立体几何初步教材分析及教学建议课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《立体几何初步》教材分析及教学建议 1 单元-课时教学设计 平面与平面垂直的判定与性质（2课时） 人教A版普通高中教科书·数学教师教学用书配套视频课 理解数学、理解学生、理解教学 理解技术、理解评价 理解数学才能理解教学，只有理解数学内容所蕴含的思想和方法，把握数学内容的本质，才能在数学教学活动中，围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式. 理解数学 理解数学的两个关键： 数学的整体性和一些具有统摄性的“一般观念” 一般观念： 是对数学内容及其反映的思想、方法的进一步提炼和概括； 是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么等问题的一般性回答； 是研究数学对象的方法论. 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 几何与代数是高中数学课程的主线之一. 立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系． 在高中数学课程中，立体几何内容分两部分学习： 第一部分：必修课程中的“立体几何初步”； 第二部分：选择性必修课程中的“空间向量与立体几何”. 一、立体几何知识结构框架与单元划分 立体几何初步章节，人教A版教科书按照从整体到局部，从具体到抽象的原则，首先认识基本立体图形，接下来进入到“局部”“抽象”“思辨论证”的定性研究阶段，即空间直线、平面之间的位置关系研究． 因此，本章内容可以分为两个相互关联的板块： 1.空间几何体结构特征，直观图的画法和它们的表面积、体积的计算公式； 2.空间基本图形的位置关系，重点研究直线、平面的平行和垂直. 一、立体几何知识结构框架与单元划分 章节内容结构框架图 立体几何初步章节知识结构框架图 从整体到局部 定义→判定→性质 人教A版 具体可以划分为八个单元： (1)基本立体图形； (2)立体图形的直观图； (3)简单几何体的表面积与体积； (4)空间点、直线、平面之间的位置关系； (5)空间直线、平面的平行； (6)空间直线、平面的垂直； (7)文献阅读与数学写作*， 几何学的发展， (8)小结. 一、立体几何知识结构框架与单元划分 人教A版 立体几何初步章节知识结构框架图 从整体到局部 定义→判定→性质 人教B版 从局部到整体 沪教版 定义→判定→性质 立体几何初步章节知识结构框架图 从整体到局部再到整体（表面积、体积） 北师大版 立体几何初步章节知识结构框架图 定义→性质→判定 北师大版 立体几何初步章节知识结构框架图 思考：顺序不同， 顺序不重要， 共性是什么？ 重要的是什么？ 研究几何问题的“一般观念” 是相同的！ 空间中研究图形的位置关系，就是对它们的组成元素之间位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究相应的充分条件（判定）和必要条件（性质）. 研究时，都是从其本身的组成元素或与之有关的相关元素（点、直线、平面）出发，研究它们之间的位置关系.在这一过程中，确定图形的组成要素和特殊的位置则是考虑问题的出发点. 空间中研究图形位置关系的一般观念 教学中不是孤立地，或者直指结论地提出一个问题，而是引导学生从数学整体性上展开分析，通过类比，在知识发生发展过程的自然链条中提出一系列问题，开展探究活动，获得猜想，给出证明，得出定理.帮助学生在研究过程中领悟研究几何图形的“一般观念”,体会“研究对象在变，研究路径不变，思想方法不变”的真谛.这样的研究过程，才能培养学生学会依据数学自身内在的逻辑性提出问题，学生掌握了发现和提出问题的方法，就能自觉地展开研究.这就是单元教学的重点和目标所在。 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 对基本立体图形的认识，按“结构特征——直观图——表面积与体积”的路径展开，实际上遵循了认识一个(类)几何图形的基本路径， 即“背景 —— 定义——表示——分类——度量”. 二、基本立体图形板块 人教A版 学生在学习时，对立体图形认知常停留在直观层面，难以从本质特征描述，比如，能辨别棱柱，却无法准确阐述其结构特征。