06 第一阶段 专题二 §1 三角函数的概念、三角恒等变换-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

解答三角函数问题 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积思 思 转化与化归 函数与方程 规范解答 满分心得 [解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，⇐切入点 所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos C＝，··········1分 因为C∈(0，π)，所以C＝，⇐失分点·······2分 从而sin C＝，················3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，········4分 因为B∈(0，π)，所以B＝.⇐失分点·······5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－，···6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝，····················7分 由正弦定理，得＝＝，········8分 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，·10分 所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2，11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ······················12分 所以c＝2．················13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． §1　三角函数的概念、三角恒等变换 【备考指南】　三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是三角恒等变换的重要方法． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式 【典例1】　(1)(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，Ox为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D． (2)(2024·河南开封模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　) A．－ 　 B． C．－　 D． (3)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)D　(3)ABD　[(1)如图，由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝，所以y＝sin＝(sin α＋cos α)＝×＝．故选D． (2)因为sin ＝，－cos ＝－，故角α的终边经过点P，所以sin ＝cos α＝＝．故选D． (3)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)， 即t＝＋π(k∈N)， 此时点Q， 即Q， 当k＝0时，Q，故A正确； 当k＝1时，Q， 即Q，故B正确； 当k＝2时，Q，即Q，故D正确． 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合． 故选ABD．] 三角函数的概念及应用 (1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值； (2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识. 1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则xy＝(　　) A．2 　 B．－2 C．－1 　 D．1 B　[角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则tan θ＝＝，所以xy＝－2． 故选B．] 2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　) A．cos (－α)>0 　 B．tan >0 C．sin (π＋α)>0 　 D．cos (π－α)<0 B　[若α是第二象限角，则cos (－α)＝cos α<0， 故A错误； 为第一或第三象限角，则tan >0，故B正确； sin (π＋α)＝－sin α<0，故C错误； cos (π－α)＝－cos α>0，故D错误．故选B．] 3．(2024·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　) A．(2cos (－2)，2sin (－2)) B．(2cos 2，2sin 2) C．(2sin (－2)，2cos (－2)) D．(2sin 2，2cos 2) D　[设P(x，y)，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动， 则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得， sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2， cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D．] 基础考点2　三角恒等变换 【典例2】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m　　 　 B．－　　 C．　　 　 D．3m (2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D． (3)(2024·全国甲卷)已知＝，则＝(　　) A．2＋1　　　　　 B．2－1 C． 　 D．1－ (1)A　(2)A　(3)B　[(1)因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m． 故选A． (2)由题θ∈，tan 2θ＝－4tan ， 得＝⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－， 因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－， 所以＝＝＝＝．故选A． (3)因为＝，所以＝⇒tan α＝1－， 所以tan ＝＝2－1． 故选B．] 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构； (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　) A．cos 2θ＝－ 　 B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ 　 D．tan ＝ ABD　[因为角θ的终边过点P(3，4)， 所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝， 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－， tan2θ＝＝＝－，故A和B正确； 因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)， 所以kπ<<kπ＋(k∈Z)，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以tan >0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误； 由tan θ＝＝，得2tan2 ＋3tan －2＝0， 解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确． 故选ABD．] 2．(2024·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[由题意及图得，tan α＝，tan β＝， ∴tan (α＋β)＝＝＝1． ∵α∈，β∈，α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝．故选B．] 3．(2024·湖南衡阳二模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　) A．　　 B．　　 C．2　　 D．4 A　[由cos ＝，得sin 2α＝， 所以2sin αcos α＝⇒＝⇒⇒tan α＝4或tan α＝． 又α∈，所以0<tan α<1，所以tan α＝．故选A．] 4．(tan 10°－)·＝________． －2　[(tan 10°－)· ＝(tan 10°－tan 60°)· ＝ ＝＝－2．] 5．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 　[令θ－＝t，则sin t＝， 所以cos ＝cos＝cos (2t＋π) ＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．] 专题限时集训(三)　三角函数的概念、三角恒等变换 一、单项选择题 1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos 2＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[因为α为锐角，sin α＝， 则cos α＝＝， 所以cos2 ＝＝． 故选A．] 2．(2024·河北张家口模拟)已知cos (π＋θ)＝－，θ是第四象限角，则tan ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ D　[由cos (π＋θ)＝－，可得－cos θ＝－，故cos θ＝， 由于θ是第四象限角，故sin θ＝－， ∴tan ＝＝＝＝－．故选D．] 3．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ D　[∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝， ∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－． 