专题03 统计与概率（江苏专用）-2025年江苏中考数学预测专项突破

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题03 统计与概率（江苏专用） ❆数据收集与处理（高频考点） ①抽样与普查：考查对“全面调查”和“抽样调查”的适用场景判断；②统计图表分析：条形图/扇形图/折线图需结合图表提取信息，计算频数、频率或圆心角； ❆数据分析（高频考点） ①集中趋势与离散程度：平均数：加权平均数计算(如成绩等级换算为分数后的平均分)；中位数：需排序后确定中间值；众数：识别数据中出现次数最多的值；方差：比较数据波动性；②实验与调查设计：设计合理抽样方案；计算样本容量或估计总体； ❆概率（高频考点） ①事件类型判断：必然事件、不可能事件、随机事件；②概率计算与应用：列举法/树状图计算简单事件概率；游戏公平性：通过概率比较判断规则是否合理；③频率与概率关系：理解频率稳定性； 题型一：全面调查与抽样调查（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．考察人们保护海洋的意识 D．了解全班同学的视力状况 2．（2024·江苏南通·二模）以下调查中，最适宜采用抽样调查的是（    ） A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．了解某班学生的身高情况 C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛 D．企业招聘，对应聘人员进行面试 3．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查一批手机的防摔能力采用普查 B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500 C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件 D．与不是同类二次根式 4．（2024·江苏无锡·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据的中位数是 B．“明天下雨”是不可能事件 C．为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式 D．某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 5．（2024·江苏泰州·一模）下列调查中，最适合采用普查方式的是(   ) A．调查某品牌电视的使用寿命 B．调查某品牌手机的市场占有率 C．调查某校九（1）班男女比例 D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果 6．（2023·江苏扬州·模拟预测）下列调查中，适宜采用普查方式的是（    ） A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．检查神舟号载人飞船的各零部件 D．考察人们保护海洋的意识 7．（2023·江苏宿迁·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．为了解我市中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式 B．与不是同类二次根式 C．天气预报说明天的降水概率是5%，则明天一定不会下雨 D．一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数解析式为 8．（2024·江苏无锡·一模）某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（    ） A．总体是全校965名学生 B．个体是每名学生的课外作业负担情况 C．样本是100 D．样本容量是100名 9．（2024·江苏宿迁·二模）下列说法中正确的是（　　） A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 C．一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 D．若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 10．（2025·江苏盐城·一模）为了了解某市参加中考的67000名学生的身高情况，抽查了其中1800名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（   ） A．1800名学生的身高情况是总体的一个样本 B．67000名学生的身高情况是总体 C．每名学生是总体的一个个体 D．样本容量是1800 题型二：条形统计图、扇形统计图、折线统计图（高频考点） 1．（2024·江苏南京·一模）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（    ） A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数 C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数 2．（2023·江苏常州·一模）“春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（   ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 3．（2023·江苏徐州·三模）如图反映了我市2018－2022年生产总值（GDP）（单位：亿元）与其年增长率（%）的统计图．    下列结论不正确的是（    ） A．这5年中，我市生产总值（GDP）及其年增长率均逐年增加 B．这5年中，2021年的生产总值（GDP）的年增长率最大 C．这5年中，我市生产总值的年增长率的中位数是 D．这5年中，我市生产总值（GDP）的平均值超过7500亿元 4．（2023·江苏泰州·二模）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计图，在这个月每天所走的步数这组数据中，众数是（    ）万步    A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 5．（2024·江苏苏州·二模）某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（    ） A．80人 B．200人 C．120人 D．300人 6．（2023·江苏镇江·一模）为推进大运河文化的保护、传承和利用，某校组织学生开展“走进大运河”知识竞赛活动（满分为100分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）并进行整理和描述，成绩为整数，用x表示，共分成四个等级：A：：B：；C：；D：，20名学生成绩扇形统计图如图，其中B等级的具体数据是：94，92，92，90，94，92，92．所抽取的20名学生的竞赛成绩的中位数为（　　） A．92 B．93 C．94 D．无法确定 7．（2023·江苏苏州·一模）某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（    ） A．64人 B．65人 C．66人 D．67人 8．（2025·江苏盐城·一模）网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 9．（2024·江苏徐州·三模）如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（    ） A．周五的日最高气温最高 B．周五到周日的日最高气温持续降低 C．这周的日最高气温最低为 D．周二与周四的日最高气温相同 题型三：频数和频率（高频考点） 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）在单词（数学）中字母“a”出现的频率是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）每年的月日是“世界读书日”，某班级开展“共读一本好书”读书活动，统计了月份该班同学阅读课外书的数量，并进行整理后绘制统计表（如图所示），下列说法错误的是（　　） 组别 数量x（单位：本） 人数 A．该班总人数是人 B．该班阅读课外书不少于本的人数超过了 C．该班同学阅读课外书的数量的中位数落在组别中 D．组别人数所占百分比是 3．（2024·江苏扬州·三模）中国东方航空（China Eastern Airlines）仅用三年多的时间就开通了飞往美国和西欧的航线．其英文中出现的频数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 4．（2023·江苏扬州·三模）山东航空（）把“确保安全，狠抓效益，力求正点，优质服务”放在首位．它开通飞往全国50多个大中城市航班，并开通韩国国际航线．山航与中国国际航空实现代码共享．航线联营，航材共享和支援，信息管理与系统开发．管理交流与合作．培训业务等方面合作．山东航空的英文（）中字母“n”出现的频数为几？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·江苏扬州·三模）深圳航空（）二字代码为ZH．2012年，深航加入星空联盟，提高了国际知名度，开启了深航国际航线发展快车道．目前，旅客可选乘深航及联盟成员21000多个航班，无缝中转通达190多个国家和地区，超过1300个目的地．深航（）的英文中字母“e”出现的频数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·江苏泰州·一模）将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 7．（2024·江苏盐城·三模）在句子“好好学习，天天向上！”中，“好”出现的频率是 ． 8．（2024·江苏盐城·二模）从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中70~80分数段的条形还未画出．如果60分以上（含60分）为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为 ． 9．（2024·江苏泰州·二模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有 个． 10．（2023·江苏镇江·二模）已知一组数据的最大值是256，最小值是200，画频数分布直方图时，若设定组距为6，则这组数据应分成 组． 题型四：算术平均数和加权平均数（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）为了解九年级某班学生中考英语口语人机对话水平，对该班学生进行模拟测试，从该班学生中随机抽取名学生进行调查，得到如下数据（单位：分）：，，，，，，，．对这组数据判断不正确的是（　　） A．极差为 B．众数为 C．平均数为 D．中位数为 2．（2025·江苏淮安·一模）一组数据1，3，5，2，4的平均数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2025·江苏扬州·一模）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的平均数是（   ） A．53 B．55 C．56 D．64 4．（2025·江苏南京·模拟预测）改变数据，，，中的某个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 5．（2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 6．（2024·江苏连云港·一模）下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（    ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 7．（2024·江苏南京·模拟预测）某校九年级一共有8个班级，人数分别为30，26，28，29，33，a，29，32，若这组数据的众数为29和33，则这组数据的平均数为 ． 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ． 9．（2024·江苏泰州·三模）已知，是方程的两个根，则数据：2，，7，，8的平均数是 ． 10．（2024·江苏镇江·二模）某青年志愿者团队共40人，其中5人21岁，30人22岁，5人23岁，志愿者团队的平均年龄为 岁． 11．（2024·江苏淮安·三模）“校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是 分． 12．（2024·江苏徐州·一模）某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算综合成绩，编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如表，则这三名应聘者中综合成绩第一名的是 分． 项目 ① ② ③ 笔试成绩 85 90 84 面试成绩 90 85 90 13．（2023·江苏泰州·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是 题型五：中位数和众数（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（   ） A．50克、60克 B．70克、90克 C．90克、100克 D．60克、60克 2．（2025·江苏无锡·一模）在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（   ） A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8 3．（2025·江苏无锡·一模）已知一组数据：34，34，32，37，31，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．34，32 B．34，34 C．35，32 D．34，31 4．（2025·江苏镇江·一模）为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（   ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·江苏宿迁·一模）一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）岳阳为江南最早的古城之一，以“洞庭天下水、岳阳天下楼”著称于世．境内有岳阳楼、君山岛、野生荷花世界、张谷英古建筑群、石牛寨等风景名胜，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，5，11，5，8（单位：人），这组数据的中位数是（   ） A．5 B．8 C．11 D．9.5 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）某班的中考英语听力口语模拟考试成绩如下： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 20 15 10 2 2 该班中考英语听力口语模拟考试成绩的众数与中位数分别是（   ） A．28，27 B．29，28 C．30，29 D．30，28 8．（2024·江苏扬州·二模）在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．