特训08 等腰三角形 压轴题（十大题型，上海精选+其他补充）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训08 等腰三角形 压轴题（十大题型，上海精选+其他补充） 目录： 题型1：压轴题中简单的“手拉手、肩并肩”模型、分类讨论 题型2：（类）“手拉手、肩并肩”模型 题型3：线段的垂直平分线在等腰三角形的应用 题型4：动点问题 题型5：旋转问题 题型6：截长补短问题 题型7：分类讨论 题型8：构造全等三角形（且含截长补短思想） 题型9：新定义题 题型10：情景探究题+数学活动题 题型1：压轴题中简单的“手拉手、肩并肩”模型、分类讨论 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知：如图1在等边三角形中，点D、E分别在边的延长线上，且，联结． (1)求证：； (2)如果将绕着点逆时针旋转（如图2），此时点与点重合，点落在点G处，联结，求证：是等边三角形． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 题型2：（类）“手拉手、肩并肩”模型 5．（2025七年级下·上海·统考新编）（1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 6．（21-22八年级上·上海·期中）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 7．（24-25八年级上·上海·期中）如图（）所示，已知在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作等腰直角．解答下列问题： (1)如果，． ①如图（）所示，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图（）所示，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，如果不成立，请说明理由，如果成立，请加以证明． (2)如图（）所示，如果，，点在线段上运动．试探究：当时，吗（点，重合除外）？请说明理由． 题型3：线段的垂直平分线在等腰三角形的应用 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 9．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，四边形中，，联结，且，分别作于点，于点，垂足分别为、．      (1)如图1，当为的平分线时，试说明：； (2)如图2，延长、交于点， ①直接写出线段、、之间的数量关系______； ②联结，若，求四边形的面积． 题型4：动点问题 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； (1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． (2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 11．（20-21八年级上·上海·期中）中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 题型5：旋转问题 12．（22-23七年级下·上海黄浦·阶段练习）已知：点D是边所在直线上的一个动点（点D与点B,C不重合），，，连接，点D绕点A顺时针转得到点E，连接、、．    (1)如图1，当点D在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点D在线段上，且时，直接写出四边形的面积； (3)点D绕点A逆时针转得到点F，连接、、，当时，直接写出的度数． 13．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知（其中点、点，点、点，点、点分别对应），，； (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数． 题型6：截长补短问题 14．（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 15．（2025七年级下·上海·专题练习）1．是等边三角形，点为射线上一点，连接，，．    (1)如图1，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）． 题型7：分类讨论 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 题型8：构造全等三角形（且含截长补短思想） 17．（20-21七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，AB＝AC，点D为边AC上的一点，点E为线段BD上一点． (1)如图（1），若，延长AE交BC于点F，BC边的高AG交BD于点H． ①若BD为的平分线，求证：． ②若BD为的中线，联结DF，求证：． (2)如图（2），若AE＝AD，过点B作，交AE延长线于点M，过点D作于Q，求证：AB＝BM＋QD． 题型9：新定义题 18．（2022七年级下·上海·专题练习）如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”． (1)小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，连接AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由； (2)如小明研究结果可以总结为： 　 　，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结） (3)如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为　 　度．（直接写出结果即可） 19．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 题型10：情景探究题+数学活动题 20．（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 21．（2025七年级下·上海·专题练习）【问题情境】 （1）如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； （3）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 22．（24-25八年级上·辽宁·期末）【问题初探】    （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等边中，点在边上，连接，点在上，连接．，连接，若，求证：． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小丽同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都利用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1的条件进行一般化，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，连接，点在上，连接，，连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点在边上（），点关于直线的对称点为点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求的度数； 求证：． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 等腰三角形 压轴题（十大题型，上海精选+其他补充） 目录： 题型1：压轴题中简单的“手拉手、肩并肩”模型、分类讨论 题型2：（类）“手拉手、肩并肩”模型 题型3：线段的垂直平分线在等腰三角形的应用 题型4：动点问题 题型5：旋转问题 题型6：截长补短问题 题型7：分类讨论 题型8：构造全等三角形（且含截长补短思想） 题型9：新定义题 题型10：情景探究题+数学活动题 题型1：压轴题中简单的“手拉手、肩并肩”模型、分类讨论 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知：如图1在等边三角形中，点D、E分别在边的延长线上，且，联结． (1)求证：； (2)如果将绕着点逆时针旋转（如图2），此时点与点重合，点落在点G处，联结，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转不变性是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知、，得出，结合可证可得结论； （2）由得、，由得、，据此知、，由可得答案． 【解析】（1）证明：如图1中， ∵是等边三角形（已知）， ∴，（等边三角形的性质）． ∴，（邻补角的意义）， ∴（等角的补角相等）． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2中， ∵是绕着点B逆时针旋转得到的， ∴． ∴，． ∵， ∴，． ∴，， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． 