02 第一阶段 专题一 研习二 复数、平面向量-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案（基础版）

第一阶段　突破核心　升华思维 专题一　送分考点　自我研习 研习二　复数、平面向量 　考点1　复数 （一） 　考点2　平面向量的线性运算 （二） 　考点3　平面向量的数量积 （三） 研习二　复数、平面向量 考点1　复数 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b. 2．虚数单位i的in(n∈N)周期为4． 3．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算． 提醒：实系数方程的复根成对出现． 1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i 　 B．2i C．10 　 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ A　[由z＝5＋i⇒＋z)＝10i． 故选A．] 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 　 B．1 C． 　 D．2 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ C　[若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 3．(多选)(教材改编)方程x3－x2＋x－1＝0的根是(　　) A．－2i 　 B．1 C．i 　 D．－i 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ BCD　[原方程可化为(x－1)(x2＋1)＝0，所以x＝1或x＝±i.故选BCD．] √ √ 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 4．(教材改编)若复数为实数，则实数m等于(　　) A． 　 B．－1 C．－ 　 D．2 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ D　[＝＝＋i，若复数为实数，则2－m＝0，即m＝2． 故选D．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 5．(教材改编)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i 是虚数单位)对应的点在第二象限， 则(　　) A．m<－1或m>2 　 B．1<m<2 C．－1<m<2 　 D．－2<m<1 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ C　[由z＝＋mi＋m＝＋mi＋m＝m－2＋(m＋1)i， 故有解得－1<m<2.故选C．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i 　 B．－1＋i C．1－i 　 D．1＋i 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ C　[因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 7．(2024·河北石家庄模拟)若(1＋ai)(a－i)>0，a∈R，则(　　) A．a＝1 　 B．a＝±1 C．a≤－1或a≥1 　 D．a≥1 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ A　[(1＋ai)(a－i)＝2a＋(a2－1)i，依题意，2a＋(a2－1)i是正实数，因此 所以a＝1.故选A．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 8．(多选)(2024·福建泉州模拟)已知复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则(　　) A．＝z2 B．z1z2＝1 C．z1z2＝|z1|2 D．在复平面内所对应的点位于第四象限 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ √ 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 AC　[复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则有z1＝－i，z2＝＋i，＝＋i＝z2，A选项正确； z1z2＝－＝＋＝2，B选项错误； |z1|2＝＋＝2，z1z2＝|z1|2，C选项正确； ＝＝＋i，在复平面内所对应的点位于第一象限，D选项错误． 故选AC．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 9．(多选)(2024·山东济南二模)若复数z 满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．|z|＝ B．z的虚部为－i C．z·＝ D．若复数ω满足|ω－2z|＝1，则|ω|的最大值为 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ √ 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 AC　[对于A，因为z(1＋i)＝2－i，所以z＝＝＝－i， 所以|z|＝＝，故A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为－，故B错误； 对于C，因为＝·＝，故C正确； 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 对于D，记复数ω对应的点为A(a，b)，复数2z对应的点为B(1，－3)，则由|ω－2z|＝1可得＝＝1，即点A在以点B为圆心，1为半径的圆上，所以的最大值为＋1＝＋1，即|ω|的最大值为＋1，D错误． 故选AC．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2　[法一(代数法)：设z1＝a＋bi(a∈R，b∈R)，z2＝c＋di(c∈R，d∈R)，∴z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i，∴ 又|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2(ac＋bd)＝4，∴ac＋bd＝－2，∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝＝＝＝2． 2 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 法二(几何法)：如图所示，设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，＝， 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 由已知||＝＝2＝||＝||，∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，∴∠Z1OZ2＝120°，||2＝||2＋||2－2||||cos 120°＝22＋22－2×2×2×＝12． ∴|z1－z2|＝||＝2．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 考点2　平面向量的线性运算 解决平面向量问题的3种常用方法 (1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点⇔＝＋；A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)． (2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题． (3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解． 1．(教材改编)已知不共线的平面向量a，b满足∥，则正数λ＝(　　) A．1 　B． C． 　D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ B　[法一：由已知有1×2＝λ·λ，λ>0，解得λ＝． 法二：设＝μ，μ∈R，由题意解得λ＝．故选B．] 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 2．(教材改编)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 D　[对于A项，＝＝－a＋3b＋a＋3b＝6b与不共线，A错误； 对于B项，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B错误； 对于C项，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C错误； 对于D项，＝＝4a＋6b＋＝3a＋9b＝3，即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确．故选D．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 3．(教材改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝(　　) A． 　B． 　C． 　D． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ A　[＝＝ ＝＋＝()＝，故选A．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 4．(教材改编)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． 　B． 　C．－ 　D．－ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ C　[＝＝()＝＝－＋， 所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－． 故选C．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 5．(2024·安徽合肥模拟)已知O为等边三角形ABC的中心，若＝3a，＝2b，则＝___________．(用a，b表示) 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 －9a－2b　[如图所示，∵O是等边三角形ABC的重心，＝3a，O是△ABC各边中线的交点， ∴＝⇒＝a，∴＝＝a⇒＝－a． 又D为BC的中点，＝2b，∴＝)， ∴＝2，∴＝－9a－2b．] －9a－2b　 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ 　 B．－ C．＋ 　 D．＋ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ A　[法一(直接法)：作出示意图如图所示． ＝＝＝) ＋)＝.故选A． 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 法二(坐标法)：不妨设△ABC为等腰直角三角形， 且∠BAC＝，AB＝AC＝1． 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D，E． 故＝(1，0)，＝(0，1)，＝(1，0)－＝， 即＝－.故选A．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 　B．外心 C．内心 　D．垂心 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ A　[由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图， 可知点P在BC边上的中线所在直线上， ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 8．(2024·江苏苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝(　　) A．－1 　B． 　C． 　D． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ D　[因为a，b为非零向量，所以 即． 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 因为a∥b，所以sin2＝cos2α， 则1－cos ＝2cos 2α，即1＋sin 2α＝2cos 2α， 即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝2cos2α－2sin2α， 由于cos α≠0，所以两边同除以cos2α， 可得3tan2α＋2tan α－1＝0， 解得tan α＝或tan α＝－1(舍去)， 所以sin 2α＝＝＝．故选D．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 9．(2024·浙江宁波模拟)点O在△ABC的内部，且满足：＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是(　　) A． 　B．3 　C． 　D．2 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ C　[因为＝＋，所以＝＋， 即＋2＋2＝0，取AC的中点为点D，则＝2，即4＝－，所以O在中线BD上，且OB＝BD． 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 过O，D分别作边AB上的高，垂足分别为M，N， 则＝＝， 所以S△AOB＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC， 所以S△AOB＝S△ABC， 所以＝．故选C．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 10．如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 　[因为P是BN的中点，所以＝． 所以＝＝＋＝＋()＝＋＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝．] 　 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 平面向量的数量积的运算转换技巧 (1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换． ①若a＝(x，y)，则|a|＝＝． ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． ③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝． (2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题． 考点3　平面向量的数量积 1．(教材改编)已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的值为(　　) A．4 　B．3 　C．2 　D．0 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ C　[由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.故选C．] 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 2．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝＝1，＝3，则＝(　　) A．2 　B．5 　C．2或5 　D．或5 C　[由向量a，b，c两两的夹角相等，得〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0或〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0时，|a＋b＋c|＝5，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝时，|a＋b＋c|＝＝ ＝2.故选C．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 3．(教材改编)已知点O为△ABC的外接圆圆心，＝1，则＝(　　) A． 　B． 　C．2 　D． √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 A　[如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB， 所以＝||·||·cos ∠OAD＝||·(||·cos ∠OAD)＝||·||＝||2＝1，所以||2＝2，所以||＝． 故选A．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 4．(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　　) A．λ＝3 　 B．a∥b C．a⊥ 　 D．a与b的夹角为45° √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ √ 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝(－1，2)，b＝(1，3)，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．故选ACD．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 －16　[法一：如图，设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π－θ． 又＝＝，∴＝()·()＝＝－25－5×3cos θ－3×5cos(π－θ)＋9＝－16． 