（2024·江苏苏州·一模）学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（   ） A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm 10．（2025·江苏南京·一模）周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是 分， 分． 11．（2024·江苏南京·模拟预测）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 ． 12．（2024·江苏南京·三模）一组数据：，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8，则中位数为 ． 13．（2024·江苏盐城·三模）2024年盐城市体育中考实行电子化现场考试，为取得好成绩，小颖（女）同学进行了刻苦的练习，在测试50米跑时，记录下5次所跑的成绩（单位：s）分别为：9.3，8.9，9.3，8.8，8.5．这组数据的中位数是 ． 14．（2025·江苏宿迁·一模）九年级体育中考中，某班7位男生的测试成绩为（单位：分）：40，35，36，40，36，40，38，这组数据的众数是 ． 题型六：数据的波动程度（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2023·江苏镇江·模拟预测）某创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表： 研发组 管理组 操作组 日工资（元） 200 180 160 人数（人） 3 4 5 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（    ） ①平均日工资增大        ②日工资的方差减小 ③日工资的中位数不变    ④日工资的众数不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 5．（2023·安徽滁州·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（2025·江苏连云港·一模）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ． 甲 乙 7．（2025·江苏扬州·一模）参加演讲比赛前，小林和小明在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是： （填“”“”或“”）． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 9．（2024·江苏淮安·三模）将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 10．（2024·江苏镇江·一模）在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．    11．（2024·江苏苏州·三模）已知一组数据为1，2，x，4，5它们的平均数是3，则这组数据的方差为 ． 题型七：概率公式计算概率（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）若“抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上”的概率为，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·江苏常州·一模）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏泰州·一模）桌面上有A、B、C三个小球按如图所示堆放，每次只可以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二个取走的小球是A的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏镇江·二模）取一根长为1米的绳子，拉直后在任意位置处剪断，其中一段不大于0.4米的概率是（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·江苏常州·二模）如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（    ） A． B．1 C． D． 6．（2024·江苏泰州·三模）有一道选择题，所给的4个选项中，只有1个选项是正确的，小红如果从4个选项中任意选择1个选项，那么所选的答案正确的概率为 ． 7．（2024·江苏泰州·三模）近年来，我国“新三样”出口非常亮眼，小明在不知道“新三样”是什么的情况下，在“服装、电动汽车、锂电池、光伏电池”这四样中（含有“新三样”），一次猜三样，恰好是“新三样”的概率为 ． 题型八：树状图或列表法计算概率（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·三模）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·二模）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次落地后反面都朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽宣城·一模）如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 ． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是 ． 7．（2024·江苏徐州·一模）如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是 ． 8．（2023·江苏镇江·模拟预测）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机地各抽出一张，这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ． 9．（2023·江苏扬州·一模）开始进行中考数学一轮复习课前，李浩同学将七（上）、七（下）、八（上）3本数学教科书随机摞放在课桌上，七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是 ． 10．（2023·江苏宿迁·一模）学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ． 题型九：几何概率问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是 ． 3．（2025·江苏徐州·一模）如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是 ． 4．（2025·江苏扬州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是 ． 6．（2024·江苏淮安·三模）如图，小明随机地在对角线为和的菱形区域内投针，针扎到内切圆区域的概率是 ． 7．（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    题型十：用频率估算概率（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 2．（2024·江苏扬州·一模）县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到） ． 3．（2023·江苏常州·二模）在一个不透明的盒子中装有个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这个球中有个是红球，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是 ． 4．（2023·江苏盐城·二模）“盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松” 、“半程马拉松”和“迷你健身跑”．乐乐参加了志 愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 2000 参加人数 7 20 39 83 209 822 频率 0.350 0.400 0.390 0.415 0.418 0.411 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ．（精确到 0.01） 5．（2023·江苏常州·一模）在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是400，估计盒子中的红球的个数是 ． 题型十一：游戏的公平性（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 2．（2024·江苏连云港·二模）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的盘被等分成个扇形，小亮转动的盘被等分成个扇形，两人分别转动转盘一次．    （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． (1)请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 题型十二：统计与概率解答题综合（不含树状图或列表法）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 (1)根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 2．（2025·江苏宿迁·一模）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查了部分学生听写的结果，并绘制成如下统计图表(均不完整)． 组别 听写正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息解决下列问题： (1)_____， ____； (2)补全图（1）中的统计图； (3)求出图（2）中α的度数； (4)已知该校共有3000名学生，如果将听写正确的个数小于24定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． (1)补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； (2) ， ； (3)从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 4．（2025·江苏扬州·一模）寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 5 B 12 C m D 15 E 8 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ； (2)A组数据的众数是 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 ； (3)若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 5．（2025·江苏淮安·一模）人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从全校学生中随机抽取部分学生的测试得分进行整理和分析． 收集数据 从全校分别随机抽取40名学生分成甲乙两组，每组20人，统计两组的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取两组学生成绩分别进行整理，分成五组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中甲组20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；乙组20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 甲乙两组的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 81 82 86 8.8 乙组 81 86 9 根据上述信息，解答下列问题： (1)请直接写出上述图表中的______，______； (2)若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全校1800人中优秀的人数； (3)你认为甲乙两组中哪个组学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） 6．（2025·江苏苏州·一模）目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度，其计算公式为（其中表示体重，单位为；代表的是身高．单位是）．某兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行抽样调查，从该校所有七年级学生中随机抽出若干名，测得他们的身高和体重，计算出相应的数值．并按中国人的数值标准分为四组为：．为偏瘦；．为正常；．为偏胖；．为肥胖．对所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： (1)参加本次调查的学生的人数为_______； (2)请将频数分布直方图补全，并求出组对应的扇形的圆心角的度数； (3)本校七年级共有名学生，请估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数． 7．（2025·江苏无锡·一模）某人工智能科技公司去年月各月总销售额及“智能机器人”类产品的销售额占比分别如下图所示．已知该公司月总销售额共为200万元，观察统计图，解答下列问题： (1)补全条形统计图． (2)判断这5个月中哪个月“智能机器人”类产品的销售额最高，并说明理由． 8．（2025·江苏泰州·一模）目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 (1)样本中数值落在超重范围里的频率是______； (2)小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； (3)小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 9．（2025·江苏南京·一模）小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 (1)路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； (2)求路线连续10天用时的平均数和方差； (3)经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 题型十三：统计与概率解答题综合（含树状图或列表法）（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）某社区周六的“图书漂流站”青年志愿者服务活动共有名女生和名男生报名． (1)社区从报名者中随机抽取名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为_______； (2)若社区需从报名者中随机抽取名志愿者参加本次活动，求抽中的志愿者是“一男一女”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 2．