第五章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·山西阳泉·期末）若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 2．（2025高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在处的切线与轴垂直，可求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 又因为函数在处的切线与轴垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 即切点为， 又因为， 所以在处的切线的斜率， 所以在处的切线方程为：， 即，. 故选：B. 3．（2025高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可直接求出函数的单调区间，再根据题目中所告诉的区间内不单调，则极值点在该区间内，从而得出k的值． 【详解】由题意得，函数定义域为 ，令，解得在定义域内， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间内不单调，所以， 解得，又因为，得， 综上，故选C． 【点睛】本题考查导函数与函数单调性，需注意函数定义域． 4．（2025高二·全国·课后作业）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令得，分 讨论，再求出，由可得答案. 【详解】，令得， 当时，无实数根，函数无极值点； 当时，得，由函数有小于零的极值点， 得，解得. 故选：B. 5．（2025·山西吕梁·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，，令求导分析单调性可判断，再令，求导分析单调性可判断. 【详解】，，，构造函数，，， 令，，则， 所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以． 令，，，所以在上单调递减， 所以，所以，所以，所以，所以． 故选：D 6．（2025高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．∪ D．∪ 【答案】A 【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数在上单调递增， 所以可化为，即， 所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 7．（2024·江苏苏州·三模）若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ， 又，，， 由“稳定函数”定义可知：，即， 解得：，即实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系. 8．（2025高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围. 【详解】当时，单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当或时，， 令得或， 当时，恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且，， 故的解集为， 时，令可得， 当时，， 令得， 故在上单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当时，恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 时，，单调递增， 又，故上，无解， 综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A: ，令，得或，有“巧值点”，A满足； 对于B: ，令，得，有“巧值点”，B满足； 对于C: ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足； 对于D: ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足. 故答案为：ABC. 10．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． 有两个极值点 B．当时，在上是增函数 C．当时，在上的最大值是1 D．当时，点是曲线的对称中心 【答案】BCD 【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A，结合导数判断函数的单调性求最值，判断B，C，结合奇函数的定义判断D. 【详解】因为， 所以， 当时，，当且仅当时， 函数在上单调递增， 函数没有极大值点也没有极小值点，A错误； 当时，， 当时，，函数在上单调递增，B正确； 当时，， 令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又， 所以函数在上的最大值为1，C正确； 当时，， ， 设， 则，， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以函数关于点对称，D正确. 故选：BCD. 11．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则（    ） A．方程有两个实数根 B．在处取得极小值 C．若，则 D．若过点可作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【分析】根据求出，解方程可判断A，利用导数求函数极值判断B，分离参数，利用导数求函数最值即可判断C， 根据过点做切线有两条转化为方程两解，利用导数求函数极大值可得解. 【详解】，因为，所以， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以在处取到极小值， 此时，所以是唯一解， 即．的定义域为， 令，则，解得，所以方程只有一个实数根，A错误； ，令，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，B正确； ，即，令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，，所以的取值范围是，C正确； 设切点为，所以切线方程为， 又切线方程过点， 所以，即， 依题知方程有两个实数根， 令，则， 当时，单调递减，最多只有一个零点，不合题意； 当时，令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，要使方程有两个实数根， 则，即，D正确． 故选：BCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二下·浙江温州·期中）已知，则的值为 . 【答案】. 【解析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得，，再相加可得答案. 【详解】由，得， 所以，① ② 由①②得，, 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题. 13．（2025高三上·广东广州·阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为 （结果保留两位小数）. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可. 【详解】由，，所以在处的切线方程为：，令， 可得：，所以在处的切线方程为：，令， 故答案为： 14．（24-25高二上·江苏盐城·期末）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可 【详解】设 ,又有成立， 函数，即是上的增函数． ，，即, ， 故答案为：． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知函数. （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）(－∞，－1)和；（2）. 【解析】（1）求出导数，解不等式，求出单增区间； （2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可. 【详解】解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1， 由f′(x)>0，得x<－1或x>， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和. （2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值 函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围. 【点睛】函数的单调性与导数的关系： 已知函数在某个区间内可导， （1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减； （2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有； 16．（2025高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 即恒成立，令， 则，而． 因为，所以．所以（此时），所以． 当时，． 因为，所以，即在上为减函数， 又，所以实数a的取值范围是． （2）因为，，所以． 因为在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可，而，， 所以，此时，所以． 又，所以或． 所以实数a的取值范围为． 17．（2025高二下·全国·课后作业）已知． (1)求函数的极值； (2)证明：对一切，都有成立． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的最值，进而证明即可. 【详解】（1）由，，得， 令，得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取得极小值，，无极大值． （2）问题等价于证明，． 由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到． 设，，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 易知，当且仅当时取到． 从而对一切，，两个等号不同时取到， 所以对一切都有成立． 18．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导可得，讨论参数a，结合的符号求的单调性； （2）由（1）将问题转化为恒成立，令，构造并应用导数求最值，即可证结论. 【详解】（1）解：函数的定义域是(0,+∞)，则， ①当a＜0时，，恒成立，故在(0,+∞)上单调递增， ②当a＞0时，由，得，由得， 故函数在区间递增，在上递减； （2）解：由（1）知：欲使恒成立，只需，即， ∴， 若，令，则， 由，得，由，得， 故在递减，在上递增， 故，故，即． 19．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得，求导得，再结合导数正负区间从而可求解； （2）根据题意可知函数的定义域为，然后分①，②，③，④共4种情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的定义域为． ①当时，则恒成立，在区间内单调递增，无极值； ②当时，则恒成立，在区间内单调递减，无极值； ③当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故有唯一极小值点，极小值为，无极大值； ④当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递增； 当时，单调递减． 故有唯一极大值点，极大值为，无极小值． 综上所述，当时，函数无极值， 当时，有极小值，无极大值， 当时，有极大值，无极小值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·山西阳泉·期末）若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 2．（2025高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·课后作业）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．∪ D．∪ 7．（2024·江苏苏州·三模）若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． 有两个极值点 B．当时，在上是增函数 C．当时，在上的最大值是1 D．当时，点是曲线的对称中心 11．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则（    ） A．方程有两个实数根 B．在处取得极小值 C．若，则 D．若过点可作曲线的两条切线，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二下·浙江温州·期中）已知，则的值为 . 13．（2025高三上·广东广州·阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为 （结果保留两位小数）. 14．（24-25高二上·江苏盐城·期末）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知函数. （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围. 16．（2025高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 17．（2025高二下·全国·课后作业）已知． (1)求函数的极值； (2)证明：对一切，都有成立． 18．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，证明：. 19．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$