即． ∴是等边三角形． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 【解析】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 题型2：（类）“手拉手、肩并肩”模型 5．（2025七年级下·上海·统考新编）（1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 【答案】（1）①，证明见解析；②；（2）①；② 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，即可得到结论；②由全等三角形的性质得到．求出，得出，从而证； （2）①证明，得出，进一步得到；②由全等三角形的性质得到再证明，即可得到． 【解析】（1）解：①， 证明如下：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴ ②∵ ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：① ∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ②∵ ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 故答案为： 6．（21-22八年级上·上海·期中）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60； 【分析】（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明； （2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解； （3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解； （4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案． 【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60° ∴，， ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴ ∴ 和中 ∴ ∴ ∴为等边三角形； （2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC ∴为等边三角形； ∴ 根据题意，AE和CD相交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：； （3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC ∴为等边三角形； ∴ ∵，，∠ABC＝∠DBE＝60° ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴ ∴ 如图，延长，交CD于点O ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：； （4）∵BA＝BC， ∴ ∵∠ACB＝60° ∴ ∴为等边三角形 ∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ∴ ∵， ∴ 和中 ∴ ∴ 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图： ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解． 7．（24-25八年级上·上海·期中）如图（）所示，已知在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作等腰直角．解答下列问题： (1)如果，． ①如图（）所示，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图（）所示，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，如果不成立，请说明理由，如果成立，请加以证明． (2)如图（）所示，如果，，点在线段上运动．试探究：当时，吗（点，重合除外）？请说明理由． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，即可求证；②方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，分当点在点右边时，和当点在点左边时，两种情况，再同（1）中方法证明即可得． 【解析】（1）解：①∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，，； （2）解：过点作，交于点， 当点在点右边时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点左边时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得，当时，． 题型3：线段的垂直平分线在等腰三角形的应用 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 【答案】(1)，证明见解析； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证； （2）设，则，根据折叠的性质，，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，列出方程，即可求解； （3）延长至，连接，使得，证明，即可得证． 【解析】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （3），证明如下， 如图所示，延长至，连接，使得 ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，四边形中，，联结，且，分别作于点，于点，垂足分别为、．      (1)如图1，当为的平分线时，试说明：； (2)如图2，延长、交于点， ①直接写出线段、、之间的数量关系______； ②联结，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②64 【分析】（1）利用和得到即可得出结论； （2）①利用三角形内角和性质得到的度数，从而得出是等腰直角三角形，由即可得到结果； ②根据即可求解． 【解析】（1）证明：∵是是平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：①； ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②由①知是等腰直角三角形，    ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型4：动点问题 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； (1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． (2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②成立，画图及证明见解析 【分析】（1）由等边三角形性质可得，由平行线的性质可得，得出，由等边三角形判定得出；再证明，，再由题意得出，最后可得结论； （2）①作，交直线的延长线于点，易证，可得，，可证，可得，即，等量代换得，； ②作，交直线的延长线于点，连接，．再依照①证明即可． 【解析】（1）解：，理由如下： 如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， ， 点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同． ， ； （2）解：①如图1，作，交直线的延长线于点， 又于， ， 点、做匀速运动且速度相同， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ， ， ， ； ②结论还成立．理由如下： 如图2，作，交的延长线于点，连接，． 同①可得， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质是解答本题的关键． 11．（20-21八年级上·上海·期中）中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边三角形； (2)为等腰三角形，见解析； 为等腰三角形，图见解析． 【分析】根据已知条件可以判断和为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用证明，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质，所以可得，所以可证为等边三角形； 当为等腰三角形，点在线段上移动时，可证，所以可得，根据平行线的性质可得，从而可证为等腰三角形； 当点在线段的延长线上移动时，仿照可证为等腰三角形． 