（2025·江苏无锡·一模）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． (1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 3．（2025·江苏南京·一模）某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． (1)若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； (2)若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 4．（2025·江苏淮安·一模）《西游记》作者吴承恩是淮安人，淮安的自然风光和文化氛围为吴承恩提供了丰富的创作灵感．《水浒传》作者施耐庵长期客居淮安，并在淮安完成了《水浒传》的创作．小艾从2张《西游记》人物卡通卡片（A．唐僧；B．孙悟空）中随机抽取一张，再从3张《水浒传》人物卡通卡片（C．宋江；D．武松；E．林冲）中随机抽取一张． (1)小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是_____； (2)用树状图或列表的方法求小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率． 5．（2025·江苏常州·一模）在一只不透明的布袋中，装有原地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1、2、3、4．甲、乙两人玩换球游戏，规则如下，甲先从中随机摸出1个球，不放回，然后乙再从剩余的球中摸出1个球． (1)甲摸到标有数字1的球的概率是______； (2)若两个小球上的数字之和是奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和是偶数，则乙胜．求甲获胜的概率． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． (1)小明选择的是“竹”的概率为______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 7．（2025·江苏苏州·一模）苏州地铁6号线“富强站”有标识为1，2，3，4的四个出入口．某周六下午，小项和小吴两位学生志愿者分别随机选择该站一个出入口，开展学雷锋志愿服务活动． (1)小吴同学在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为 ； (2)求小项、小吴两位同学在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率） 8．（2025·江苏扬州·一模）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． (1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是 （填“必然”“不可能”“随机”）事件； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙同学都被选为宣传员的概率． 9．（2025·江苏扬州·一模）为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． (1)甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； (2)请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 10．（2025·江苏徐州·一模）中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为_______； (2)小明和小红分别从中随机抽出1张卡片（放回），用列表或画树状图的方法，求两人抽到相同卡片的概率． 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题03 统计与概率（江苏专用） ❆数据收集与处理（高频考点） ①抽样与普查：考查对“全面调查”和“抽样调查”的适用场景判断；②统计图表分析：条形图/扇形图/折线图需结合图表提取信息，计算频数、频率或圆心角； ❆数据分析（高频考点） ①集中趋势与离散程度：平均数：加权平均数计算(如成绩等级换算为分数后的平均分)；中位数：需排序后确定中间值；众数：识别数据中出现次数最多的值；方差：比较数据波动性；②实验与调查设计：设计合理抽样方案；计算样本容量或估计总体； ❆概率（高频考点） ①事件类型判断：必然事件、不可能事件、随机事件；②概率计算与应用：列举法/树状图计算简单事件概率；游戏公平性：通过概率比较判断规则是否合理；③频率与概率关系：理解频率稳定性； 题型一：全面调查与抽样调查（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．考察人们保护海洋的意识 D．了解全班同学的视力状况 【答案】D 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意； B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意； C．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意； D．了解全班同学的视力状况，适合全面调查，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏南通·二模）以下调查中，最适宜采用抽样调查的是（    ） A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．了解某班学生的身高情况 C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛 D．企业招聘，对应聘人员进行面试 【答案】A 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握两者的特点是解题关键．选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用全面调查． 由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此判断即可 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力适用于抽样调查，故该选项符合题意； B、了解某班学生的身高情况适用于全面调查，故该选项不符合题意； C、选出某校短跑最快的学生参加全市比赛适用于全面调查，故该选项不符合题意； D、企业招聘，对应聘人员进行面试适用于全面调查，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查一批手机的防摔能力采用普查 B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500 C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件 D．与不是同类二次根式 【答案】B 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别、样本容量、同类二次根式的定义等知识点，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．                     根据抽样调查和全面调查的特点以及样本容量的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 调查一批手机的防摔能力采用抽样调查，故A选项不符合题意； B. 为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500，故B选项符合题意； C. “泗阳县今年7月15日12点有雨”是随机事件，故C选项不符合题意； D. 与是同类二次根式，故D选项不符合题意． 故选B． 4．（2024·江苏无锡·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据的中位数是 B．“明天下雨”是不可能事件 C．为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式 D．某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查了中位数的定义，随机事件，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义，根据中位数的定义，随机事件的分类，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义依次判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、把数据按照从小到大的顺序排列为， ∴中位数为，故该选项说法正确，符合题意； 、“明天下雨”是不确定事件，故该选项说法错误，不合题意； 、为了解某型号车用电池的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项说法错误，不合题意； 、某种彩票的中奖机会是，买张这种彩票不一定会中奖，故该选项说法错误，不合题意； 故选：． 5．（2024·江苏泰州·一模）下列调查中，最适合采用普查方式的是(   ) A．调查某品牌电视的使用寿命 B．调查某品牌手机的市场占有率 C．调查某校九（1）班男女比例 D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果 【答案】C 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】解：A、调查某品牌电视的使用寿命，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； B、调查某品牌手机的市场占有率，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； C、调查某校九（1）班男女比例，最适合采用普查方式，故本选项符合题意； D、调查某批次烟花爆竹的燃放效果，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（2023·江苏扬州·模拟预测）下列调查中，适宜采用普查方式的是（    ） A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．检查神舟号载人飞船的各零部件 D．考察人们保护海洋的意识 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、了解一批圆珠笔的寿命适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、了解全国九年级学生身高的现状适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、检查神舟号载人飞船的各零部件适宜采用普查方式，本选项符合题意； D、考察人们保护海洋的意识适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； 故选：C． 7．（2023·江苏宿迁·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．为了解我市中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式 B．与不是同类二次根式 C．天气预报说明天的降水概率是5%，则明天一定不会下雨 D．一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数解析式为 【答案】D 【分析】本题主要考查了普查与抽样调查的特点，同类二次根式的定义，概率的意义，一次函数图象的平移问题，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、调查我市中小学生的睡眠情况，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，原说法错误，不符合题意； B、与是同类二次根式，原说法错误，不符合题意； C、天气预报说明天的降水概率是5%，则明天可能下雨，也可能不下雨，原说法错误，不符合题意； D、一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数解析式为，原说法正确，符合题意； 故选：D． 8．（2024·江苏无锡·一模）某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（    ） A．总体是全校965名学生 B．个体是每名学生的课外作业负担情况 C．样本是100 D．样本容量是100名 【答案】B 【分析】本题主要考查直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义，掌握各定义是解题的关键 直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、总体是全校965名学生的课外作业负担情况，故此选项错误； B、个体是每名学生的课外作业负担情况，故此选项正确； C、样本是100名学生的课外作业负担情况，故此选项错误； D、样本容量是100，故此选项错误． 故选B． 9．（2024·江苏宿迁·二模）下列说法中正确的是（　　） A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 C．一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 D．若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 【答案】C 【分析】根据普查、抽样调查的意义，中位数、众数、方差的意义进行判断即可． 【详解】解：A、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，因此选项A不符合题意； B、为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，因此选项B不符合题意； C、一组数据1，3，3，3，4，8，处在中间位置的两个数都是3，因此中位数是3，出现次数最多的是3，因此众数也是3，因此选项C符合题意； D、若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，由于，甲比较稳定，因此选甲参赛比较合适，所以选项D不符合题意； 故选：C． 10．（2025·江苏盐城·一模）为了了解某市参加中考的67000名学生的身高情况，抽查了其中1800名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（   ） A．1800名学生的身高情况是总体的一个样本 B．67000名学生的身高情况是总体 C．每名学生是总体的一个个体 D．样本容量是1800 【答案】C 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行逐项判断即可． 本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，理解总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：A、1800名学生的身高情况是总体的一个样本，正确，故本选项不符合题意； B、67000名学生的身高情况是总体，正确，故本选项不符合题意； C、每名学生的身高情况是总体的一个个体，原说法错误，故本选项符合题意； D、样本容量是1800，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 题型二：条形统计图、扇形统计图、折线统计图（高频考点） 1．