4.2.1 指数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念 一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义. 2.能够根据条件求指数函数解析式. 第1天，杰米支出1分钱，收入10万元。 第2天，杰米支出2分钱，收入10万元。 第3天，杰米支出4分钱，收入10万元。 第10天，杰米支出512分钱(5.12元)，收入10万元；共得100万元。 指数的故事 与百万富翁的交易 杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂。 1 1×2 1×2×2 1×29 到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得5千多(219)元。 杰米想：要是合同订两三个月该多好！可从24天起，情况发生了转变。 第24天，杰米支出8万多(223)元，收入10万元。 第28天，杰米支出134万多(227)元，收入10万元。 结果，杰米在一个月(31天)得到310万元的同时，共给韦伯2100多万元！杰米破产了。 一个人永远赚不到认知之外的钱。凭运气得来的钱，也会凭实力输掉。 指数的故事 折纸问题 假设一层纸的厚度为0.1mm， 对折1次，共2层。 对折2次，共4层。 对折3次，共8层。 以此类推，对折24次，共_____层；厚度为1600多米； 21×2=22 21 22×2=23 224 对折39次，厚度达54975多千米，超过地球赤道长度； 对折42次，厚度达4398多万千米，超过地球至月球的距离； 对折51次厚度达22亿千米，超过地球至太阳的距离； 对折82次厚度为51113光年，超过银河系半径的长度。 不过，只是一个不符合实际的数学理论推理数字。 在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？ 美国德克萨斯州圣马克中学师生们将一张长达1.3万英尺(接近4km)的厕纸对折了13次，一举打破了2002年创下的旧记录——12次。 为了放下如此一长卷的厕纸，数学老师、折纸天才James Tanton和他的十五位学生借用了麻省理工学院长度达250米的无尽走廊(Infinite Corridor)。集体折腾了四个多小时，总算是大功告成。在这里折纸，主要是不用担心被风吹散。 最终对折13次的厕纸已经有了213＝8192层，缩成了不怎么好看的一大团，而且无法长时间保持这种形状。 指数的故事 折纸问题 指数的故事 国王与棋盘 古印度有个叫锡塔的大臣发明了一种棋子，国王百玩不厌，决定重赏锡塔。 锡塔说：“陛下，我只要一点麦子。请您让人将麦子放在我发明的棋盘的64个格子内，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，第5格放16粒……照这样放下去，每格麦粒数是前1格的2倍，直到把64个棋格放满就行。” 国王听了哈哈大笑，他觉得锡塔这个人真是有趣，放着金银财宝不要，反而提出这个“笨”要求，谷仓里的麦子多着呢，填完64个棋格实在是小意思。 便传令粮食大臣：“答应锡塔的要求，现在就从粮库 把麦子拉过来。”在场每个人都认为一小袋麦子就能 填满棋盘上的十几个方格，一些人甚至忍不住笑起来。 往第16格上放米粒时，就需要拿出1公斤的大米， 到了第20格时，则需要满满一推车的米。 若1000粒米有1g重，折算一下，第64格就需要放92 2337 2036吨米。 二、问题引入 问题1 细胞分裂问题 分裂 次数 0次 1次 2次 3次 4次 次 ······ ······ ······ 细胞 总数 1个 2个 4个 8个 请同学们观察细胞分裂示意图，完成两个空格的填写 问题1 细胞分裂问题 分裂 次数 0次 1次 2次 3次 4次 次 ······ ······ ······ 细胞 总数 1个 2个 4个 8个 若细胞总数记为y，细胞分裂次数记为x，请写出细胞总数与细胞分裂次数的函数解析式 二、问题引入 ① 问题2：《庄子·天下》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.这句话的意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完.设木棍的长度为1 截取1次木棍剩余多少？2次呢？3次呢？ 将木棍的剩余长度设为y，截取次数设为 ，试写出y与 之间的关系式 二、问题引入 ② 问题3：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 二、问题引入 死亡１年后，生物体内碳１４含量为__________； 死亡２年后，生物体内碳１４含量为___________； 死亡３年后，生物体内碳１４含量为___________； …… 死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为___________． （1-p)1 （1-p)2 （1-p)3 （1-p)5730 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个 单位,那么： 根据已知条件 （1-p)5730＝ , 从而 1-p= , 所以 p=1-． 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ， 即, （x∈[０，＋∞）） ． 这也是一个函数，指数x是自变量． 死亡生物体内碳１４含量每年都以1-规率衰减． 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。 ③ 问题4：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 二、问题引入 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． A地景区大约每年增长10万次 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ 用什么方法更易发现规律？ 为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图，根据图像并结合年增长量，发现了什么规律？ Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次） Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 　　 结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数． 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 二、问题引入 １年后，游客人次是２００１年的____________倍； ２年后，游客人次是２００１年的____________倍； ３年后，游客人次是２００１年的____________倍； …… x年后，游客人次是２００１年的_____________倍． 因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1.111 1.112 1.113 1.11x 如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么 y＝________________________ 1.11x （x∈[０，＋∞））． ④ 这是一个函数，其中指数x是自变量 二、问题引入 抽象 抽象归纳 问题：以上两个式子有何共同特征？ (1)解析式都是指数形式，且整体系数为1； (2)指数为自变量x，底数是常数且都大于0； (3)自变量x在指数位置上； 三、探究新知 y=1.11x （x∈[０，＋∞）） ③ , （x∈[０，＋∞））④ ① ② 定义： 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R 系数为1 底数为正数且不为1 x系数为1 三、探究新知 思考：为什么指数函数中明确规定a>0,且 a≠1？   0 1 a 当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要. 当a<0时，a x有些会没有意义，如 当a=0时，a x有些会没有意义，如 为了便于研究，规定： (a>0且a≠1) 三、探究新知 1．思考辨析 (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数y＝中，可以为负数.（ ） × × × 四、典例讲解 是幂函数 2.判断下列函数是不是指数函数： （1） …………（ ） （2） …………（ ） （3） …………（ ） （4） …………（ ） （5） …………（ ） （6） …………（ ） × × √ × × √ ①底数：a＞0，且a≠1 ②指数：自变量x ③系数：1 四、典例讲解 3.若函数f(x)=(a-3)x是指数函数，则实数a的取值范围是 . (3,4)∪(4,+∞) 四、典例讲解 4.已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 四、典例讲解 5．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(-3)的值； 解：（1）将点（3，π），代入 得到 ， 即 所以 求指数函数解析式 四、典例讲解 四、典例讲解 6. 3. 设f(x)=ax(a>0且a≠1),其图象经过点 (1)求f(x)的解析式; (2)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值. 四、典例讲解 7. 8. 五、随堂练习 1：（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况． 解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x） 和g（x）， 利用计算工具可得， 当x=0时，f（０）－g（０）＝412000． 当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）． 结合图可知： 当x＜10.22时，f（x）＞g（x）， 当x＞10.22时，f（x）＜g（x）． 当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303． 则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）=1000×278×1.11x． 六、拓展练习 这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x）， 这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了． 六、拓展练习 （2）在问题2中，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：设生物体死亡x年后，它体内碳14的含量为h(x) 如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么 h(x), （x∈[０，＋∞））． 当生物体死亡10000年后，利用计算工具求得h(10000)= 所以，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的30% 六、拓展练习 解：（1）y=a(1+r)x（xN）； （2）由已知，y=1000(1+0.0225)x， 即y=1000×1.0225x（xN）. 当x=5时，y=1000×1.02255≈1117.68（元）. 2.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 六、拓展练习 本节课你学到了什么？ 发现了什么？ 有什么收获？ 还存在什么没有解决的问题？ 七、课堂小结 七、课堂小结 1、我们是如何引出指数函数概念的？ 2、什么样的函数是指数函数，其解析式有什么特征？ (a>0且a≠1) 抽象 抽象归纳 3、 八、作业布置 P118 1,2,7,8 由y=(a2-3a+3)ax是指数函数, 可得 解得故a=2. (1∵f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点, ∴=,∴a=10,∴f(x)=10x. (2)∵f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25, ∴102m·10n=100,∴102m+n=102,∴2m+n=2. $$