法二：因为M是BC的中点， 由极化恒等式得：＝||2－||2＝9－×100＝－16．] －16 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 6．若向量a，b满足＝1，＝2，|2a＋b|＝2，则向量a，b夹角的大小为(　　) A． 　B． 　C． 　D． √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 D　[由＝2，两边平方，得＝4a2＋4a·b＋b2＝4， 设向量a，b的夹角为θ，则有4＋8cos θ＋4＝4， 则cos θ＝－，因为0≤θ≤π，故θ＝．故选D．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 7．(2024·浙江绍兴二模)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D．2 √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 B　[由a⊥b，得a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝2λ＋(λ－2)e1·e2－＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝．故选B．] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为(　　) A．[2，6] 　 B．[2，3] C．[4，6] 　 D．[4，8] √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 C　[＝，由投影的定义知cos ∠PAB 即为在上的投影向量的长度，结合图形得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，cos ∠PAB最大为3，此时＝·(||cos ∠PAB)＝2×3＝6． 当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，此时＝＝2×2＝4，∴的取值范围为[4，6].故选C．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 9．(2024·山东济南模拟)已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 　 D．等边三角形 √ 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 D　[∵＝，∴＝， ∴cos 〈〉＝cos 〈〉，∴B＝C， ∴△ABC为等腰三角形． 又∵＝， ∴cos 〈〉＝， ∴cos A＝．又A∈(0，π)，∴A＝， ∴△ABC为等边三角形．故选D．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．] 　 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 11．(2024·江西上饶一模)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为________． 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 [5，7] 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 [5，7]　[由题意可得，＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－1， 当OM与正六边形的边垂直时，||min＝， 当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2， 所以||∈[，2]，则||2∈[6，8]， 即的取值范围为[5，7]．] 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 题号 考点1 考点2 考点3 研习二　复数、平面向量 THANK YOU 研习二　复数、平面向量 $$ 　复数、平面向量 考点1　复数 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b. 2．虚数单位i的in(n∈N)周期为4． 3．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算． 1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i 　 B．2i C．10 　 D．2 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 　 B．1 C． 　 D．2 3．(多选)(教材改编)方程x3－x2＋x－1＝0的根是(　　) A．－2i 　 B．1 C．i 　 D．－i 4．(教材改编)若复数为实数，则实数m等于(　　) A． 　 B．－1 C．－ 　 D．2 5．(教材改编)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i是虚数单位)对应的点在第二象限， 则(　　) A．m<－1或m>2 　 B．1<m<2 C．－1<m<2 　 D．－2<m<1 6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i 　 B．－1＋i C．1－i 　 D．1＋i 7．(2024·河北石家庄模拟)若(1＋ai)(a－i)>0，a∈R，则(　　) A．a＝1 　 B．a＝±1 C．a≤－1或a≥1 　 D．a≥1 8．(多选)(2024·福建泉州模拟)已知复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则(　　) A．＝z2 B．z1z2＝1 C．z1z2＝|z1|2 D．在复平面内所对应的点位于第四象限 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．(多选)(2024·山东济南二模)若复数z 满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．|z|＝ B．z的虚部为－i C．z·＝ D．若复数ω满足|ω－2z|＝1，则|ω|的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 考点2　平面向量的线性运算 解决平面向量问题的3种常用方法 (1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点⇔＝＋；A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)． (2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题． (3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解． 1．(教材改编)已知不共线的平面向量a，b满足∥，则正数λ＝(　　) A．1 　 B． C． 　 D．2 2．(教材改编)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 3．(教材改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 4．(教材改编)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 5．(2024·安徽合肥模拟)已知O为等边三角形ABC的中心，若＝3a，＝2b，则＝________．(用a，b表示) 6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ 　 B．－ C．＋ 　 D．＋ 7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 　 B．外心 C．内心 　 D．垂心 8．(2024·江苏苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝(　　) A．－1 　 B． C． 　 D． 9．(2024·浙江宁波模拟)点O在△ABC的内部，且满足：＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是(　　) A． 　 B．3 C． 　 D．2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点3　平面向量的数量积 平面向量的数量积的运算转换技巧 (1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换． ①若a＝(x，y)，则|a|＝＝． ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． ③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝． (2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题． 