或者把必要条件（性质）当成判定（充分条件）应用.同时在使用严谨数学语言描述图形及进行“三种语言”（文字语言、图形语言和符号语言）转换时存在困难. 二、基本立体图形板块 学生的认知困难： 类比平面几何的研究，引导学生以从两个方面入手认识基本立体图形的结构特征： 一是认识它的组成元素； 二是明确组成元素的基本关系. 在此基础上.明确“几何体组成元素的形状和基本位置关系就是结构特征"这个“一般观念”. 二、基本立体图形板块 本单元教学注重数学思想方法的揭示和应用，在探索棱柱、棱锥和棱台表面积公式时，运用了转化的数学方法； 在探索圆柱、圆锥和圆台的体积公式时，反复应用类比的方法； 在球的体积公式的推导过程中，运用了“极限”的数学思想； 在实际问题的求解过程中，运用了数形结合思想方法. 教学中让学生清晰地感受、自觉地应用这些方法解决问题. 二、基本立体图形板块 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系（平面，位置关系） 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 对空间点、直线、平面的研究按照： “基本事实(公理 )—位置关系—平行—垂直"的路径展开.其中“空间直线、平面的平行、垂直”是特殊的位置关系. 所以，总体上看，对位置关系的研究按照 “背景——定义——性质 —特例”的路径展开. 三、空间基本图形的位置关系 （一）基本事实(公理 ) 立体图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决立体图形问题的重要思想方法，而转化的依据就是平面的基本性质（基本事实及其推论).因此，本单元内容是立体几何的基础。 三、空间基本图形的位置关系 平面是立体几何中只描述不定义的基本概念，用三个基本事实刻画其基本特征.三个基本事实依次是用点与平面、直线与平面、平面与平面的关系刻画平面的. 理解基本事实的本质和作用 公理2：利用点与面的关系和点与线的关系，研究线与面的关系 判定 性质 作用 线在面内的定义---所有点 如何判定线在面内 ---所有点？——两点 如果线在面内呢？会有哪些位置关系？ 26 理解基本事实的本质和作用 27 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 人教A版研究空间直线、平面平行或垂直的路径： 定义→判定→性质 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 在研究这些位置关系时，“化繁为简” “以简驭繁”是数学研究问题的一般思路，即从复杂图形向简单图形、从立体图形向平面图形转化．核心方法:是维度转化、语言转化、关系转化.研究过程中渗透着公理化思想． 学习立体几何的方式是： 按照直观感知—操作确认—抽象概括—推理论证等方式认识和探索空间图形的性质. 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 教学中重点是引导学生思考： 面对空间基本元素的平行这一特殊位置关系，应该研究哪些具体问题？ 如何在数学整体观下按数学内在逻辑提出值得研究的问题？ 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 平面几何中已经研究过平行线，立体几何中继续研究什么？ 首先是将平面几何中关于平行的结论推广到空间，得到“基本事实4”,即平行关系的传递性在空间仍然成立. 利用基本事实4，可以将“等角定理”推广到空间. 1.空间中直线与直线的平行 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 有了定义为什么还要研究判定定理呢？ 这里我们要区分一下定义的对象，如果定义的对象是一类几何图形〔例如三角形、棱柱等等)，那么定义给出的条件一定是充要条件，只有这样才能做到简洁、正确，并且可以利用定义精确区分此类对象和他类对象. 2.空间中直线、平面平行的判定 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 定义：平行关系的本质是从“公共点”的角度进行分析. 如果定义的对象是一种几何关系，那么定义所给出的条件有时是有“多余”的.例如直线在平面内的定义，直线与平面垂直的定义等等.