第八章 立体几何初步（基础巩固卷）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二·全国·课后作业）在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可 【详解】由题，观察正方体即可得与AD成异面直线且距离等于a的棱有， 故选：C 2．（2025高三上·山东济宁·开学考试）设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 3．（2025高一·全国·课后作业）边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该正四面体的内切球半径为，求出该四面体的体积，利用等体积法求出的值，再利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ， 设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为， 由等体积法可得，解得， 因此，该正四面体的内切球的体积为. 故选：D. 4．（2025高二·四川乐山·期中）已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，三棱锥中，， 则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高， △BCD是等腰直角三角形，则， 综上可得，三棱锥的体积的最大值为. 本题选择A选项. 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在． 5．（24-25高二上·天津西青·期末）在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BM，由面面垂直的判定证明平面平面，再利用面面垂直的性质即可推理计算作答. 【详解】在正方体中，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点B作于E，连接BM，如图， 因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离， 点M为棱的中点，在中，， ，即，解得， 所以点B到平面的距离为. 故选：D 6．（2025高二上·山西朔州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 7．（2025·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，已知，，点分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．直线直线 C．直线直线 D．直线直线 【答案】D 【解析】首先证明可得，取的中点，可证明平面，则，再利用即可证明直线直线，进而可得正确选项. 【详解】如图， 因为，， 所以，所以， 取的中点，连接，， 则，， 又因为， 所以平面，则， 点分别为棱，的中点， 所以，所以 . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用，，证明，可得，再取的中点可证明平面，进而可得，即可证. 8．（2025·吉林·二模）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得平面、与，从而利用基本不等式求得，进而得到，由此得解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，，则， 因为平面，平面，所以， 在中，不妨设，则由得， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以， 所以该三棱锥体积的最大值为. 故选：D. . 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱的母线和它的轴可以不平行 B．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 【答案】BD 【分析】根据有关几何体的性质和定义求解. 【详解】对于A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误； 对于B：圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面，故B正确； 对于C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误； 对于D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱､两个圆锥，正确；      故选：BD. 10．（2025高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积大于球面面积 D．三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小 【答案】ABD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的知识确定正确选项. 【详解】圆柱的侧面积为，所以A正确，C错误. 圆锥的侧面积为，所以B选项正确. 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项正确. 故选：ABD 11．（2025高二上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ） A．为的中点 B．与所成的角为 C．平面平面 D．点与点到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案. 【详解】对于A项，连接交于点，连接，如图所示， //面，面 ，且面面，// ， 又四边形是正方形，为的中点， 为的中点，故A正确； 对于B项，，为 与所成的角， 面，面 ，， 在中，，，故B错误； 对于C项，面，面 ，， 又，， 面 面，又平面 ，故C正确. 因为平面，且为线段的中点， 所以点与点到平面的距离相等，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下： （1）根据线面平行的性质可以判断A项真假； （2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假； （3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假； （4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 ． 【答案】 【分析】求出直观图中的长度，根据斜二测画法，还原原图形为平行四边形，求出高，即可求出原图形的面积. 【详解】解：由题意，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 根据斜二测画法规则，原图形为平行四边形，，高， 所以原图形的面积为. 故答案为：. 13．（2025高二上·浙江台州·期中）如图，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A作一截面与PB、PC、PD分别相交于E、F、G，则四边形AEFG周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出四棱锥的侧面展开图即可得解. 【详解】 如图为四棱锥的侧面展开图，根据图形可知四边形周长最小值为. 【点睛】本题考查了棱锥侧面展开图的应用，属于基础题. 14．（2025高一下·福建·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形求解. 【详解】如图所示： 过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 因为， 所以之间的距离为， 所以梯形的面积为， 故答案为；． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·江苏·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且，. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，AC，根据题干条件，可得EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，不妨设，根据点与线、线与面的关系，可得平面ABD，同理平面BCD，所以在两个面的交线上，又平面ABD∩平面BCD＝BD，则可得，即可得证. 【详解】证明：连接EF，GH，AC. 因为，， 所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG， 所以EH，FG共面，且EH与FG不平行， 不妨设， 则，EH⊂平面ABD，所以平面ABD； 同理平面BCD. 又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以， 所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点线、线面的关系，并灵活应用，考查逻辑推理的能力，属基础题. 16．（2025高一下·江苏镇江·期中）如图，，分别是空间四边形的边，的中点，，分别是，上的点，且，，，四点共面. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合线面平行的判定定理来证得结论成立. （2）结合线面平行的性质定理来证得结论成立. 【详解】（1）由于分别是的中点， 所以, 由于平面，平面， 所以平面. （2）由于，平面，平面, 所以平面， 由于平面，平面平面, 所以. 17．（24-25高一上·陕西商洛·期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，. （1）证明：平面平面. （2）若，分别是，的中点，证明：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由，利用面面垂直的判定定理证明. （2）取的中点，连接，，由三角形中位线可得.，，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形中，，， 则. 因为，所以. 因为， 所以平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）取的中点，连接，. 因为，分别为，的中点， 所以, 又平面，平面， 平面， 同理平面， 因为， 所以平面平面， 又平面OPQ， 所以平面. 【点睛】方法点睛：证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线． 18．（2025高一上·河北邯郸·阶段练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证： （1）平面AB1F1∥平面C1BF； （2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行； （2）先证明B1F1⊥平面ACC1A1，然后可得面面垂直． 【详解】证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接， ∵F、F1分别是AC、A1C1的中点， ，，， ∴是平行四边形，是平行四边形， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 　平面，平面，∴平面， 同理平面， 又∵B1F1∩AF1＝F1，平面，平面， ∴平面AB1F1∥平面C1BF. （2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，平面，∴B1F1⊥AA1. 又是等边三角形，是中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键． 19．（2025·辽宁辽阳·三模）多面体中，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，分别证得和，即可证得； （2）分别证得平面，平面，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以， 同理可证：， 所以． （2）因为为等腰直角三角形，，所以，， 又，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 取的中点，连结、， 因为，则， 又，且，所以四边形为平行四边形，所以， 在中，， 所以，即，进而， 同理可证，进而， 又因为，平面， 所以平面，同理平面， 又容易证得与全等，也是等腰直角三角形． 则 ． 【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，以及几何体的体积的求法是解答的关键，意在考查推理与论证能力，以及计算能力. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二·全国·课后作业）在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2025高三上·山东济宁·开学考试）设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2025高一·全国·课后作业）边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·四川乐山·期中）已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津西青·期末）在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二上·山西朔州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，已知，，点分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．直线直线 C．直线直线 D．直线直线 8．（2025·吉林·二模）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱的母线和它的轴可以不平行 B．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 10．（2025高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积大于球面面积 D．三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小 11．（2025高二上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ） A．为的中点 B．与所成的角为 C．平面平面 D．点与点到平面的距离相等 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 ． 13．（2025高二上·浙江台州·期中）如图，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A作一截面与PB、PC、PD分别相交于E、F、G，则四边形AEFG周长的最小值为 ． 14．（2025高一下·福建·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·江苏·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且，. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 16．（2025高一下·江苏镇江·期中）如图，，分别是空间四边形的边，的中点，，分别是，上的点，且，，，四点共面. (1)求证：平面； (2)求证：. 17．（24-25高一上·陕西商洛·期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，. （1）证明：平面平面. （2）若，分别是，的中点，证明：平面. 18．（2025高一上·河北邯郸·阶段练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证： （1）平面AB1F1∥平面C1BF； （2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 19．（2025·辽宁辽阳·三模）多面体中，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，求多面体的体积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$