（2024·江苏南京·一模）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（    ） A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数 C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数 【答案】C 【分析】本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和条形图可得， 3环以下（含3环）的人数为：，故选项A不符合题意， ∵射击成绩的中位数是5环，一共35人， ∴中位数是第18人的成绩，由图可知，4环的人数超过6人， ∴4环以下（含4环）的人数为：，故选项B不符合题意， 5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意， 6环以下（含6环）的人数为：，故选项D不符合题意， 故选：C． 2．（2023·江苏常州·一模）“春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（   ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 【答案】B 【分析】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：由条形统计图知，出现次数最多， 所以这组数据的众数为， 这组数据的第、个数据均为， 所以这组数据的中位数为， 故选：B 3．（2023·江苏徐州·三模）如图反映了我市2018－2022年生产总值（GDP）（单位：亿元）与其年增长率（%）的统计图．    下列结论不正确的是（    ） A．这5年中，我市生产总值（GDP）及其年增长率均逐年增加 B．这5年中，2021年的生产总值（GDP）的年增长率最大 C．这5年中，我市生产总值的年增长率的中位数是 D．这5年中，我市生产总值（GDP）的平均值超过7500亿元 【答案】A 【分析】根据条形统计图和折线统计图给出的数据进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、这5年中，我市生产总值（GDP）逐年增加，年增长率有增有减，原选项错误，该选项符合题意； B、这5年中，2021年的生产总值（GDP）的年增长率最大，原选项正确，该选项不符合题意； C、这5年中，我市生产总值的年增长率的中位数是，原选项正确，该选项不符合题意； D、这5年中，我市生产总值（GDP）的平均值超过7500亿元，原选项正确，该选项不符合题意； 故选：A． 4．（2023·江苏泰州·二模）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计图，在这个月每天所走的步数这组数据中，众数是（    ）万步    A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】C 【分析】从统计图可得，在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，出现了8天，即可得出答案． 【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，出现了8天， 所以在这个月每天所走的步数这组数据中，众数是1.7万步 故选：C． 5．（2024·江苏苏州·二模）某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（    ） A．80人 B．200人 C．120人 D．300人 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形统计图，先用参加“书法”的人数除以其人数占比得到总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”的人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴参加“大合唱”的人数是200人， 故选：B． 6．（2023·江苏镇江·一模）为推进大运河文化的保护、传承和利用，某校组织学生开展“走进大运河”知识竞赛活动（满分为100分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）并进行整理和描述，成绩为整数，用x表示，共分成四个等级：A：：B：；C：；D：，20名学生成绩扇形统计图如图，其中B等级的具体数据是：94，92，92，90，94，92，92．所抽取的20名学生的竞赛成绩的中位数为（　　） A．92 B．93 C．94 D．无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查扇形统计图和中位数，先求出A等级人数，再找到第10、11个数据，继而利用中位数的定义求解即可，解题的关键是根据扇形图得出A等级人数，并熟练掌握中位数的定义． 【详解】 由题意知A等级人数为（人）， 其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为94、94， ∴这组数据的中位数为， 故选：C． 7．（2023·江苏苏州·一模）某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（    ） A．64人 B．65人 C．66人 D．67人 【答案】C 【分析】先用参加“苏扇”的人数除以其人数占比求出总人数，再用总人数乘以参加“剪纸”的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴参加社团的学生人数一共有人， 人， ∴参加“剪纸”社团的有人， 故选C． 8．（2025·江苏盐城·一模）网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线统计图的数据逐一选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、2024年直接经济产出比间接经济产出少万亿元，原推断合理，不符合题意； B、2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，原推断合理，不符合题意； C、2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的倍，原推断合理，不符合题意； D、2024年到2025年，间接经济产出的增长率为，直接经济产出的增长率为，二者不相同，原推断不合理，符合题意； 故选：D． 9．（2024·江苏徐州·三模）如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（    ） A．周五的日最高气温最高 B．周五到周日的日最高气温持续降低 C．这周的日最高气温最低为 D．周二与周四的日最高气温相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了折线统计图，解题的关键是数形结合，从折线统计图中获得相关信息． 根据折线统计图逐项进行判断即可． 【详解】解：对于A选项，根据图象可知，周五气温为最高，故A正确，不符合题意； 对于B选项，根据图象可知，周五到周日气温持续降低，故B正确，不符合题意； 对于C选项，根据图象可知，气温最低为，故C错误，符合题意； 对于D选项，根据图象可知，周二的气温与周四的气温都是，气温相同，故D正确，不符合题意； 故选C． 题型三：频数和频率（高频考点） 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）在单词（数学）中字母“a”出现的频率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是频率的计算方法，掌握频率的计算方法是解题关键． 【详解】解：∵单词（数学）中共有11个字母，字母a一共出现两次， ∴字母“a”出现的频率是是． 故选：A． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）每年的月日是“世界读书日”，某班级开展“共读一本好书”读书活动，统计了月份该班同学阅读课外书的数量，并进行整理后绘制统计表（如图所示），下列说法错误的是（　　） 组别 数量x（单位：本） 人数 A．该班总人数是人 B．该班阅读课外书不少于本的人数超过了 C．该班同学阅读课外书的数量的中位数落在组别中 D．组别人数所占百分比是 【答案】B 【分析】本题主要考查频数分布表，根据频数计算总量，某项百分比的计算方法，中位数的计算方法即可求解，掌握调查与统计的相关概念和计算是解题的关键． 【详解】解：A、由频数分布表可知该班总人数是（人），此选项正确，不符合题意； B、该班阅读课外书不少于本的人数所占百分比是，此选项错误，符合题意； C、阅读课外书的数量从小到大的顺序排列，最中间的数字为第个数， ∵ ∴这两个数都在组别C中，故选项C正确，不符合题意； D、组别E人数所占百分比是，此选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·江苏扬州·三模）中国东方航空（China Eastern Airlines）仅用三年多的时间就开通了飞往美国和西欧的航线．其英文中出现的频数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了频数的计算，根据频数的概念，即某种结果出现的次数即可求解，掌握频数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：China Eastern  Airlines中i出现的次数是3， ∴频数是3， 故选：B ． 4．（2023·江苏扬州·三模）山东航空（）把“确保安全，狠抓效益，力求正点，优质服务”放在首位．它开通飞往全国50多个大中城市航班，并开通韩国国际航线．山航与中国国际航空实现代码共享．航线联营，航材共享和支援，信息管理与系统开发．管理交流与合作．培训业务等方面合作．山东航空的英文（）中字母“n”出现的频数为几？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了频数，根据字母出现的次数是频数进行解答即可． 【详解】解：山东航空的英文（）中字母“n”出现的频数为； 故选C． 5．（2024·江苏扬州·三模）深圳航空（）二字代码为ZH．2012年，深航加入星空联盟，提高了国际知名度，开启了深航国际航线发展快车道．目前，旅客可选乘深航及联盟成员21000多个航班，无缝中转通达190多个国家和地区，超过1300个目的地．深航（）的英文中字母“e”出现的频数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了频数，根据字母出现的次数是频数进行解答即可． 【详解】解：深航（）的英文中字母“e”出现的频数为； 故选C 6．（2025·江苏泰州·一模）将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 【答案】2 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第四组的频数．各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 【详解】解：第五组频数为， 第四组的频数为， 故答案为：． 7．（2024·江苏盐城·三模）在句子“好好学习，天天向上！”中，“好”出现的频率是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据频率的计算公式：频率频数除以总数进行计算即可， 本题考查了频率计算，解题的关键是：掌握频率的计算方法． 【详解】解：句子中，共有8个字，其中“好”出现了2次，频率是：， 故答案为：． 8．（2024·江苏盐城·二模）从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中70~80分数段的条形还未画出．如果60分以上（含60分）为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 先求出及格人数，再除以总人数后乘以即可得出答案． 【详解】解：由题意知，及格的人数为（人， 所以估计全校成绩及格的百分率为， 故答案为：． 9．（2024·江苏泰州·二模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有 个． 【答案】15 【分析】这道题主要考查的是频数和频率的相关的知识点，熟悉相关的知识是解答这道题的关键所在．根据频数总数频率计算即可． 【详解】 故答案为：15． 10．（2023·江苏镇江·二模）已知一组数据的最大值是256，最小值是200，画频数分布直方图时，若设定组距为6，则这组数据应分成 组． 【答案】10 【分析】用极差除以组距，如果商是整数，组数=这个整数加1，如果商不是整数，用去尾进一法，确定组数． 【详解】解：∵， ∴分成的组数是10组， 故答案为：10． 题型四：算术平均数和加权平均数（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）为了解九年级某班学生中考英语口语人机对话水平，对该班学生进行模拟测试，从该班学生中随机抽取名学生进行调查，得到如下数据（单位：分）：，，，，，，，．对这组数据判断不正确的是（　　） A．极差为 B．众数为 C．平均数为 D．中位数为 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是极差、众数、平均数及中位数的定义，解题关键是熟练掌握极差、众数、平均数及中位数的定义． 根据极差、众数、平均数及中位数的定义，结合数据进行分析即可． 【详解】解：选项，极差为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，该组数据中出现最多的数是，即众数为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，平均数为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，将数据按照从小到大排列可得：，，，，，，，，则中位数为，判断错误，符合题意，选项正确． 故选：． 2．（2025·江苏淮安·一模）一组数据1，3，5，2，4的平均数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，解题时牢记公式是关键．根据平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：数据1，3，5，2，4的平均数是  ， 故选：C． 3．（2025·江苏扬州·一模）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的平均数是（   ） A．53 B．55 C．56 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查平均数，熟练掌握求一组数据的平均数是解题的关键；因此此题可根据平均数的求法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）改变数据，，，中的某个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】A 【分析】本题考查了根据平均数、中位数、众数和极差的概念，解决要本题的关键是根据定义进行分析求解即可． 【详解】解：A选项：如果修改一个数字，总和改变，平均数必然改变， ， 如果只修改一个数， 则修改后的总和变为（新值原值）， 平均数一定变化， 故A选项符合题意； B选项：中位数的定义是，把一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数或两个数的平均数，是这一组数据的中位数， 改变一个数字后不一定改变中间的一个或两 数， 中位数不一定改变， 故B选项不符合题意； C选项：众数是这一组数据中出现次数最多的一个数， 只改变数据中的一个数字，不一定影响这组数据中出现次数最多的那个数字， 众数不一定改变， 故C选项不符合题意； D选项：极差是一组数据中最大值与最小值的差， 只改变一个数字，不一定影响这组数据中的最大值和最小值， 这组数据的极差不一定改变， 故D选项不符合题意． 故选： A． 5．（2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】B 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵（分）， ∴该选手的平均得分是86分． 故选：B． 6．（2024·江苏连云港·一模）下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（    ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 【答案】A 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：她的总得分是：（分． 故选：A 7．（2024·江苏南京·模拟预测）某校九年级一共有8个班级，人数分别为30，26，28，29，33，a，29，32，若这组数据的众数为29和33，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了众数和平均数，先根据众数求出，再利用平均数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵一组数据30，26，28，29，33，a，29，32的众数为29和33， ∴， 则这组数据的平均数为， 故答案为：． 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式．根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可． 【详解】解：一组数据6，8，10，的平均数是9， ， 解得． 故答案为：12． 9．（2024·江苏泰州·三模）已知，是方程的两个根，则数据：2，，7，，8的平均数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、算术平均数等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据已知一元二次方程的根与系数的关系可得，然后求出它们的算术平均数即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴数据：2，，7，，8的平均数． 故答案为：4． 10．（2024·江苏镇江·二模）某青年志愿者团队共40人，其中5人21岁，30人22岁，5人23岁，志愿者团队的平均年龄为 岁． 【答案】22 【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：（岁）． 故答案为：22． 11．（2024·江苏淮安·三模）“校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是 分． 【答案】90 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：90． 12．（2024·江苏徐州·一模）某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算综合成绩，编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如表，则这三名应聘者中综合成绩第一名的是 分． 项目 ① ② ③ 笔试成绩 85 90 84 面试成绩 90 85 90 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，根据题意计算三名应聘者的平均成绩，比较大小，即可求解． 【详解】解：编号为①，②，③的三名应聘者的平均成绩分别为： ， ∴这三名应聘者中综合成绩第一名的是分 故答案为：． 13．（2023·江苏泰州·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是 【答案】 【分析】根据题可得，再由，可得，然后根据以此为依据最终丙被录取，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵以此为依据最终丙被录取， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故答案为： 题型五：中位数和众数（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（   ） A．50克、60克 B．70克、90克 C．90克、100克 D．60克、60克 【答案】B 【分析】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．先求出原来5个小礼品质量的中位数为克，再根据中位数的定义可得增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上，由此即可得． 【详解】解：由图可知，原来5个小礼品质量的中位数为克， 要使7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，则增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 2．（2025·江苏无锡·一模）在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（   ） A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是数据7， 所以这组数据的众数为7， 将数据重新排列为4，6，7，7，8， 则这组数据的中位数为7， 故选：C． 3．（2025·江苏无锡·一模）已知一组数据：34，34，32，37，31，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．34，32 B．34，34 C．35，32 D．34，31 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键； 将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为： 31，32，34，34， 37， ∵34出现次数最多， ∴这组数据的众数是34， ∵最中间的数是34， ∴这组数据的中位数为34， 故选：B． 4．（2025·江苏镇江·一模）为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（   ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【详解】解：页和2页的人数和为14，中位数没有改变， 总人数不能超过27， ∵第二次抽查的同学，最少的练了3页， 第二次最多抽查：（人）； 故选：B． 5．（2025·江苏宿迁·一模）一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 【详解】解：数据2，，x，6，的众数为6， ， 则数据重新排列为、、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A ． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）岳阳为江南最早的古城之一，以“洞庭天下水、岳阳天下楼”著称于世．境内有岳阳楼、君山岛、野生荷花世界、张谷英古建筑群、石牛寨等风景名胜，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，5，11，5，8（单位：人），这组数据的中位数是（   ） A．5 B．8 C．11 D．9.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的定义，掌握理解中位数的定义是解题关键． 根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为5、5、8、11、12， 所以这组数据的中位数为8． 故选：B． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）某班的中考英语听力口语模拟考试成绩如下： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 20 15 10 2 2 该班中考英语听力口语模拟考试成绩的众数与中位数分别是（   ） A．28，27 B．29，28 C．30，29 D．30，28 【答案】C 【分析】本题考查了中位数和众数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，掌握中位数和众数的概念是解本题的关键． 根据表格的数据求出中位数，找到众数即可． 【详解】解：数据30出现了20次，出现次数最多，所以这组数据的众数是30； 把这49个数据按从小到大的顺序排列后，第25个是29，所以这组数据的中位数是29． 故选：C． 8．（2024·江苏扬州·二模）在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义即可得． 【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94， 则去掉前其中位数为9.0分， 去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3， 则去掉后其中位数为9.0分， 因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数， 故选：B． 9．（2024·江苏苏州·一模）学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（   ） A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm 【答案】C 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解： ，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm， 位队员身高的中位数是， 故选：C． 10．（2025·江苏南京·一模）周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是 分， 分． 【答案】 4 3.5 【分析】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法． 根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可． 【详解】解：得分为4分的人数有20人，次数最多， ∴众数为4； ∵将数据排序后，第20个和第21个数据分别为3，4， ∴中位数为：； 故答案为：4，3.5． 11．（2024·江苏南京·模拟预测）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义将数据从小到大排列即可得到答案． 【详解】解：依题意，从小到大排列可得：， 故中位数：， 故答案为：． 12．（2024·江苏南京·三模）一组数据：，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8，则中位数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平均数的定义、中位数的定义、解一元一次方程，熟练掌握平均数的定义及中位数的定义是解题的关键． 先根据平均数的定义列方程求出x的值，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8， ∴， 解得， ∴这组数据为：6、7、8、10、9、8， 把这组数据按照从大到小的顺序排列，处于中间的两个数分别为8、8， ∴这组数据的中位数为：， 故答案为：8． 13．（2024·江苏盐城·三模）2024年盐城市体育中考实行电子化现场考试，为取得好成绩，小颖（女）同学进行了刻苦的练习，在测试50米跑时，记录下5次所跑的成绩（单位：s）分别为：9.3，8.9，9.3，8.8，8.5．这组数据的中位数是 ． 【答案】8.9 【分析】本题考查求一组数据的中位数，熟记中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解． 【详解】解：将这组数据从小到大排序为8.5，8.8，8.9，9.3，9.3，第3个数据是8.9， ∴中位数是8.9， 故答案为：8.9． 14．（2025·江苏宿迁·一模）九年级体育中考中，某班7位男生的测试成绩为（单位：分）：40，35，36，40，36，40，38，这组数据的众数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了众数的概念，理解并掌握众数的概念是解题的关键．众数是在一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案． 【详解】解：在测试成绩40，35，36，40，36，40，38中，出现次数最多的是， ∴这组数据的众数是， 故答案为： ． 题型六：数据的波动程度（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵图可知甲的成绩波动程度比乙的成绩的波动程度大， ∴， 故选：A． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】此题主要考查了方差，直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 【详解】解：，，，， ， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 3．（2023·江苏镇江·模拟预测）某创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表： 研发组 管理组 操作组 日工资（元） 200 180 160 人数（人） 3 4 5 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（    ） ①平均日工资增大        ②日工资的方差减小 ③日工资的中位数不变    ④日工资的众数不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数和方差，根据平均数，众数，中位数和方差的定义分别计算调整前后的平均数，众数，中位数和方差，比较即可得到答案． 【详解】解：调整前平均日工资： ， 调整后平均日工资：，调整前后平均日工资不变，故①错误； 调整前日工资的方差为：， 调整后日工资的方差为： ， ∴调整后日工资比调整前日工资的方差增大，故②错误； 调整前日工资的中位数为：， 调整后日工资的中位数为： ， ∴调整后日工资的中位数比调整前的中位数减小，故③错误； 调整前后日工资的众数都是160，不变，故④正确． 故选A． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）响应国家体育总局提出的“全民战疫居家健身”，学校组织了趣味横生的线上活动．某校组织置“一分钟跳绳”活动，根据10名学生上报的跳绳成绩，将数据整理制成如下统计表： 一分钟跳绳个数 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别计算出结果，然后判断即可． 【详解】解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：，故A选项错误； 众数是：141，故B选项正确； 中位数是：，故C选项错误； 方差是：，故D选项错误； 故选：B． 5．（2023·安徽滁州·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵乙和丁的平均数较大， ∴从乙和丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 6．（2025·江苏连云港·一模）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ． 甲 乙 【答案】甲 【分析】本题考查了算数平均数的定义以及方差的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分别计算、并比较两人的方差即可判断． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 乙两人的百米赛跑运动成绩的方差为： ， ， ， 甲运动员的成绩更为稳定，                   故答案为：甲． 7．（2025·江苏扬州·一模）参加演讲比赛前，小林和小明在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义可得，数据波动越大，则方差越大，求解即可．熟悉概念是解题的关键． 【详解】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大， ， 故答案为：． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义，当数据波动最小时，方差最小，即可求解． 【详解】解：数据中的、、、的平均数为， 时，这组数据的方差最小， 故答案为：． 9．（2024·江苏淮安·三模）将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较大，则， 故答案为：． 10．（2024·江苏镇江·一模）在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．    【答案】 【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是掌握定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．利用方差公式计算，然后比较大小即可． 【详解】解：首发5名队员身高为：211，180，182，190，175， 由身高的14号和身高的10号上场，换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高为：201，180，182，190，185， 首发5名队员身高的波动大， 首发5名队员身高的方差大于此时5名队员身高的方差． 故． 故答案为：． 11．（2024·江苏苏州·三模）已知一组数据为1，2，x，4，5它们的平均数是3，则这组数据的方差为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了平均数和方差的定义，解题的关键是正确理解平均数是所有数据的和除以数据的个数，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差的计算公式计算即可． 【详解】解：∵数据1，2，x，4，5的平均数是3， ∴， ∴， ∴这组数据的方差是， 故选：2． 题型七：概率公式计算概率（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）若“抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上”的概率为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上， 则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， 故选：B． 2．（2025·江苏常州·一模）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查求概率，直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片， 所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是， 故选：C． 3．（2024·江苏泰州·一模）桌面上有A、B、C三个小球按如图所示堆放，每次只可以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二个取走的小球是A的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，把所有可能情况找出来，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，第二个取走的小球可能是A或B共两种等可能，故 第二个取走的小球是A的概率为． 故选：A 4．（2024·江苏镇江·二模）取一根长为1米的绳子，拉直后在任意位置处剪断，其中一段不大于0.4米的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】此题考查了概率公式．根据题意画出图形，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图： 如果其中一段不大于0.4米，则只要不在之间的位置剪断绳子即可，因此概率是． 故选：C． 5．（2024·江苏常州·二模）如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概率，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，可得甲乙两人所画的三角形一定全等，据此可得答案． 【详解】解；∵为的六等分点， ∴由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等， ∴甲乙两人所画的三角形一定全等， ∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1， 故选：B． 6．（2024·江苏泰州·三模）有一道选择题，所给的4个选项中，只有1个选项是正确的，小红如果从4个选项中任意选择1个选项，那么所选的答案正确的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，直接运用概率公式：概率所求情况数与总情况数之比计算即可． 【详解】解：从4个选项中任意选择1个选项，那么所选的答案正确的概率为． 故答案为：． 7．（2024·江苏泰州·三模）近年来，我国“新三样”出口非常亮眼，小明在不知道“新三样”是什么的情况下，在“服装、电动汽车、锂电池、光伏电池”这四样中（含有“新三样”），一次猜三样，恰好是“新三样”的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 共有4种结果，一次猜到新三样的结果有1种，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，共有4种结果，一次猜三样，猜到新三样的结果有1种， ∴恰好是“新三样”的概率为， 故答案为： ． 题型八：树状图或列表法计算概率（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．利用画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球有4种可能的结果， 次都摸到红球）． 故选：C． 2．（2024·江苏徐州·三模）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是． 故选： ． 3．（2024·江苏徐州·二模）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次落地后反面都朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机掷一枚质地均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了利用列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反； 两次落地后反面都朝上的概率为：． 故选：C． 4．（2025·安徽宣城·一模）如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求事件的概率，利用列表法或画树状图法比较容易得出答案． 用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的有6种， ∴P（点亮灯泡）， 故答案为：． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有6种等可能的情况，其中和为偶数的有2种情况， ∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是． 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是树状图法求概率．画树状图，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果， ∴青青从A入口进，F出口出的概率为， 故答案为：． 7．（2024·江苏徐州·一模）如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键；先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表格如下： A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果有3种， 甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率为， 故答案为：． 8．（2023·江苏镇江·模拟预测）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机地各抽出一张，这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法和树状图法的相关知识．把三张风景图片用甲、乙、丙来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：把三张风景图片用甲、乙、丙来表示，根据题意画如下的树形图： 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中恰好组成一张完整风景图片的有种， 所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为． 故答案为：． 9．（2023·江苏扬州·一模）开始进行中考数学一轮复习课前，李浩同学将七（上）、七（下）、八（上）3本数学教科书随机摞放在课桌上，七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】利用随机概率的求解方法列树状图求解即可． 【详解】解：记七（上）、七（下）、八（上）3本书分别为A、B、C，利用树状图得到从上至下排列得到摆放情况： 等可能的情况一共有6种，其中七（上）、七（下）即A、B相邻的情况有4种，故七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是, 故答案为：． 10．（2023·江苏宿迁·一模）学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ． 【答案】/ 【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种， ∴小灯泡发光的概率， 故答案为：． 题型九：几何概率问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，勾股定理，全等三角形，熟记概率公式是解题的关键．先根据题意求出大正方形及阴影部分的面积，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长度分别为，， ∴大正方形的边长的平方， ∴大正方形的面积， ∵阴影部分正方形的边长， ∴阴影部分正方形的面积， ∴飞镖击中阴影部分的概率， 故答案为：． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形等分为9个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有5个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是， 故答案为：． 3．（2025·江苏徐州·一模）如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的， ∴飞镖投中①号三角形区域的概率是． 故答案为： 4．（2025·江苏扬州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据点落入黑色部分的频率稳定在 左右，得到点落入黑色部分的概率为，，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右，即点落入黑色部分的概率为， 则估计黑色部分的总面积为， 故答案为：10 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用白色区域面积除以区域总面积即可得到答案． 【详解】解：∵一共有四个等面积的区域，其中白色区域有2个，且指针落在每个区域的概率相同， ∴当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是， 故答案为：． 6．（2024·江苏淮安·三模）如图，小明随机地在对角线为和的菱形区域内投针，针扎到内切圆区域的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及几何概率，利用菱形的性质得出菱形内切圆的半径和面积，进而得出菱形面积，即可得出针扎到其内切圆区域的概率． 【详解】解：连接两对角线，设圆与菱形切点为， 对角线为和的菱形， ，，， ， 由题意可得出：， ， ， 解得：， 内切圆区域的面积为：（）（）， 菱形的面积为：（）， ∴则针扎到其内切圆区域的概率是：． 故答案为：． 7．（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 题型十：用频率估算概率（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有15个， 故答案为：15． 2．（2024·江苏扬州·一模）县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到） ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握利用频率估计概率的方法． 