【解析】（1）解：，，， 和为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）解：为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形， ， 如下图所示，点为射线上一个动点（不与、重合）， 以为一边向的左侧作，使，， 过点作的平行线，交直线于点，连接， 为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解决本题的关键在于根据题意画出图形，证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等、对应边相等可推出结论． 题型5：旋转问题 12．（22-23七年级下·上海黄浦·阶段练习）已知：点D是边所在直线上的一个动点（点D与点B,C不重合），，，连接，点D绕点A顺时针转得到点E，连接、、．    (1)如图1，当点D在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点D在线段上，且时，直接写出四边形的面积； (3)点D绕点A逆时针转得到点F，连接、、，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等式性质证明即，证明可得证． （2）根据等式性质证明即，证明，继而得到，结合得到，根据计算即可． （3）分点D在线段上，在线段的延长线上，在线段的延长线上求解即可． 【解析】（1）线段与线段之间的关系是且．理由如下： 设与的交点是F， ∵，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段之间的关系是且． （2）∵，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴； 在线段的延长线上时，   ，不满足条件， 故或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判断和性质，分类思想，熟练掌握等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 13．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知（其中点、点，点、点，点、点分别对应），，； (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得出，再根据等边对等角，得出，进而得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，即可得到结论； （3）在上取一点，使得，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，进而得出，设，，则，再根据等边对等角，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，得到的关系即可． 【解析】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键． 题型6：截长补短问题 14．（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1) (2)， (3)猜想：（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可表示出的周长，最后根据是周长为9的等边三角形即可得到答案； （2）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案； （3）延长至，使，连接，，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案． 【解析】（1）解：如图1，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， ， 故答案为：6； （2）解：如图，、、之间的数量关系，此时， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， 故答案为：，； （3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立， 证明：如图2，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建与已知和所求相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键． 15.（2025七年级下·上海·专题练习）是等边三角形，点为射线上一点，连接，，．    (1)如图1，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，由等腰三角形三线合一的性质可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点作．交射线于F，证明和，即可解答 【解析】（1）证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点E作交边的延长线于点F，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （3）解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F，    同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F，    同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型7：分类讨论 16．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【解析】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型8：构造全等三角形（且含截长补短思想） 17．（20-21七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，AB＝AC，点D为边AC上的一点，点E为线段BD上一点． (1)如图（1），若，延长AE交BC于点F，BC边的高AG交BD于点H． ①若BD为的平分线，求证：． ②若BD为的中线，联结DF，求证：． (2)如图（2），若AE＝AD，过点B作，交AE延长线于点M，过点D作于Q，求证：AB＝BM＋QD． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得出，再根据角之间的关系得出，再得出，从而得出，再根据三线合一的性质得出，从而证明；②过C作交AF延长线于N，根据角之间的关系得出，再证明，从而得出，AD＝CN，再证明，从而证明； （2）过点E作于点P，证明，从而得出，，再根据角之间的关系得出，从而证明，最后得出． 【解析】（1）解：∵AB＝AC，，AG是BC边上的高， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴BH＝AF， ∵，BE平分， ∴， 在与中 ∴≌ ∴ ∴． ②过点C作交AF延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴，AD＝CN， ∵BD是中线， ∴AD＝CD， ∴CD＝CN， ∵AB＝AC，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴ ∴ （2）解：过点E作于点P， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵，∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴AP＝DQ，， ∵，， ∴， ∵AE＝AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴BP＝BM， ∵AB＝BP＋AP， ∴AB＝BM＋QD． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及全等的判定，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等的判定是解答此题的关键． 题型9：新定义题 18．（2022七年级下·上海·专题练习）如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”． (1)小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，连接AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由； (2)如小明研究结果可以总结为： 　 　，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结） (3)如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为　 　度．（直接写出结果即可） 【答案】(1)见解析 (2)若三角形的一个内角是另一个内角的3倍；当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”（答案不唯一） (3)36或90或108或 【分析】（1）利用角的和差计算、三角形外角的性质证明∠BAD＝∠ADB＝2∠C，推出△ADB，△ADC是等腰三角形，根据“活三角形”的定义判断即可． （2）当一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”；利用三角形外角的性质可以证明：当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”． （3）分类讨论，根据“活三角形”的定义，画出大致图形，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理逐个求解即可． 【解析】（1）证明：∵∠DAC＝∠C，∠BAC＝3∠C， ∴∠BAD＝2∠C， ∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C， ∴∠BAD＝∠ADB， ∴△ADB，△ADC是等腰三角形， ∴△ABC是“活三角形”，直线AD称为该“活三角形”的“生命线”． （2）解：如小明研究结果可以总结为：当一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”． 其它特征：当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”． 比如：∠B＝2∠C时， 在BC上取一上D，连接AD，令∠DAC＝∠C， ∴DA＝DC， ∴△ADC是等腰三角形， ∵∠ADC＝∠DAC+∠C ＝2∠C， ∴∠B＝∠ADC， ∴AB＝AD， ∴△ADB是等腰三角形， ∴△ABC是“活三角形”． （3）解：如图1， 当过顶角∠C的顶点的直线CD把等腰△ABC分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD， 设∠A＝x°， 则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°， ∴∠BCD＝∠B＝x°， ∵∠A+∠ACB+∠B＝180° ∴x+x+x+x＝180， 解得x＝45， 则顶角∠ACB＝90°． （2）如图2， 当AC＝CD＝AB，BD＝AD时， 设∠B＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝x°， ∵BD＝AD， ∴∠BAD＝∠B＝x°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°， ∵AC＝DC， ∴∠ADC＝∠CAD＝2x°， ∴∠BAC＝3x°， ∵∠C+∠B+∠BAC＝180°， ∴x+x+3x＝180， 解得x＝36°， 则顶角∠BAC＝108°． （3）如图3， 当过底角∠CAB的角平分线AD把△ABC分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD， 设∠C＝x°， ∵AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝x°， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝2x°， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B＝2x°， ∵∠CAB+∠B+∠C＝180°， ∴2x+2x+x＝180， 解得x＝36， 则顶角∠C＝36°． （4）如图4， 当∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠CAD时，则有AC＝BC，AB＝DB＝CD， 设∠C＝x°， ∴∠CAD＝∠C＝x°， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°， ∴∠BAD＝∠ADB＝2x°， ∴∠BAC＝∠DAB+∠CAD＝3x°， ∴∠B＝∠BAC＝3x°， ∵∠BAC +∠B+∠C＝180°， ∴3x+3x+x＝180， 解得x＝， 则顶角∠C＝． 综上所述，满足条件的顶角的度数为90°，108°，36°，． 故答案为36或90或108或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 19．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【解析】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 题型10：情景探究题+数学活动题 20．（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）①②见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．掌握一线三等角全等模型，是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）①等边三角形的性质，推出，同（2）得到，进而推出，；②根据，得到，，推出，即可得出结论． 【解析】解：（1）如图1，直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①如图3，∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ，，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， 综上：全等的图形有； ②为等边三角形，理由如下： ∵ ，， ， 为等边三角形． 21．（2025七年级下·上海·专题练习）【问题情境】 （1）如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； （3）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，即可得解； （3）在上取点，使，连接，，证明得，，进而求得，所以，求得，由，得，最后根据即可得解． 【解析】解：（1）， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2），，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）在上取点，使，连接，如图， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 22．（24-25八年级上·辽宁·期末）【问题初探】    （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等边中，点在边上，连接，点在上，连接．，连接，若，求证：． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小丽同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都利用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1的条件进行一般化，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，连接，点在上，连接，，连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点在边上（），点关于直线的对称点为点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求的度数； 求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3），②见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）在上截取，连接，可证明，从而得出，，进而得出，从而得出，即可证明； 在上截取，连接，可证明，从而得出，进而得出，从而得出，，进一步得出结论； （2）在上截取，连接，可证得，从而得出， ，进而得出，从而得出，从而得出结论； （3）①如图（5），连接，，可得，进而可得，从而得出，从而得出，即可得解；在上截取，连接，可得，利用进一步证明，即可求得． 【解析】解：（1）选择小明同学的解题思路， 证明：如图（1），在上截取，连接，   ，是等边三角形， ，， 又， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 选择小丽同学的解题思路， 证明：如图（2），在上截取，连接，   ，是等边三角形， ，， 又， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）方法一：如图（3），在上截取，连接，   ，，， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法二：如图（4），在上截取，连接，   ，，， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图（5），连接，，   ，点与点关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线， ， 是等边三角形 ， ， ， ，垂直平分， ， 是等边三角形． ， ， ，，， ， ； 证明：如图（5），在上截取，连接，   ， 由（1）得， 是等边三角形， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$