故选D．] 4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　) A． 　 B． C．2 　 D． D　[展开过程中，BM＝＝φ·R＝2， BO＝1，MO＝＝． 故选D．] 5．设sin 23°＝m，则tan 67°＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D． D　[∵sin 23°＝m， ∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝， ∴tan 67°＝， ∵sin 23°＝m>0， ∴tan 67°＝＝． 故选D．] 6．(教材改编)已知tan α＝3，则sin2α＋sin2α＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ B　[因为tan α＝3， 所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α ＝＝． 故选B．] 7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ B　[∵sin (α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＋＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝， 则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．] 8．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以 解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．] 二、多项选择题 9．(2024·浙江绍兴三模)若＝1，则(　　) A．tan x＝2 　 B．sin x＝ C．tan 2x＝ 　 D．sin 2x＝ AD　[因为＝＝1，所以tan x＝2，A选项正确； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，解得sin x＝±，B选项错误； tan 2x＝＝＝－，C选项错误； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＝，sin2x＝2sin x cos x＝sin2x＝，D选项正确．故选AD．] 10．(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α． 下列结论正确的有(　　) A．csc ＝－ B．cos α·sec α＝1 C．函数f (x)＝csc x的定义域为 D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5 ABD　[csc＝＝－，A正确； cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确； 函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误； sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5， 当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.] 11．(2024·浙江温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos (π＋α)＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tan β＝ D．角β的终边在第一象限 ACD　[因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)， 所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－， 所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确； 又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝－， 所以2α的终边与单位圆的交点坐标为． 因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为， 所以tan β＝，且β的终边在第一象限，故CD正确； 因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称， 所以＝kπ－⇒β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD．] 三、填空题 12．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan 2θ＝________． 　[∵复数z＝ ＝ ＝的实部为0，∴2cos θ＋sin θ＝0， ∴tan θ＝－2． ∴tan 2θ＝＝＝．] 13．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π， 故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝， 故sin αcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＋＝＝．] 14．(2024·福建莆田模拟)正五角星的每个内角都是36°，利用三角恒等变换可以求得cos 36°的值．具体步骤如下：先利用sin 3α＝sin (2α＋α)可求得sin 3α＝________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝________． 3sin α－4sin3α　　[sin 3α＝sin (2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α． 因为sin72°＝sin 108°， 从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°， 即2cos36°＝3－4sin236°＝3－4， 令cos36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0， 解得x＝或x＝(舍去)． 所以cos 36°＝．] 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一阶段　突破核心　升华思维 专题二　三角函数与解三角形 专题二　三角函数与解三角形 解答三角函数问题 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋， 求c. 读 a2＋b2－c2＝ab， sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积思 思 转化与化归 函数与方程 专题二　三角函数与解三角形 规范解答 满分心得 [解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，⇐切入点 所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos C＝，···1分 因为C∈(0，π)，所以C＝，⇐失分点··················2分 从而sin C＝，···························3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，···················4分 因为B∈(0，π)，所以B＝. ⇐失分点 ··················5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－， ··············6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝，··········7分 由正弦定理，得＝＝， ··················8分 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c， ············10分 所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2， ··········11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ·········12分 所以c＝2． ···························13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． 专题二　三角函数与解三角形 【备考指南】　三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是三角恒等变换的重要方法． §1　三角函数的概念、三角恒等变换 5 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式 （一） 基础考点2　三角恒等变换 （二） 专题限时集训(三)　三角函数的概念、三角恒等变换 （三） §1　三角函数的概念、三角恒等变换 √ 【典例1】　(1)(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，Ox为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式 (2)(2024·河南开封模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　) A．－ 　 B． C．－　 D． √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 (3)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为 2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 (1)D　(2)D　(3)ABD　[(1)如图，由cos α＝，0<α<， 得 sin α＝＝，所以y＝sin ＝ (sin α＋cos α)＝×＝．故选D． (2)因为sin ＝，－cos ＝－，故角α的终边经过点P，所以sin ＝cos α＝＝．故选D． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 (3)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)，即t＝＋π(k∈N)，此时点Q，即Q， 当k＝0时，Q，故A正确； 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 当k＝1时，Q， 即Q，故B正确； 当k＝2时，Q，即Q， 故D正确． 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合． 故选ABD．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 三角函数的概念及应用 (1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值； (2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识. 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则xy＝(　　) A．2 　B．－2 C．－1 　D．1 √ B　[角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则tan θ＝＝，所以xy＝－2． 故选B．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　) A．cos (－α)>0 　 B．tan >0 C．sin (π＋α)>0 　 D．cos (π－α)<0 √ B　[若α是第二象限角，则cos (－α)＝cos α<0， 故A错误； 为第一或第三象限角，则tan >0，故B正确； sin (π＋α) ＝－sin α<0，故C错误； cos (π－α)＝－cos α>0，故D错误．故选B．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 3．(2024·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　) A．(2cos (－2)，2sin (－2)) B．(2cos 2，2sin 2) C．(2sin (－2)，2cos (－2)) D．(2sin 2，2cos 2) √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 D　[设P(x，y)，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动， 则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得， sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2， cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 【典例2】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m　　 　 B．－　　 C．　　 　 D．3m √ 基础考点2　三角恒等变换 (2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． 　 B． C．1 　D． (3)(2024·全国甲卷)已知＝，则＝(　　) A．2＋1　　　　　 B．2－1 C． 　 D．1－ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 (1)A　(2)A　(3)B　[(1)因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m． 故选A． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 (2)由题θ∈，tan 2θ＝－4tan ，得＝⇒ －4 (tan θ＋1)2＝2tan θ，则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－，因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，所以＝＝＝＝．故选A． (3)因为＝，所以＝⇒tan α＝1－，所以tan ＝＝2－1． 故选B．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构； (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则 (　　) A．cos 2θ＝－ 　 B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ 　 D．tan ＝ 2 4 3 题号 1 5 √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 ABD　[因为角θ的终边过点P(3，4)， 所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝， 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－， tan 2θ＝＝＝－，故A和B正确； 因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)， 2 4 3 题号 1 5 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 所以kπ<<kπ＋(k∈Z)，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以tan >0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误； 由tan θ＝＝，得2tan2 ＋3tan －2＝0， 解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确． 故选ABD．] 2 4 3 题号 1 5 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 2．(2024·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　) A． 　B． C． 　D． 2 4 3 题号 1 5 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 B　[由题意及图得，tan α＝，tan β＝， ∴tan (α＋β)＝＝＝1． ∵α∈，β∈，α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝．故选B．] 2 4 3 题号 1 5 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 3．(2024·湖南衡阳二模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　) A．　　B．　　C．2　　D．4 2 4 3 题号 1 5 √ A　[由cos ＝，得sin 2α＝，所以2sin αcos α＝⇒＝⇒⇒tan α＝4或tan α＝． 又α∈，所以0<tan α<1，所以tan α＝．故选A．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 4．(tan 10°－)·＝________． 2 4 3 题号 1 5 －2　[(tan 10°－)· ＝(tan 10°－tan 60°)· ＝ ＝＝－2．] －2　 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 5．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 　[令θ－＝t，则sin t＝， 所以cos ＝cos＝cos (2t＋π) ＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．] 　 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 一、单项选择题 1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos2 ＝(　　) A． 　B．C． 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ A　[因为α为锐角，sin α＝，则cos α＝＝，所以cos2 ＝＝．故选A．] 专题限时集训(三)　三角函数的概念、三角恒等变换 2．(2024·河北张家口模拟)已知cos (π＋θ)＝－，θ是第四象限角，则tan ＝(　　) A． 　B．－ C． 　D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ D　[由cos (π＋θ)＝－，可得－cos θ＝－，故cos θ＝， 由于θ是第四象限角，故sin θ＝－， ∴tan ＝＝＝＝－．故选D．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 3．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝(　　) A．－ 　B． 　C． 　D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ D　[∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝， ∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－． 故选D．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　) A． 　B． C．2 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ D　[展开过程中，BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝＝．故选D．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 5．设sin 23°＝m，则tan 67°＝(　　) A．－ 　B．　C． 　