利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在， 可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为， 故答案为：． 3．（2023·江苏常州·二模）在一个不透明的盒子中装有个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这个球中有个是红球，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是 ． 【答案】 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】 解：由题意可得，， 解得，． 经检验，是所列方程的解， 故估计大约是． 故答案为：． 4．（2023·江苏盐城·二模）“盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松” 、“半程马拉松”和“迷你健身跑”．乐乐参加了志 愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 2000 参加人数 7 20 39 83 209 822 频率 0.350 0.400 0.390 0.415 0.418 0.411 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ．（精确到 0.01） 【答案】 【分析】观察表格，参加“半程马拉松”人数的频率在左右波动，利用频率估算概率即可． 【详解】解：由表格可知：参加“半程马拉松”人数的频率在左右波动， ∴本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为； 故答案为： 5．（2023·江苏常州·一模）在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是400，估计盒子中的红球的个数是 ． 【答案】4 【分析】根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵做了1000次摸球试验，摸到红球的频数为400， ∴摸到红球的频率是：， ∴估计盒子中的红球个数为：（个）； 故答案为：4． 题型十一：游戏的公平性（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握解题方法是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率， 和大于或等于7的概率， 小慧和小颖胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 2．（2024·江苏连云港·二模）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的盘被等分成个扇形，小亮转动的盘被等分成个扇形，两人分别转动转盘一次．    （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】（1）（2）不公平，理由见详解． 【分析】本题考查的是列表法和画树状图，游戏公平性的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案； （2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平． 【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 所有可能出现的结果共有种，    由上表可得：两人转动转盘恰好转到红色与蓝色有种， 即“配成紫色”的概率为 （2）不公平． 理由：∵上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色， ∴配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是； ∴小亮获胜的概率为， ∵， ∴小亮获胜的概率大，这个“配色”游戏对双方是不公平的． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】树状图或列表见解析，不公平．改成：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．（改的公平即可）． 【分析】本题考查的是游戏的公平性问题，利用列表法与画树状图的方法求解随机事件的概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能事件，小贝赢即商是负整数的有6种等可能结果，小晶赢所即商为正数有5种等可能结果； 所以：，， 所以， 所以游戏不公平． 修改规则如下：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． (1)请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【答案】(1)(2)不公平，解释见解析 【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算： （1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：所有可能出现的结果如下： 甲    乙 2 3 6 2 2  2 2  3 2  6 3 3  2 3  3 3  6 6 6  2 6  3 6  6 从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种， ∴两人抽取相同数字的概率为：； （2）解：从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为3的倍数有4种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：. ∵， ∴甲获胜的概率大，游戏不公平． 题型十二：统计与概率解答题综合（不含树状图或列表法）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 (1)根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)8，9(2)八年级(3)两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级C中，可以确定的值；先求得八年级等级C的人数，根据最多的数据是众数，可以确定的值；再补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【详解】（1）解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中， 故九年级中位数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 等级B的人数最多， 八年级众数， 补全条形统计图如下： 故答案为：8，9； （2）解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； （3）解：（人）． ∴两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 2．（2025·江苏宿迁·一模）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查了部分学生听写的结果，并绘制成如下统计图表(均不完整)． 组别 听写正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息解决下列问题： (1)_____， ____； (2)补全图（1）中的统计图； (3)求出图（2）中α的度数； (4)已知该校共有3000名学生，如果将听写正确的个数小于24定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 【答案】(1)30； 20；(2)补全图形见解析；(3)；(4)估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数为1500名． 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，频数分布表以及利用样本估计，总体等知识，属于常考题型，正确懂㯵图象信息，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据组有 15 人，所占的百分比是即可求得总人数，然后用求出的总人数分别乘以两组所占的百分比即可求出的值，进而可补全条形统计图； （2）根据（1）中的计算结果，进而可补全条形统计图； （3）先根据组的人数总人数求出组的占比，再根据组的圆心角度数组的占比求出答案即可； （4）先求出“听写正确的个数少于 24 个”的人数，再利用总人数 3000 乘以对应的比例即可． 【详解】（1）解：本次随机抽查的学生共有（名）， ． （2）解：补全的条形统计图如图所示． （3）解：． （4）解：由题意可知“听写正确的个数少于 24 个”的人数为不合格，那么三组均是不合格的， ∴不合格人数（名）． 答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数为1500名． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． (1)补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； (2) ， ； (3)从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，(3)乙品种，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数与众数、方差、折线统计图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用平均数公式求出乙品种第七棵的产量，据此补全折线统计图即可得； （2）根据中位数和众数的定义求解即可得； （3）从平均数和方差的角度，平均数相同，选择方差小的品种即可得． 【详解】（1）解：设乙品种第七棵的产量为千克， 则， 解得． 补全折线统计图如下： ． （2）解：甲品种的10个数据中，数据出现了3次，出现的次数最多， 所以其众数； 将乙品种的10个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵排在第5位和第6位的数是，， ∴中位数； 故答案为：，． （3）解：该基地应推广种植乙品种的枸杞，理由如下： ∵甲、乙品种的平均数相同，甲品种的方差为，乙品种的方差为，且， ∴乙品种的产量更稳定， ∴该基地应推广种植乙品种的枸杞． 4．（2025·江苏扬州·一模）寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 5 B 12 C m D 15 E 8 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ； (2)A组数据的众数是 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 ； (3)若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 【答案】(1)60(2)0.2；(3)该校学生观看视频课时长超过的人数约有690人 【分析】此题考查了扇形统计图，频数分布表，读懂统计图，看懂分布表，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用样本估计总体计算即可； （）利用众数的定义计算，利用扇形的知识计算求解可得到结论； （）利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论， 【详解】（1）解：∵组占，频数为， ∴本次调查的样本容量是， 故答案为：； （2）解：∵组的数据分别为：，，，，，出现次数最多， ∴众数为， 组的数据有（人）； ∴扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：，； （3）解：（人）， 答：估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人． 5．（2025·江苏淮安·一模）人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从全校学生中随机抽取部分学生的测试得分进行整理和分析． 收集数据 从全校分别随机抽取40名学生分成甲乙两组，每组20人，统计两组的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取两组学生成绩分别进行整理，分成五组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中甲组20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；乙组20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 甲乙两组的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 81 82 86 8.8 乙组 81 86 9 根据上述信息，解答下列问题： (1)请直接写出上述图表中的______，______； (2)若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全校1800人中优秀的人数； (3)你认为甲乙两组中哪个组学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） 【答案】(1)30；76(2)405人(3)甲组学生比赛成绩更好，理由见详解 【分析】本题主要考查扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、平均数及方差是解题的关键； （1）甲组在E组的人数可得所占百分比，然后可得m的值，进而根据中位数的求法可得N的值； （2）根据题意得出成绩不低于90分的人数，然后问题可求解； （3）根据中位数、众数及方差可进行求解． 【详解】（1）解：由统计图可知：E组在扇形统计图中所在百分比为， ∴， ； 故答案为30；76； （2）解：由题意得： （人）； 答：全校1800人中优秀的人数为405人． （3）解：甲组学生比赛成绩较好，因为从中位数来看甲组大于乙组，从方差来看，甲组的方差小于乙组的方差，说明甲组的成绩更为稳定． 6．（2025·江苏苏州·一模）目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度，其计算公式为（其中表示体重，单位为；代表的是身高．单位是）．某兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行抽样调查，从该校所有七年级学生中随机抽出若干名，测得他们的身高和体重，计算出相应的数值．并按中国人的数值标准分为四组为：．为偏瘦；．为正常；．为偏胖；．为肥胖．对所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： (1)参加本次调查的学生的人数为_______； (2)请将频数分布直方图补全，并求出组对应的扇形的圆心角的度数； (3)本校七年级共有名学生，请估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数． 【答案】(1)(2)补图见解析，(3)人 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体、扇形统计图，根据统计图得出必要的信息是解题的关键． （1）根据组的频数为，组占总体百分比为，即可得到本次调查的学生人数； （2）求出组的人数，即可补全频数分布直方图，根据组的占总体的百分比乘以，即可得到扇形统计图中组对应的圆心角度数； （3）根据样本估计总体即可得到结果． 【详解】（1）解：∵组的频数为，组占总体百分比为， ∴参加本次调查的学生的人数为， 故答案为：； （2）解：组人数为， 补全频数分布直方图如图： ∴组对应的扇形的圆心角的度数为：； （3）解：（人）， 答：估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数是人． 7．（2025·江苏无锡·一模）某人工智能科技公司去年月各月总销售额及“智能机器人”类产品的销售额占比分别如下图所示．已知该公司月总销售额共为200万元，观察统计图，解答下列问题： (1)补全条形统计图． (2)判断这5个月中哪个月“智能机器人”类产品的销售额最高，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解析 (2)这5个月中12月“智能机器人”类产品的销售额最高.理由见解析 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． （1）用该公司月总销售额减去其它4个月的销售额即可求出该公司11月份的销售额总额，进而可补全统计图； （2）用每个月的销售总额乘以折线统计图中其所占百分比即可得到答案； 【详解】（1）解：该公司月总销售额共为200万元， ∴该公司月总销售额共为万元， 补全图形如下： ； （2）解：8月份“智能机器人”类产品的销售额为（万元）， 9月份“智能机器人”类产品的销售额为（万元）， 10月份“智能机器人”类产品的销售额为（万元）， 11月份“智能机器人”类产品的销售额为（万元）， 12月份“智能机器人”类产品的销售额为（万元）， ∴这5个月中12月“智能机器人”类产品的销售额最高. 8．（2025·江苏泰州·一模）目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 (1)样本中数值落在超重范围里的频率是______； (2)小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； (3)小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 【答案】(1)0.25(2)正常(3)小华至少减重 【分析】本题考查频率的计算以及不等式的计算，根据表格中的数据计算出值是解题的关键． （1）先得出，再利用频率计算公式得出超重范围的频率； （2）根据小明的身高和体重计算出他的值，并判断他的健康状况； （3）设减重后体重为x千克，正常，则，求解不等式，注意所减体重要大于 ． 【详解】（1）解：已知总人数为40人，由，解得， 所以超重范围的频率为； 故答案为：0.25； （2）小明的， 因为​，所以健康状况类型为正常． 故答案为：正常： （3）设减重后体重为x千克，正常， 则，解得， 小华原体重为，至少减重 ​ ，所减体重要大于至少减重． 答：他的体重至少需要减千克． 9．（2025·江苏南京·一模）小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 (1)路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； (2)求路线连续10天用时的平均数和方差； (3)经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 【答案】(1)；(2)平均数为；方差为(3)建议选择路线B，理由见解析 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和方差，熟知相关中位数，众数，平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出平均数，再计算出方差即可； （3）路线B的中位数，平均数和众数都小于A对应的中位数，平均数和众数，据此可得结论． 【详解】（1）解：路线A连续10天的用时按照从低到高排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，处在第5名和第6名的时间分别为，， ∴路线连续10天用时的中位数是； ∵路线B中，用时为的天数最多， ∴路线连续10天用时的众数是； （2）解：平均数为， 方差为； （3）解：建议选择路线B，理由如下： 从平均数的角度看，路线A的平均数大于路线B的平均数；从中位数来看，路线B的中位数小于路线A的中位数；从众数来看，路线B的众数小于路线A的众数， 综上所述，路线B比路线A更节约时间，故建议选择路线B． 题型十三：统计与概率解答题综合（含树状图或列表法）（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）某社区周六的“图书漂流站”青年志愿者服务活动共有名女生和名男生报名． (1)社区从报名者中随机抽取名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为_______； (2)若社区需从报名者中随机抽取名志愿者参加本次活动，求抽中的志愿者是“一男一女”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)；(2)志愿者是“一男一女”的概率． 【分析】本题考查了画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （）男生人数除以学生总数即为所求概率； （）画出树状图，列举出所有情况，恰好是“一男一女”的情况数占总情况数即可． 【详解】（1）解：社区从报名者中随机抽取名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为， 故答案为：； （2）解：画出树状图， 共有种等可能的结果，志愿者是“一男一女”的结果数为种， ∴志愿者是“一男一女”的概率． 2．（2025·江苏无锡·一模）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． (1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】(1)箱子里白球的个数为3(2) 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【详解】（1），， ∴箱子里白球的个数为3． （2）画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 3．（2025·江苏南京·一模）某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． (1)若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； (2)若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙两款的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有乙、丙、丁三款衬衫供选择，且每款衬衫被选择的概率相同， ∴从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率； （2）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四款衬衫， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙两款的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙两款的概率为． 4．（2025·江苏淮安·一模）《西游记》作者吴承恩是淮安人，淮安的自然风光和文化氛围为吴承恩提供了丰富的创作灵感．《水浒传》作者施耐庵长期客居淮安，并在淮安完成了《水浒传》的创作．小艾从2张《西游记》人物卡通卡片（A．唐僧；B．孙悟空）中随机抽取一张，再从3张《水浒传》人物卡通卡片（C．宋江；D．武松；E．林冲）中随机抽取一张． (1)小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是_____； (2)用树状图或列表的方法求小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率． 【答案】(1)(2)小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是； 故答案为； （2）解：由题意可列表如下： 宋江 武松 林冲 唐僧 √ √ √ 孙悟空 √ √ √ 由表可知：小艾任取两张的可能性有6种，其中恰好抽中唐僧和宋江的可能性只有1种，所以小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为． 5．（2025·江苏常州·一模）在一只不透明的布袋中，装有原地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1、2、3、4．甲、乙两人玩换球游戏，规则如下，甲先从中随机摸出1个球，不放回，然后乙再从剩余的球中摸出1个球． (1)甲摸到标有数字1的球的概率是______； (2)若两个小球上的数字之和是奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和是偶数，则乙胜．求甲获胜的概率． 【答案】(1)(2)甲胜的概率为 【分析】本题主要考查树状图法或列表法求解概率，掌握树状图法和列表法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：甲摸到标有数字1的球的概率是； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下，    由树状图可知，一共有种等可能性， 其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． (1)小明选择的是“竹”的概率为______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 【答案】(1)(2)小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先运用画树状图得出共有种等可能的结果，再结合小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹， 则小明选择的是“竹”的结果有种， 小明选择的是“竹”的概率为； 故答案为：； （2）解：将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种， 小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为． 7．（2025·江苏苏州·一模）苏州地铁6号线“富强站”有标识为1，2，3，4的四个出入口．某周六下午，小项和小吴两位学生志愿者分别随机选择该站一个出入口，开展学雷锋志愿服务活动． (1)小吴同学在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为 ； (2)求小项、小吴两位同学在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中小项、小吴在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动有4种结果， ∴小项、小吴在同一出入口开展学雷锋志愿服务活动的概率为． 8．（2025·江苏扬州·一模）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． (1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是 （填“必然”“不可能”“随机”）事件； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙同学都被选为宣传员的概率． 【答案】(1)随机(2) 【分析】本题考查了随机事件、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）根据随机事件的定义“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”即可得； （2）先画出树状图，从而可得从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员的所有等可能的结果，再找出甲、乙同学都被选为宣传员的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：因为“甲、乙同学都被选为宣传员”有可能发生，也有可能不发生， 所以“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件， 故答案为：随机． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员共有12种等可能的结果，其中，甲、乙同学都被选为宣传员的结果有2种， 则甲、乙同学都被选为宣传员的概率为， 答：甲、乙同学都被选为宣传员的概率为． 9．（2025·江苏扬州·一模）为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． (1)甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； (2)请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，那么选中“羽毛球”项目的概率为； （2）分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【详解】（1）解：甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为， 故答案为：； （2）解：分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的情况有12种，即甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 答：甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 10．（2025·江苏徐州·一模）中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为_______； (2)小明和小红分别从中随机抽出1张卡片（放回），用列表或画树状图的方法，求两人抽到相同卡片的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到相同卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种， ∴从中随机选取一张卡片，抽到是的卡片主题是勾股定理的概率为． 故答案为：． （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带卡片分别记为A，B，C，D，用表格列出所有可能的结果：         小红 结果小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中4种符合题意． （两人抽到相同卡片）． 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $$