精品解析：吉林省长春市德惠市第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再列出方程求解. 【详解】函数，求导得，而， 因此，解得， 所以的值为. 故选：B 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A 3. 现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 120种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】将捆绑在一起，看成一个整体，与进行全排列，产生4个空，然后去插空，再根据分步乘法原理可求得结果. 【详解】将捆绑在一起，看成一个整体，与进行全排列，有种排法， 排完后有4个空，用去插这4个空，有种方法， 由分步乘法原理可知共有种排列方式. 故选：A 4. 若，则（    ） A. B. 41 C. D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法得到，，进而可得. 【详解】设， 则，， ， 故选：B 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式求答对题目的概率. 【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 7. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 8. 某公司参加两个项目的招标，项目招标成功的概率为，项目招标成功的概率为，每个项目招标成功可获利万元，招标不成功将损失万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】公司招标中获利X万元为随机变量，求出其可能取值及对应概率即可计算作答. 【详解】该公司在这两个项目的招标中获利万元为随机变量，其可能值为：40，18，-4， 则，，， 于是得， 所以该公司在这两个项目的招标中获利的期望为18万元. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ） A. 是的极小值点 B. C. 函数在上有极大值 D. 函数有三个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图像可得有三个零点，但附近导函数同号可知不是极值点从而判断AD；由在上，上的单调性可以判断BC. 【详解】当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确； 当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确； 当时，，单调递增，于是附近导函数不变号，因此不是的极值点，只有当和时函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确， 故选：ACD 10. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解. 【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误； 对于选项C：因为展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为，故C正确； 对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误； 故选：AC. 11. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解. 【详解】由题意可知：， 随机变量X的分布列为 X 0 1 P 由两点分布可知：，故A正确，D错误； 所以，，故B正确，C错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正整数，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得. 【详解】由，，得或，解得或， 而，解得，， 所以. 故答案为：2 13. 袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先设事件A、B，写出，；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案. 【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”. 则， 所以 故答案为： 14. 函数值域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数求得函数的单调性，即可求得值域. 【详解】由题意可得， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数单调区间和极值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，，减区间为，极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）根据函数单调性可得函数的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由已知，则， 令，解得或， 则 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 函数的极大值为，极小值为； 【小问2详解】 由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，的最小值为， 即，解得， 即实数的取值范围是. 16. 已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. （1）求的值； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理的展开式通项和二项式系数得出. （2）写出通项，令的指数为4，求出结果即可. 【小问1详解】 由题知：，解得. 【小问2详解】 ，，， 令，得，所以展开式中含有的项为： 17. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； （3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【答案】（1）5400种 （2）3360种 （3）360种 【解析】 【分析】（1）先选后排，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可； （2）先选后排，先安排该男生，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）根据分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种， 共（种）． 【小问2详解】 先选后排，但先安排该男生，有（种）． 【小问3详解】 先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）． 18. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 【答案】（1）见解析 （2）期望为，方差为. 【解析】 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列； (2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差． 【小问1详解】 由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】由(1)的分布列得， ． 19. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【小问1详解】 甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为， 所以分布列为 2 3 4 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 3. 现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 120种 D. 72种 4. 若，则（    ） A. B. 41 C. D. 82 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A 60 B. 90 C. 150 D. 240 7. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司参加两个项目的招标，项目招标成功的概率为，项目招标成功的概率为，每个项目招标成功可获利万元，招标不成功将损失万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ） A. 是的极小值点 B. C. 函数在上有极大值 D. 函数有三个极值点 10. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 11. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正整数，若，则______. 13. 袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是__________. 14. 函数的值域是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若对恒成立，求实数取值范围. 16. 已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. （1）求的值； （2）求展开式中含的项. 17. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； （3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 18. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 19. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $