03 第一阶段 专题一 研习三 不等式-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

第一阶段　突破核心　升华思维 专题一　送分考点　自我研习 研习三　不等式 　考点1　不等式的性质 （一） 　考点2　基本不等式 （二） 研习三　不等式 考点1　不等式的性质 常见的比较大小的方法 (1)作差法：作差与0作比较； (2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)； (3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小； (4)中间值法：取中间值进行大小比较． 1．(教材改编)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　) A．(－π，0) 　 B．(－π，π) C． 　 D． 2 4 3 题号 1 √ 5 6 C　[由题得－<α<，－<－β<，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0，又－<α<，∴－π<2α－β<．故选C．] 考点1 考点2 研习三　不等式 2．(教材改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< 　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 　 D．<<5 √ 2 4 3 1 5 6 C　[对于A，由15<b<18，得<<，又6<a<60，所以<<4，A错误； 对于B，由6<a<60，15<b<18，所以36<a＋2b<96，B错误； 对于C，由15<b<18，则－18<－b<－15，又6<a<60，所以－12<a－b<45，C正确； 对于D，因为＝＋1，又<<4，所以<<5，D错误．故选C．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 3．(教材改编)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 　 B．> C．a2>ab>b2 　 D．> √ 2 4 3 1 5 6 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 C　[A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误； B选项，－＝＝，因为a>b>0，所以b－a<0，则－<0，故<，故B错误； C选项，a>b>0两边同乘a得a2>ab，两边同乘b得ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确； D选项，因为a>b>0，所以ab>0，a>b>0两边同除以ab得>，故D错误． 故选C．] 2 4 3 1 5 6 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 4．(2024·山西太原模拟)已知2≤x＋y≤3，－2≤x－y≤－1，则3x＋y的取值范围是(　　) A． 　B． 　C． 　D．[2，5] 2 4 3 1 5 6 √ D　[由题意4≤2x＋2y≤6，－2≤x－y≤－1，故4－2≤2x＋2y＋x－y≤6－1，即2≤3x＋y≤5.故选D．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 5．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则(　　) A．a>c>b 　 B．a>b>c C．c>b>a 　 D．b>c>a 2 4 3 1 5 6 √ A　[因为a－c＝－＋＝＝>0，所以a>c． c－b＝－＋＝，因为(2＋)2－(2)2＝4－9＝－>0，且2＋>0，2>0，所以2＋>2，所以c－b>0，所以c>b.故a>c>b.故选A．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 2 4 3 1 5 6 √ 6．(多选)已知a<b<0<c，则下列不等式正确的是(　　) A．< 　B．a2<c2 　C．2a<2c 　D．logc(－a)<logc(－b) AC　[对于选项A：因为a<b<0，可得<1<，故A正确； 对于选项B：例如a＝－1，c＝1，满足a<b<0<c，但a2＝c2＝1，故B错误； 对于选项C：因为y＝2x在R上单调递增，且a<c，所以2a<2c，故C正确； 对于选项D：例如a＝－2，b＝－1，c＝2，满足a<b<0<c，但logc(－a)＝log22＝1，logc(－b)＝log21＝0，即logc(－a)>logc(－b)，故D错误． 故选AC．] √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 考点2　基本不等式 基本不等式求最值的解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值； (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值； (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 提醒：解题时要注意 “一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 考点1 考点2 研习三　不等式 1．(教材改编)若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[由题意x＋y＝1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立． 故选B．] 考点1 考点2 研习三　不等式 2．(教材改编)已知x>3，则y＝＋2x的最小值是(　　) A．6 　 B．8 C．10 　 D．12 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[由x－3>0，则y＝＋2(x－3)＋6≥2＋6＝10， 当且仅当x＝4时等号成立，故最小值为10． 故选C．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 3．(多选)(教材改编)下列命题中，为真命题的有(　　) A．∀x>0，x＋≥2 　 B．∃x<0，x＋>－2 C．∀x>0，≥ 　 D．∃x<0，≤－ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 AD　[对于A，利用基本不等式可得∀x>0，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝1时，等号成立，所以A正确； 对于B，∀x<0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立， 即命题∃x<0，x＋>－2不成立，所以B错误； 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 对于C，易知∀x>0，＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以C错误； 对于D，易知当x＝－1时，＝－，即∃x<0，≤－，所以D正确. 故选AD．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 4．(教材改编)今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　) A．＝G 　 B．<G C．>G 　 D．不能确定 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 C　[由题意可得Gl1＝al2，Gl2＝bl1， ∴G2＝ab，又a≠b，∴ab＜， ∴G2<，∴>G.故选C．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 5．(教材改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是 (　　) A．[6，＋∞) 　B．[9，＋∞) 　C．(0，6] 　D．(0，9) 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ A　[因为a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤，化简得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a＋b的取值范围为[6，＋∞)，故选A．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 6．若a，b∈R，ab>0且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ A　[因为ab>0且a＋b＝2，所以a＞0，b>0，＋＝(a＋b)＝≥＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立，所以＋的最小值为2.故选A．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 7．(2024·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，4] 　 B．(－∞，4] C． 　 D．(－∞，5] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[因为不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则∀x∈[1，3]，a≤x＋成立，而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4].故选B．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 8．(2024·广东湛江二模)当x>0，y>0时，≥．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 　B．3.035 　C．3.037 　D．3.039 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[依题意，×≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C．] 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 9．