝代入得f ＝sin ≠±1，∴x＝不是f (x)图象的对称轴，∴D错误．故选AB．] 3．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则(　　) A．f －1是奇函数 B．ω＝－＋k，k∈N* C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2 D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝ BC　[依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心， 所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－＋k，k∈N*，B选项正确． 则f (x)＝sin ＋1，k∈N*， 所以f －1＝sin ＝sin ， 由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数， A选项错误． C选项，因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－＋k，k∈N*代入得： ＋<x＋<＋，k∈N*， 整理得kπ<x＋<kπ＋－，k∈N*， 由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴， 所以<－≤，解得<k≤，由于k∈N*，所以k＝1， 对应ω＝－＋＝2，所以C选项正确． D选项，f (x)在区间上单调递减， 因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－＋k，k∈N*代入得： ＋<x＋<＋，k∈N*， 整理得k＋<x＋<k－，k∈N*， 则k－－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2， 当k＝1时，＜x＋＜，符合单调性， 当k＝2时，＜x＋＜，不符合单调性，所以k＝2舍去， 所以ω＝－＋×1＝2，所以D选项错误． 故选BC．] 专题限时集训(四)　三角函数的图象和性质 一、单项选择题 1．函数y＝sin x－cos x的最小正周期和最大值分别是(　　) A．2π， 　 B．π，　 C．2π，2 　 D．π，2 C　[由函数y＝sin x－cos x，可得y＝2＝2＝2sin ，故其最小正周期为2π，最大值为2.故选C．] 2．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x 　 B．sin C．－sin 　 D．cos 2x B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 3．已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　) A．－ 　 B．－ C．0 　 D． A　[ f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝， 即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈， 所以f (x)min＝－． 故选A．] 4．(2024·辽宁沈阳模拟)函数f (x)＝cos 在下列哪个区间上单调递增(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． C　[令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 令k＝0可得，f (x)的一个单调递增区间为，结合选项可得C符合题意． 故选C．] 5．(2024·山西晋中模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＝2sin B．f (x)＝2sin C．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是偶函数 D．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是奇函数 C　[对于A，B选项：由题图可得A＝2，T＝－＝⇒T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2， 所以f (x)＝2sin(2x＋φ)， 因为图象过点， 所以2sin ＝2⇒φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝， 所以f (x)＝2sin ，故A，B错误； 对于C，D选项：f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是y＝2sin＝2sin ＝－2cos 2x，所以为偶函数，故C正确，D错误．故选C．] 6．(2024·广东广州模拟)若将函数f (x)＝2sin x的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝－1在[0，π)内有两个不同的解α，β，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ D　[由函数f (x)＝2sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin 的图象， 因为x∈[0，π)，所以2x＋∈， 由g(x)＝－1，可得sin ＝－， 所以2α＋＋2β＋＝×2，得到α＋β＝， 所以sin (α＋β)＝sin ＝－． 故选D．] 二、多项选择题 7．设函数f (x)＝2sin ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x)的一个零点为x＝－ D．f (x)的最大值为1 AC　[由周期公式知T＝＝π，A正确； 因为f ＝2sin ＝2sin ＝不是最值，所以直线x＝不是函数f (x)图象的对称轴，B错误； 因为f ＝2sin ＝2sin 0＝0，所以x＝－是函数f (x)的零点，C正确； 由正弦函数的值域可知，f (x)的最大值为2，D错误．故选AC．] 8．(2024·江苏南通三模)已知函数f (x)＝sin ，则(　　) A．f (π＋x)＝f (x) B．f ＝f (x) C．x∈，f (x)>1 D．x∈，f ′(x)<0 AC　[对于A，f (x)的最小正周期为＝π，∴f (π＋x)＝f (x)，故A正确； 对于B，令2x＋＝＋kπ，k∈Z ，则x＝＋，k∈Z，若f ＝f (x)成立，则f (x)的图象关于x＝对称， 令＋＝，解得k＝，因为k∉Z，故B错误； 对于C，∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin ∈，∴f (x)∈(1，]，故C正确； 对于D，f ′(x)＝2cos ，当x＝时，则f ′(x)＝0，故D错误． 故选AC．] 三、填空题 9．函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为________． 　[由正弦函数的性质可知，当x∈时，－≤sin x≤1， y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2＋， 当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2，故值域为．] 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． －　[设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)， 所以f (x)＝sin 或f (x)＝－sin ， 又因为f (0)<0，所以f (x)＝sin ， 所以f (π)＝sin ＝－．] 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． [解]　(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x ＝sin ，T＝2π， 令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x ＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)， 则sin 2x＝t2－1， 令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－， 所以f (x)的值域为． 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． [解]　(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sin x cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2＋1＝2sin ＋1， 因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝， 又x0∈，所以2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝． (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象， 再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝2sin 的图象， 最后将y＝2sin 的图象上所有点的纵坐标变为原来的得到y＝sin 的图象， 即g(x)＝sin ， 由g(x)≥，即sin ≥，所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈， 又x∈，所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2　三角函数的图象和性质 【备考指南】　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 基础考点　三角函数的图象与解析式 【典例1】　(1)(2024·江苏南京二模)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 　 B．