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ D　[∵sin 23°＝m，∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝， ∴tan 67°＝，∵sin 23°＝m>0， ∴tan 67°＝＝．故选D．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 6．(教材改编)已知tan α＝3，则sin2α＋sin2α＝(　　) A．－ 　B． 　C． 　D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[因为tan α＝3，所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α＝＝． 故选B．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． 　B． 　C．－ 　D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[∵sin (α－β)＝，∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＋＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝， 则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 8．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α· tan β＝，则α＋β＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以 解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 二、多项选择题 9．(2024·浙江绍兴三模)若＝1，则(　　) A．tan x＝2 　 B．sin x＝ C．tan 2x＝ 　 D．sin 2x＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 AD　[因为＝＝1，所以tan x＝2，A选项正确； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，解得sin x＝±，B选项错误； tan 2x＝＝＝－，C选项错误； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＝，sin 2x＝2sin x cos x＝sin2x＝，D选项正确．故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 10．(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义： 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α． 下列结论正确的有(　　) A．csc ＝－ B．cos α·sec α＝1 C．函数 f (x)＝csc x的定义域为 D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 ABD　[csc ＝＝－，A正确； cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确； 函数 f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误； sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 11．(2024·浙江温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos (π＋α)＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tan β＝ D．角β的终边在第一象限 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 ACD　[因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)，所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－， 所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确； 又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝－， 所以2α的终边与单位圆的交点坐标为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan β＝，且β的终边在第一象限，故CD正确； 因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，所以＝kπ－⇒β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 三、填空题 12．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan 2θ＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[∵复数z＝＝＝ 的实部为0，∴2cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－2． ∴tan 2θ＝＝＝．] 　 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 13．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 　 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π， 故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝， 故sin αcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＋＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 14．(2024·福建莆田模拟)正五角星的每个内角都是36°，利用三角恒等变换可以求得cos 36°的值．具体步骤如下：先利用sin 3α＝sin (2α＋α)可求得sin 3α＝______________(用单角α的正弦值表示)； 再求得cos 36°＝______． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 3sin α－4sin3α　　[sin 3α＝sin (2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α． 3sin α－4sin3α 　 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 因为sin72°＝sin 108°， 从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°， 即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4， 令cos 36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0， 解得x＝或x＝(舍去)． 所以cos 36°＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 §1　三角函数的概念、三角恒等变换 THANK YOU 专题二　三角函数与解三角形 $$ 解答三角函数问题 (对应学生用书第12页) 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积思 思 转化与化归 函数与方程 规范解答 满分心得 [解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，⇐切入点 所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos C＝，··········1分 因为C∈(0，π)，所以C＝，⇐失分点·······2分 从而sin C＝，················3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，········4分 因为B∈(0，π)，所以B＝.⇐失分点········5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－，···6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝，····················7分 由正弦定理，得＝＝，········8分 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，·10分 所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2，11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ······················12分 所以c＝2．················13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． §1　三角函数的概念、三角恒等变换 【备考指南】　三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是三角恒等变换的重要方法． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式 【典例1】　(1)(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，Ox为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D． (2)(2024·河南开封模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　) A．－ 　 B． C．－　 D． (3)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数的概念及应用 (1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值； (2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识. 1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则xy＝(　　) A．2 　 B．－2 C．－1 　 D．1 2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　) A．cos (－α)>0 　 B．tan >0 C．sin (π＋α)>0 　 D．cos (π－α)<0 3．(2024·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　) A．(2cos (－2)，2sin (－2)) B．(2cos 2，2sin 2) C．(2sin (－2)，2cos (－2)) D．(2sin 2，2cos 2) 基础考点2　三角恒等变换 【典例2】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m　　 　 B．－　　 C．　　 　 D．3m (2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D． (3)(2024·全国甲卷)已知＝，则＝(　　) A．2＋1　　　　　 B．2－1 C． 　 D．1－ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构； (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　) A．cos 2θ＝－ 　 B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ 　 D．tan ＝ 2．(2024·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 3．(2024·湖南衡阳二模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　) A．　　 B．　　 C．2　　 D．4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．(tan 10°－)·＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(三)　三角函数的概念、三角恒等变换 一、单项选择题 1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos 2＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 2．(2024·河北张家口模拟)已知cos (π＋θ)＝－，θ是第四象限角，则tan ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ 3．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ 4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　) A． 　 B． C．2 　 D． 5．设sin 23°＝m，则tan 67°＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D． 6．(教材改编)已知tan α＝3，则sin2α＋sin2α＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．－ 7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 8．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 二、多项选择题 9．(2024·浙江绍兴三模)若＝1，则(　　) A．tan x＝2 　 B．sin x＝ C．tan 2x＝ 　 D．sin 2x＝ 10．(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α． 下列结论正确的有(　　) A．csc ＝－ B．cos α·sec α＝1 C．函数f (x)＝csc x的定义域为 D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5 11．(2024·浙江温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos (π＋α)＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tan β＝ D．角β的终边在第一象限 三、填空题 12．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan 2θ＝________． 13．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 14．(2024·福建莆田模拟)正五角星的每个内角都是36°，利用三角恒等变换可以求得cos 36°的值．具体步骤如下：先利用sin 3α＝sin (2α＋α)可求得sin 3α＝________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(三) 1．A　[因为α为锐角，sin α＝， 则cos α＝＝， 所以cos2 ＝＝． 故选A．] 2．D　[由cos (π＋θ)＝－，可得－cos θ＝－，故cos θ＝， 由于θ是第四象限角，故sin θ＝－， ∴tan ＝＝＝＝－．故选D．] 3．D　[∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝， ∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－． 故选D．] 4．D　[展开过程中，BM＝＝φ·R＝2， BO＝1，MO＝＝． 故选D．] 5．D　[∵sin 23°＝m， ∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝， ∴tan 67°＝， ∵sin 23°＝m>0， ∴tan 67°＝＝． 故选D．] 6．B　[因为tan α＝3， 所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α ＝＝． 故选B．] 7．B　[∵sin (α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＋＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝， 则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．] 8．A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以 解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．] 9．AD　[因为＝＝1，所以tan x＝2，A选项正确； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，解得sin x＝±，B选项错误； tan 2x＝＝＝－，C选项错误； 由＝2，sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＝，sin2x＝2sin x cos x＝sin2x＝，D选项正确．故选AD．] 10．ABD　[csc＝＝－，A正确； cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确； 函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误； sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5， 当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.] 11．ACD　[因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)， 所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－， 所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确； 又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝－， 所以2α的终边与单位圆的交点坐标为． 因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为， 所以tan β＝，且β的终边在第一象限，故CD正确； 因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称， 所以＝kπ－⇒β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD．] 12．　[∵复数z＝＝ ＝的实部为0，∴2cos θ＋sin θ＝0， ∴tan θ＝－2． ∴tan 2θ＝＝＝．] 13．　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π， 故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝， 故sin αcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＋＝＝．] 14．3sin α－4sin3α　　[sin 3α＝sin (2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α． 因为sin72°＝sin 108°， 从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°， 即2cos36°＝3－4sin236°＝3－4， 令cos36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0， 解得x＝或x＝(舍去)． 所以cos 36°＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$