1．(教材改编)已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的值为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．0 2．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝＝1，＝3，则＝(　　) A．2 　 B．5 C．2或5 　 D．或5 3．(教材改编)已知点O为△ABC的外接圆圆心，·＝1，则＝(　　) A． 　 B． C．2 　 D． 4．(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　　) A．λ＝3 　 B．a∥b C．a⊥ 　 D．a与b的夹角为45° 5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 6．若向量a，b满足＝1，＝2，|2a＋b|＝2，则向量a，b夹角的大小为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 7．(2024·浙江绍兴二模)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D．2 8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则·的取值范围为(　　) A．[2，6] 　 B．[2，3] C．[4，6] 　 D．[4，8] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．(2024·山东济南模拟)已知非零向量满足＝，且·＝，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 　 D．等边三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 11．(2024·江西上饶一模)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　复数、平面向量 考点1　复数 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b. 2．虚数单位i的in(n∈N)周期为4． 3．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算． 提醒：实系数方程的复根成对出现． 1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i 　 B．2i C．10 　 D．2 A　[由z＝5＋i⇒＋z)＝10i． 故选A．] 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 　 B．1 C． 　 D．2 C　[若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．] 3．(多选)(教材改编)方程x3－x2＋x－1＝0的根是(　　) A．－2i 　 B．1 C．i 　 D．－i BCD　[原方程可化为(x－1)(x2＋1)＝0，所以x＝1或x＝±i.故选BCD．] 4．(教材改编)若复数为实数，则实数m等于(　　) A． 　 B．－1 C．－ 　 D．2 D　[＝＝＋i，若复数为实数，则2－m＝0，即m＝2． 故选D．] 5．(教材改编)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i 是虚数单位)对应的点在第二象限， 则(　　) A．m<－1或m>2 　 B．1<m<2 C．－1<m<2 　 D．－2<m<1 C　[由z＝＋mi＋m＝＋mi＋m＝m－2＋(m＋1)i， 故有解得－1<m<2.故选C．] 6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i 　 B．－1＋i C．1－i 　 D．1＋i C　[因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C．] 7．(2024·河北石家庄模拟)若(1＋ai)(a－i)>0，a∈R，则(　　) A．a＝1 　 B．a＝±1 C．a≤－1或a≥1 　 D．a≥1 A　[(1＋ai)(a－i)＝2a＋(a2－1)i，依题意，2a＋(a2－1)i是正实数，因此 所以a＝1.故选A．] 8．(多选)(2024·福建泉州模拟)已知复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则(　　) A．＝z2 B．z1z2＝1 C．z1z2＝|z1|2 D．在复平面内所对应的点位于第四象限 AC　[复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则有z1＝－i，z2＝＋i， ＝＋i＝z2，A选项正确； z1z2＝－＝＋＝2，B选项错误； |z1|2＝＋＝2，z1z2＝|z1|2，C选项正确； ＝＝＋i，在复平面内所对应的点位于第一象限，D选项错误． 故选AC．] 9．(多选)(2024·山东济南二模)若复数z 满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．|z|＝ B．z的虚部为－i C．z·＝ D．若复数ω满足|ω－2z|＝1，则|ω|的最大值为 AC　[对于A，因为z(1＋i)＝2－i，所以z＝＝＝－i， 所以|z|＝＝，故A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为－，故B错误； 对于C，因为＝·＝，故C正确； 对于D，记复数ω对应的点为A(a，b)，复数2z对应的点为B(1，－3)， 则由|ω－2z|＝1可得＝＝1，即点A在以点B为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为＋1＝＋1，即|ω|的最大值为＋1，D错误． 故选AC．] 10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 2　[法一(代数法)：设z1＝a＋bi(a∈R，b∈R)，z2＝c＋di(c∈R，d∈R)， ∴z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i， ∴ 又|z1|＝|z2|＝2， ∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4， ∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2(ac＋bd)＝4， ∴ac＋bd＝－2， ∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i| ＝＝ ＝＝2． 法二(几何法)：如图所示，设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，＝， 由已知||＝＝2＝||＝||，∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，∴∠Z1OZ2＝120°，||2＝||2＋||2－2||||cos 120°＝22＋22－2×2×2×＝12． ∴|z1－z2|＝||＝2．] 考点2　平面向量的线性运算 解决平面向量问题的3种常用方法 (1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点⇔＝＋；A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)． (2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题． (3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解． 1．(教材改编)已知不共线的平面向量a，b满足∥，则正数λ＝(　　) A．1 　 B． C． 　 D．2 B　[法一：由已知有1×2＝λ·λ，λ>0，解得λ＝． 法二：设＝μ，μ∈R，由题意解得λ＝． 故选B．] 2．(教材改编)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 D　[对于A项，＝＝－a＋3b＋a＋3b＝6b与不共线，A错误； 对于B项，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B错误； 对于C项，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C错误； 对于D项，＝＝4a＋6b＋＝3a＋9b＝3， 即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确．故选D．] 3．(教材改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[＝＝ ＝＋＝()＝，故选A．] 4．(教材改编)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ C　[＝＝()＝＝－＋， 所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－． 故选C．] 5．(2024·安徽合肥模拟)已知O为等边三角形ABC的中心，若＝3a，＝2b，则＝________．(用a，b表示) －9a－2b　[如图所示，∵O是等边三角形ABC的重心，＝3a，O是△ABC各边中线的交点， ∴＝⇒＝a，∴＝＝a⇒＝－a． 又D为BC的中点，＝2b，∴＝)，∴＝2，∴＝－9a－2b．] 6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ 　 B．－ C．＋ 　 D．＋ A　[法一(直接法)：作出示意图如图所示． ＝＝＝)＋)＝.故选A． 法二(坐标法)：不妨设△ABC为等腰直角三角形， 且∠BAC＝，AB＝AC＝1． 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D，E． 故＝(1，0)，＝(0，1)，＝(1，0)－＝， 即＝－.故选A．] 7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 　 B．外心 C．内心 　 D．垂心 A　[由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图， 可知点P在BC边上的中线所在直线上， ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．] 8．(2024·江苏苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝(　　) A．－1 　 B． C． 　 D． D　[因为a，b为非零向量，所以 即． 因为a∥b，所以sin2＝cos2α， 则1－cos ＝2cos 2α，即1＋sin 2α＝2cos 2α， 即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝2cos2α－2sin2α， 由于cos α≠0，所以两边同除以cos2α， 可得3tan2α＋2tan α－1＝0， 解得tan α＝或tan α＝－1(舍去)， 所以sin 2α＝＝＝．故选D．] 9．(2024·浙江宁波模拟)点O在△ABC的内部，且满足：＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是(　　) A． 　 B．3 C． 　 D．2 C　[因为＝＋， 所以＝＋， 即＋2＋2＝0，取AC的中点为点D， 则＝2，即4＝－， 所以O在中线BD上，且OB＝BD． 过O，D分别作边AB上的高，垂足分别为M，N， 则＝＝，所以S△AOB＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC， 所以S△AOB＝S△ABC，所以＝．故选C．] 10．如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 　[因为P是BN的中点，所以＝． 所以＝＝＋＝＋()＝＋＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝．] 考点3　平面向量的数量积 平面向量的数量积的运算转换技巧 (1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换． ①若a＝(x，y)，则|a|＝＝． ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． ③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝． (2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题． 1．(教材改编)已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的值为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．0 C　[由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.故选C．] 2．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝＝1，＝3，则＝(　　) A．2 　 B．5 C．2或5 　 D．或5 C　[由向量a，b，c两两的夹角相等，得〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0或〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0时，|a＋b＋c|＝5，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝时，|a＋b＋c|＝＝＝2.故选C．] 3．(教材改编)已知点O为△ABC的外接圆圆心，·＝1，则＝(　　) A． 　 B． C．2 　 D． A　[如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB， 所以·＝||·||·cos ∠OAD＝||·(||·cos ∠OAD)＝||·||＝||2＝1，所以||2＝2，所以||＝．故选A．] 4．(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　　) A．λ＝3 　 B．a∥b C．a⊥ 　 D．a与b的夹角为45° ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即·＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝(－1，2)，b＝(1，3)，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．故选ACD．] 5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． －16　[法一：如图，设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π－θ． 又＝＝， ∴·＝()·()＝···＝－25－5×3cos θ－3×5cos(π－θ)＋9＝－16． 法二：因为M是BC的中点， 由极化恒等式得：·＝||2－||2＝9－×100＝－16．] 6．若向量a，b满足＝1，＝2，|2a＋b|＝2，则向量a，b夹角的大小为(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[由＝2，两边平方，得＝4a2＋4a·b＋b2＝4， 设向量a，b的夹角为θ，则有4＋8cos θ＋4＝4， 则cos θ＝－，因为0≤θ≤π，故θ＝．故选D．] 7．(2024·浙江绍兴二模)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D．2 B　[由a⊥b，得a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝2λ＋(λ－2)e1·e2－＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝．故选B．] 8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则·的取值范围为(　　) A．[2，6] 　 B．[2，3] C．[4，6] 　 D．[4，8] C　[·＝·，由投影的定义知cos ∠PAB即为在上的投影向量的长度，结合图形得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，cos ∠PAB最大为3，此时·＝·(||cos ∠PAB)＝2×3＝6． 当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，此时·＝·＝2×2＝4，∴·的取值范围为[4，6].故选C．] 9．(2024·山东济南模拟)已知非零向量满足＝，且·＝，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 　 D．等边三角形 D　[∵＝， ∴＝， ∴cos 〈〉＝cos 〈〉， ∴B＝C， ∴△ABC为等腰三角形． 又∵·＝， ∴cos 〈〉＝， ∴cos A＝．又A∈(0，π)，∴A＝， ∴△ABC为等边三角形．故选D．] 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．] 11．(2024·江西上饶一模)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为________． [5，7]　[由题意可得，·＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－1， 当OM与正六边形的边垂直时，||min＝， 当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2， 所以||∈[，2]，则||2∈[6，8]， 即·的取值范围为[5，7]．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$