4 C．6 　 D．8 (3)(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 1．(2024·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例2】　(1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f (x)与g(x)有相同的零点 B．f (x)与g(x)有相同的最大值 C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ 　 B．②④ C．①④ 　 D．①③ (3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 1．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则(　　) A．c<b<a 　 B．c<a<b C．b<a<c 　 D．a<c<b 2．(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 4．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(四)　三角函数的图象和性质 一、单项选择题 1．函数y＝sin x－cos x的最小正周期和最大值分别是(　　) A．2π， 　 B．π，　 C．2π，2 　 D．π，2 2．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x 　 B．sin C．－sin 　 D．cos 2x 3．已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　) A．－ 　 B．－ C．0 　 D． 4．(2024·辽宁沈阳模拟)函数f (x)＝cos 在下列哪个区间上单调递增(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． 5．(2024·山西晋中模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＝2sin B．f (x)＝2sin C．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是偶函数 D．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是奇函数 6．(2024·广东广州模拟)若将函数f (x)＝2sin x的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝－1在[0，π)内有两个不同的解α，β，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ 二、多项选择题 7．设函数f (x)＝2sin ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x)的一个零点为x＝－ D．f (x)的最大值为1 8．(2024·江苏南通三模)已知函数f (x)＝sin ，则(　　) A．f (π＋x)＝f (x) B．f ＝f (x) C．x∈，f (x)>1 D．x∈，f ′(x)<0 三、填空题 9．函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为________． 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(四) 1．C　[由函数y＝sin x－cos x，可得y＝2＝2＝2sin ，故其最小正周期为2π，最大值为2.故选C．] 2．B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 3．A　[ f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝， 即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈， 所以f (x)min＝－． 故选A．] 4．C　[令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 令k＝0可得，f (x)的一个单调递增区间为，结合选项可得C符合题意． 故选C．] 5．C　[对于A，B选项：由题图可得A＝2，T＝－＝⇒T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2， 所以f (x)＝2sin(2x＋φ)， 因为图象过点， 所以2sin ＝2⇒φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝， 所以f (x)＝2sin ，故A，B错误； 对于C，D选项：f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是y＝2sin＝2sin ＝－2cos 2x，所以为偶函数，故C正确，D错误．故选C．] 6．D　[由函数f (x)＝2sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin 的图象， 因为x∈[0，π)，所以2x＋∈， 由g(x)＝－1，可得sin ＝－， 所以2α＋＋2β＋＝×2，得到α＋β＝， 所以sin (α＋β)＝sin ＝－． 故选D．] 7．AC　[由周期公式知T＝＝π，A正确； 因为f ＝2sin ＝2sin ＝不是最值，所以直线x＝不是函数f (x)图象的对称轴，B错误； 因为f ＝2sin ＝2sin 0＝0，所以x＝－是函数f (x)的零点，C正确； 由正弦函数的值域可知，f (x)的最大值为2，D错误．故选AC．] 8．AC　[对于A，f (x)的最小正周期为＝π，∴f (π＋x)＝f (x)，故A正确； 对于B，令2x＋＝＋kπ，k∈Z ，则x＝＋，k∈Z，若f ＝f (x)成立，则f (x)的图象关于x＝对称， 令＋＝，解得k＝，因为k∉Z，故B错误； 对于C，∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin ∈，∴f (x)∈(1，]，故C正确； 对于D，f ′(x)＝2cos ，当x＝时，则f ′(x)＝0，故D错误． 故选AC．] 9．　[由正弦函数的性质可知，当x∈时，－≤sin x≤1， y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2＋， 当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2，故值域为．] 10．－　[设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)， 所以f (x)＝sin 或f (x)＝－sin ， 又因为f (0)<0，所以f (x)＝sin ， 所以f (π)＝sin ＝－．] 11．解：(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x ＝sin ，T＝2π， 令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x ＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)， 则sin 2x＝t2－1， 令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－， 所以f (x)的值域为． 12．解：(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sin x cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2＋1＝2sin ＋1， 因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝， 又x0∈，所以2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝． (2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象， 再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝2sin 的图象， 最后将y＝2sin 的图象上所有点的纵坐标变为原来的得到y＝sin 的图象， 即g(x)＝sin ， 由g(x)≥，即sin ≥，所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈， 又x∈，所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$