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 　 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22-x 　 D．y＝ln x＋ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 选项B：因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y＞4，所以选项B不符合题意． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 选项C：因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 选项D：当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意． 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 10．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号， ∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误． 故选BC．] √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 11．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最大值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 ACD　[因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2＝4，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为，所以＝ab≤，故A正确，B错误； ＋＝≤＝，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D正确． 故选ACD．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 12．已知x>1，y>0，且x＋＝2，则＋y的最小值是________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 3＋2　[由x＋＝2，得x－1＋＝1，因为x>1，y>0，所以x－1>0，y>0，所以＋y＝＝3＋(x－1)y＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当(x－1)y＝，即x＝，y＝2＋时等号成立，所以＋y的最小值是3＋2．] 3＋2 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 13．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是___． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 7　[法一：因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，解得x＝＝2＋，故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1≥3＋2＝7，当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立． 法二：因为xy＋x－2y＝4，则(x－2)(y＋1)＝2，且y＋1>0，故x－2>0，故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当2(x－2)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立．] 7　 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 14．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2　[∵a>0，b>0， ∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2， 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， 所以＋＋b的最小值为2．] 2　 题号 考点1 考点2 研习三　不等式 THANK YOU 00000 $$ 　不等式 考点1　不等式的性质 常见的比较大小的方法 (1)作差法：作差与0作比较； (2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)； (3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小； (4)中间值法：取中间值进行大小比较． 1．(教材改编)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　) A．(－π，0) 　 B．(－π，π) C． 　 D． C　[由题得－<α<，－<－β<，∴－π<α－β<π， 又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0， 又－<α<，∴－π<2α－β<．故选C．] 2．(教材改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< 　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 　 D．<<5 C　[对于A，由15<b<18，得<<，又6<a<60，所以<<4，A错误； 对于B，由6<a<60，15<b<18，所以36<a＋2b<96，B错误； 对于C，由15<b<18，则－18<－b<－15，又6<a<60，所以－12<a－b<45，C正确； 对于D，因为＝＋1，又<<4，所以<<5，D错误．故选C．] 3．(教材改编)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 　 B．> C．a2>ab>b2 　 D．> C　[A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误； B选项，－＝＝，因为a>b>0，所以b－a<0，则－<0，故<，故B错误； C选项，a>b>0两边同乘a得a2>ab，两边同乘b得ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确； D选项，因为a>b>0，所以ab>0，a>b>0两边同除以ab得>，故D错误． 故选C．] 4．(2024·山西太原模拟)已知2≤x＋y≤3，－2≤x－y≤－1，则3x＋y的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D．[2，5] D　[由题意4≤2x＋2y≤6，－2≤x－y≤－1，故4－2≤2x＋2y＋x－y≤6－1， 即2≤3x＋y≤5.故选D．] 5．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则(　　) A．a>c>b 　 B．a>b>c C．c>b>a 　 D．b>c>a A　[因为a－c＝－＋＝＝>0，所以a>c． c－b＝－＋＝，因为(2＋)2－(2)2＝4－9＝－>0，且2＋>0，2>0，所以2＋>2，所以c－b>0，所以c>b.故a>c>b.故选A．] 6．(多选)已知a<b<0<c，则下列不等式正确的是(　　) A．< 　 B．a2<c2 C．2a<2c 　 D．logc(－a)<logc(－b) AC　[对于选项A：因为a<b<0，可得<1<，故A正确； 对于选项B：例如a＝－1，c＝1，满足a<b<0<c，但a2＝c2＝1，故B错误； 对于选项C：因为y＝2x在R上单调递增，且a<c，所以2a<2c，故C正确； 对于选项D：例如a＝－2，b＝－1，c＝2，满足a<b<0<c， 但logc(－a)＝log22＝1，logc(－b)＝log21＝0，即logc(－a)>logc(－b)，故D错误． 故选AC．] 考点2　基本不等式 基本不等式求最值的解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值； (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值； (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 提醒：解题时要注意 “一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 1．(教材改编)若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 B　[由题意x＋y＝1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立． 故选B．] 2．(教材改编)已知x>3，则y＝＋2x的最小值是(　　) A．6 　 B．8 C．10 　 D．12 C　[由x－3>0，则y＝＋2(x－3)＋6≥2＋6＝10， 当且仅当x＝4时等号成立，故最小值为10． 故选C．] 3．(多选)(教材改编)下列命题中，为真命题的有(　　) A．∀x>0，x＋≥2 　 B．∃x<0，x＋>－2 C．∀x>0，≥ 　 D．∃x<0，≤－ AD　[对于A，利用基本不等式可得∀x>0，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝1时，等号成立，所以A正确； 对于B，∀x<0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立， 即命题∃x<0，x＋>－2不成立，所以B错误； 对于C，易知∀x>0，＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以C错误； 对于D，易知当x＝－1时，＝－，即∃x<0，≤－，所以D正确. 故选AD．] 4．(教材改编)今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　) A．＝G 　 B．<G C．>G 　 D．不能确定 C　[由题意可得Gl1＝al2，Gl2＝bl1， ∴G2＝ab，又a≠b，∴ab＜， ∴G2<，∴>G.