总之，研究判定定理就是要在定义的基础上去掉“多余条件”而得出充分条件，从而使条件更加具体、更有针对性. 2.空间中直线、平面平行的判定 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 研究判定定理的基本思路，是沿着基本图形位置关系的逻辑链条不断地“往回找”.将新问题化归为已解决的问题、方法进行研究.这个过程充满着直观想象、逻辑推理等，而且是有套路的. 2.空间中直线、平面平行的判定 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 对于平行关系的判定，就是利用平行关系的可传递性，将直线、平面平行，转化为直线与直线平行，其实这里仍然利用了共面直线的平行. 问题1：我们知道，直线与平面平行的定义是：直线与平面没有公共点.因为直线是无限延伸的，平面也是无限延展的，因此用定义判定直线与平面平行并不方便.回顾前四个单元的研究思路，都是借助于立体图形组成元素的相互关系来刻画图形的特征，那么能不能通过直线与平面内的直线的位置关系来判定直线与平面平行呢? 追问1：门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ 追问2：将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 追问3： 如上归纳出来的就是直线与平面平行的判定定理，如何用三种语言表示? 课例： 空间中直线与平面平行的判定定理 直观感知—操作确认—抽象概括—推理论证 空间直线、平面位置关系的性质定理要研究的问题是什么呢？ 性质定理给出了直线、平面平行关系的必要条件.把空间基本图形位置关系的性质放在一起进行共性分析，可以看到，它们是以直线、平面的某种位置关系为大前提，研究这种位置关系的组成元素与空间中其他直线、平面有什么确定的关系，因此性质定理的研究也是有套路的. 3.空间中直线、平面平行的性质 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 α a α a 空间中直线与平面平行的性质 实际上，“以 a//α为前提，研究空间基本图形与a、α之间的相互关系”,并且是以空间中的平行、垂直关系为主题就是“一般观念”，在这样的认识下，我们就可以通过引进第三个元素，研究这个元素与a 、α之间的关系.例如，增加的是一条直线b会有哪些问题值得研究？ “套路”是什么？ b b “以 a//α为前提，增加的是一条直线l会有哪些问题值得研究？ 空间中直线与平面平行的性质 “以 a//α为前提，增加的是一个平面β会有哪些问题值得研究？ 空间中直线与平面平行的性质 a α β a α β “以 a//α为前提，增加的是一个平面β会有哪些问题值得研究？ 空间中直线与平面平行的性质 有了探索直线与平面平行的经验，学生就可以通过类比，自主探索平面与平面平行的性质.这样不仅可以形成完整的直线与平面平行、平面与平面平行的知识结构，而且还可以使学生从中体会“如何有逻辑地思考”“如何探究”“如何发现”等. 3.空间中直线、平面平行的性质 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （一）空间直线、平面的平行关系 在研究了平行关系的基础上继续研究垂直关系.垂直关系是相交关系中的特殊情况.直线、平面的垂直关系与平行关系在研究的内容、路径以及思想方法等方面都差不多，而且空间的平行与垂直是可以相互转化的，不过在一些具体问题的处理上也有其自身特点. 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （二）空间直线、平面的垂直关系 这里思考的问题是：直线与直线、直线与平面、平面与平面相互垂直的定义有什么异同？ 1.空间中直线、平面垂直关系的定义 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 （二）空间直线、平面的垂直关系 在立体几何中研究直线与直线、平面与平面的位置关系的几何研究的思路是一致的，先要定义一个角刻画直线与直线、平面与平面的相交，这些角等干90°时就得到了直线、平面相交关系中的特殊关系，即直线与直线、平面与平面的垂直. (1)直线与直线、平面与平面相互垂直的定义 1.空间中直线、平面垂直关系的定义 直线与平面的位置关系是先定义垂直关系，再利用垂直关系定义直线与平面所成角. (2)直线与平面相互垂直的定义 1.空间中直线、平面垂直关系的定义 原因是什么？ 直线与直线所成的角 对于两条异面直线所成角，我们通过平移，将异面转化为共面，再以相交线所成角定义异面直线所成角.这样定义具有完备性、纯粹性. (1)直线与直线、平面与平面相互垂直的定义 1.空间中直线、平面垂直关系的定义 人教A版 难点是定义二面角的大小需要考虑哪些问题？ 像其他度量问题一样， 1）要考虑存在性和唯一性， 2）把二面角的问题转化为平面角的问题， 3）要界定好在什么范围取值. ② 平面与平面所成的角 (1)直线与直线、平面与平面相互垂直的定义 问题2： 二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顾一下异面直线所成的角和直线与平面所成的角的定义. 追问1： 二面角是空间图形，寻找什么样的平面角来刻画二面角合适呢？ 追问2：我们通常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？ 追问3：二面角的平面角所在平面与二面角的棱有什么关系？ 课例： 平面与平面所成的角 探究活动：学生动手操作，在卡纸折叠成的二面角上画出自己认为适合的平面角.把学生的画法汇总，提出四种画法. 学生没有提到的方法，教师可以以问题形式呈现. 课例： 平面与平面所成的角 ③ 直线与平面所成的角 研究直线与平面相交，原始问题是如何定义直线与面所成的角，基本思路是转化为直线与平面内的直线所成的角. 这时遇到的问题是：到底选平面内的哪条直线才能满足纯粹性和完备性呢？ A′ B l O A 利用直线与其在平面内的射影所成的角是唯一存在的最小角，定义直线与平面所成的角具有完备性和纯粹性. (2)直线与平面相互垂直的定义 A′ B l O A 因为作一条直线在一个平面内的射影要借助平面的垂线，所以必需要先定义直线与平面垂直. ③ 直线与平面所成的角 (2)直线与平面相互垂直的定义 直线与直线所成的角、二面角是同类元素所成的角，两个同类图形的垂直关系是在定义它们所成角的基础上，再把所成角为90°时的特殊位置定义为相互垂直.容易形成类比. 而直线与平面所成角是两类不同元素所成的角，所以它们的定义路径不同.直线与平面所成的角需要转化为直线与平面内的直线所成角，遇到的问题是到底选平面内的哪条直线才能满足纯粹性和完备性.所以，直线与平面垂直的概念要比直线与直线、平面与平面垂直难学. 1.空间中直线、平面垂直关系的定义 （二）空间直线、平面的垂直关系 人教A版 多版本教材的借鉴 深挖教材 空间直线、平面的夹角 沪教版 多版本教材的借鉴 直线与平面所成的角 鳖臑 与平行类似，这里思考的仍然是：“判定”要研究的问题是什么？发现判定定理的思想方法是什么？ 要让学生明确：研究的问题是直线、平面垂直关系的充分条件，所采用的思想方法是从定义出发探究垂直关系所需要的“最少条件”，这对发展学生的理性思维、提升逻辑推理和直观想象素养都非常必要. 2.空间中直线、平面垂直关系的判定 （二）空间直线、平面的垂直关系 直线与平面的关系是维数不同的两类基本图形的关系，是联系维数相同的两类基本图形的桥梁，所以非常重要. (1)直线与平面垂直关系的判定 2.空间中直线、平面垂直关系的判定 （二）空间直线、平面的垂直关系 直线与平面垂直判定定理的探索过程，其关键有如下几点： 第一，将直线a与平面α垂直转化为直线a与平面α内 的直线垂直； 第二，利用空间直线与直线垂直的定义； 第三，利用平面的基本性质及其推论（确定一个平 面的条件）. (1)直线与平面垂直关系的判定 2.空间中直线、平面垂直关系的判定 （二）空间直线、平面的垂直关系 直线与平面垂直的判定定理中涉及的“平面内的两条相交直线”实际上就是确定一个平面的充分条件.另外，两条平行线也是确定一个平面的充分条件，为什么不能把判定定理中的“相交”改为“平行”？ 从向量的观点看，不共线的两个向量成为平面的一个基底，两个平行向量不能成为基底，也就推不出直线与平面垂直. (1)直线与平面垂直关系的判定 2.空间中直线、平面垂直关系的判定 （二）空间直线、平面的垂直关系 两个平面互相垂直的判定要问的仍然是：探索平面与平面垂直的判定定理的指导思想是什么？ 结合已有的经验可以发现，这里有三个要点： 1）两个平面相互垂直的定义； 2）将平面与平面垂直转化为直线与平面垂直； 3）用向量的眼光看，因为一个点和一个方向（法向量） 可以确定唯一一个平面，两个平面相互垂直等价 于两个平面的法向量相互垂直. (2)平面与平面垂直关系的判定 2.空间中直线、平面垂直关系的判定 （二）空间直线、平面的垂直关系 课例： 平面与平面垂直的判定定理 直观感知—操作确认—抽象概括—推理论证 对于直线与平面垂直的性质，可以类比直线与平面平行的性质来提出问题和发现性质.这里要研究的问题是：以a ⊥ α为大前提，研究a 、α与空间中的直线、平面具有怎样的确定关系，并且是以空间中的平行、垂直关系为主题.在这样的认识下，我们就可以通过引进第三个元素，研究这个元素与a 、α之间的关系. (1)直线与平面垂直关系的性质 3.空间中直线、平面垂直关系的性质 （二）空间直线、平面的垂直关系 62 α a α a 以 a⟂α为前提，增加的是一条直线l会有哪些问题值得研究？ (1)直线与平面垂直关系的性质 3.空间中直线、平面垂直关系的性质 （二）空间直线、平面的垂直关系 α a α a β β 以 a⟂α为前提，增加的是一个平面β会有哪些问题值得研究？ (1)直线与平面垂直关系的性质 3.空间中直线、平面垂直关系的性质 （二）空间直线、平面的垂直关系 直线与平面垂直关系的性质 直线与平面垂直关系的性质 同样，研究平面与平面垂直的性质，实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系，同样通过引进第三个元素，研究这个元素与两个平面之间的关系. (2)平面与平面垂直关系的性质 3.空间中直线、平面垂直关系的性质 67 平面与平面垂直关系的性质 图8 图7 图9 图10 图5 β α l 增加的是一个平面β会有哪些问题值得研究？ 以 α⟂β为前提， 增加的是一条直线l会有哪些问题值得研究？ 68 课例： 平面与平面垂直关系的性质 平面与平面垂直关系的性质 课例： 课例： 平面与平面垂直关系的性质 从直线a，b和平面这三个空间元素中任取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系.则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系？你能得到哪些结论？写出一些你认为重要的. 如果三个元素分别是直线m，平面.你能得到哪些结论？仿照探索直线、平面垂直的判定和性质的过程，如何解决这个问题？ 探究：空间直线、平面的垂直关系 72 人教A版 深挖教材 人教A版 空间中有关平行、垂直位置关系的转化 几何证明的思路就是关系转化的思路 通过这样的系统思考和探索，学生可以非常深切地感受到空间中平行和垂直关系之间的内在联系，它们可以相互转化.这些关系正是欧氏空间的平直性和对称性的内在联系的体现. 76 顺序不同，共性是什么？ 顺序不重要，重要的是什么？ 一般观念：空间中研究图形的位置关系，就是对它们的组成元素之间位置关系的研究，无论性质还是判定，都是“空间确定的位置关系”. 研究时，都是从其本身的组成元素或与之有关的相关元素出发，研究它们之间的位置关系. 事实上，不论对于定理的证明，还是求解例题、习题，分析的方法都是一样的，把握了研究路径，就能整体把握所学知识，在结构中厘清楚它们之间的关系、分清它们的层次，就不会迷失在众多的知识点中。 理解“研究对象在变，研究路径不变，思想方法不变”的真谛. 78 只要有了定义、判定和性质这些定理，就可以定义之前直接应用过的一些概念.比如，在表示直线与平面垂直时，类比平面几何中过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直，就可以得到空间中过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，简称“唯一性”. 有了直线与平面垂直的知识，就可以严谨地定义点到平面的距离，并证明棱台的体积公式等. 4.距离与体积 （二）空间直线、平面的垂直关系 人教A版 台体体积公式 多版本教材的借鉴 4.距离与体积 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 1.含有平行、垂直条件的重要平面几何模型 五、重要空间几何问题 2.重要空间几何体 五、重要空间几何问题 鳖臑 五、重要空间几何问题 鳖臑几何体中的垂直关系 鳖臑几何体中的空间角 人教A版 沪教版 多版本教材的借鉴 鳖臑 鳖臑 2024年全国I卷高考题 沪教版 3.