故选C．] 5．(教材改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是(　　) A．[6，＋∞) 　 B．[9，＋∞) C．(0，6] 　 D．(0，9) A　[因为a，b为正数，且ab＝a＋b＋3， 所以ab＝a＋b＋3≤，化简得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6， 当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a＋b的取值范围为[6，＋∞)，故选A．] 6．若a，b∈R，ab>0且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5 A　[因为ab>0且a＋b＝2，所以a＞0，b>0，＋＝(a＋b)＝≥＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立，所以＋的最小值为2.故选A．] 7．(2024·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，4] 　 B．(－∞，4] C． 　 D．(－∞，5] B　[因为不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则∀x∈[1，3]，a≤x＋成立， 而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4].故选B．] 8．(2024·广东湛江二模)当x>0，y>0时，≥．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 　 B．3.035 C．3.037 　 D．3.039 C　[依题意，×≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C．] 9．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 　 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22-x 　 D．y＝ln x＋ C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 选项B：因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝， 即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立， 因此可知y＞4，所以选项B不符合题意． 选项C：因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 选项D：当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意． 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．] 10．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1 BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤， 当且仅当x＝y时取等号， ∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误． 故选BC．] 11．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最大值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 ACD　[因为a>0，b>0且a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2＝4，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为，所以＝ab≤，故A正确，B错误； ＋＝≤＝，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D正确． 故选ACD．] 12．已知x>1，y>0，且x＋＝2，则＋y的最小值是________． 3＋2　[由x＋＝2，得x－1＋＝1， 因为x>1，y>0，所以x－1>0，y>0，所以 ＋y＝ ＝3＋(x－1)y＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当(x－1)y＝，即x＝，y＝2＋时等号成立，所以＋y的最小值是3＋2．] 13．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是________． 7　[法一：因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，解得x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1 ≥3＋2＝7， 当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立． 法二：因为xy＋x－2y＝4，则(x－2)(y＋1)＝2，且y＋1>0，故x－2>0， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当2(x－2)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立．] 14．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 2　[∵a>0，b>0， ∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2， 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， 所以＋＋b的最小值为2．] 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　不等式 考点1　不等式的性质 常见的比较大小的方法 (1)作差法：作差与0作比较； (2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)； (3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小； (4)中间值法：取中间值进行大小比较． 1．(教材改编)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　) A．(－π，0) 　 B．(－π，π) C． 　 D． 2．(教材改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< 　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 　 D．<<5 3．(教材改编)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 　 B．> C．a2>ab>b2 　 D．> 4．(2024·山西太原模拟)已知2≤x＋y≤3，－2≤x－y≤－1，则3x＋y的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D．[2，5] 5．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则(　　) A．a>c>b 　 B．a>b>c C．c>b>a 　 D．b>c>a 6．(多选)已知a<b<0<c，则下列不等式正确的是(　　) A．< 　 B．a2<c2 C．2a<2c 　 D．logc(－a)<logc(－b) 考点2　基本不等式 基本不等式求最值的解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值； (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值； (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 1．(教材改编)若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 2．(教材改编)已知x>3，则y＝＋2x的最小值是(　　) A．6 　 B．8 C．10 　 D．12 3．(多选)(教材改编)下列命题中，为真命题的有(　　) A．∀x>0，x＋≥2 　 B．∃x<0，x＋>－2 C．∀x>0，≥ 　 D．∃x<0，≤－ 4．(教材改编)今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　) A．＝G 　 B．<G C．>G 　 D．不能确定 5．(教材改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是(　　) A．[6，＋∞) 　 B．[9，＋∞) C．(0，6] 　 D．(0，9) 6．若a，b∈R，ab>0且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5 7．(2024·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，4] 　 B．(－∞，4] C． 　 D．(－∞，5] 8．(2024·广东湛江二模)当x>0，y>0时，≥．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 　 B．3.035 C．3.037 　 D．3.039 9．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 　 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22-x 　 D．y＝ln x＋ 10．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最大值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12．已知x>1，y>0，且x＋＝2，则＋y的最小值是________． 13．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是________． 14．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$