截面问题 五、重要空间几何问题 （1）球的截面 4.几何体与球的切、接关系 五、重要空间几何问题 （2）平面几何基础 三角形的外接圆、内切圆半径 五、重要空间几何问题 4.几何体与球的切、接关系 设正方体的棱长为a, 求它的内切球、外接球的半径.（柱体） (3)两个特殊几何体 五、重要空间几何问题 4.几何体与球的切、接关系 设正四面体的棱长为a, 求它的高，以及内切球、外接球的半径.（锥体） 五、重要空间几何问题 (3)两个特殊几何体 4.几何体与球的切、接关系 (4)借助补成特殊几何体法求多面体的外接球的球心与半径 1.圆柱模型（直棱柱--线⊥面） 1）长方体 2）可以补成长方体的锥体模型： ②鳖臑 ③对棱相等的三棱锥 ①“墙角”模型 1.圆柱模型 4）直棱柱 ②鳖臑 5）可以补成直棱柱的锥体模型： ①“线⊥面” 模型； 3）正棱柱 (4)借助补成特殊几何体法求多面体的外接球的球心与半径 2）可以补成圆锥的模型：侧棱长均相等的棱锥 2.圆锥模型（侧棱长均相等的棱锥） 1）正棱锥 (4)借助补成特殊几何体法求多面体的外接球的球心与半径 3.圆台模型（正棱台）--外接球 (4)借助补成特殊几何体法求多面体的外接球的球心与半径 2)双直角三角形共斜边”模型 1)面⊥面”的已知大圆模型 3)菱形折叠模型 鳖臑 (5)利用几何法找球心 如果直接找到空间一点O到多面体的各个顶点距离相等，则这个点O就是这个多面体的外接球的球心（分别过两个截面外心的垂线交点），O与多面体任意一个顶点的连线即球的半径； (6)坐标法建系求球心 (7)多面体的内切球的球心与半径： 1.几何法确定内切球半径； 2.等体积法 圆台模型（正棱台）--内切球 一、立体几何知识结构框架与单元划分 二、基本立体图形板块 三、空间基本图形的位置关系 四、空间直线、平面的平行与垂直关系 五、重要空间几何问题 《立体几何初步》多版本融合教材分析及教学建议 六、多版本教材的借鉴 沪教版 立体几何中的公理及推论 六、多版本教材的借鉴 人教A版 祖暅原理 六、多版本教材的借鉴 祖暅原理 沪教版 六、多版本教材的借鉴 人教B版 祖暅原理——球 六、多版本教材的借鉴 北师大版 六、多版本教材的借鉴 祖暅原理——球 人教B版 球的截面 六、多版本教材的借鉴 沪教版 循序渐进 不追求一步到位 六、多版本教材的借鉴 人教B版 多面体的欧拉定理 人教A版 六、多版本教材的借鉴 沪教版 多面体的欧拉定理 六、多版本教材的借鉴 多面体的欧拉定理 六、多版本教材的借鉴 反证法 人教A版 同一法 六、多版本教材的借鉴 切、接关系 人教A版 北师大版 六、多版本教材的借鉴 沪教版 六、多版本教材的借鉴 切、接关系 截面问题 北师大版 人教B版 沪教版 多版本教材的借鉴 折叠问题 沪教版 北师大版 六、多版本教材的借鉴 沪教版 六、多版本教材的借鉴 折叠问题 北师大版 不定点问题 多版本教材的借鉴 人教A版 四心问题 多版本教材的借鉴 异面直线判定定理 人教A版 六、多版本教材的借鉴 沪教版 异面直线判定定理 六、多版本教材的借鉴 沪教版 人教A版 三垂线定理 六、多版本教材的借鉴 人教B版 三垂线定理 六、多版本教材的借鉴 沪教版 六、多版本教材的借鉴 沪教版 六、多版本教材的借鉴 回顾对空间中点、直线、平面位置关系的研究过程，我们发现，无论是平行关系还是垂直关系，其研究的内容、思路和方法都有极大的相似性. 由此，我们强调数学整体性的单元教学设计，反对把数学内容碎片化，注重把同类研究对象、相似的研究内容整合在一起，形成具有思想一致性的学习单元，而单元之间又形成环环相扣、逻辑连贯的“单元链”.在这样的结构化单元系列教学中，引导学生在一般观念的统领下，通过一个个数学对象的研究，逐步形成“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”的切实体验，在掌握基础知识、基本技能的过程中，领悟基本思想、积累基本活动经验，在这样的教学中，学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养就可以得到有效发展. 数学教师只有不断的去学习，思考，提升自身对数学的理解水平，才能真正做到理解数学、理解学生，理解教学，才能围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力. 谢谢倾听 请多指教 $$