精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市巴彦县中考一模数学试题

哈尔滨市2025年初中毕业学年调研测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在实数，，，中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载240000吨的货物．数字240000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 16. 小明的卷子夹中放了大小相同的试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，则随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为____________． 17. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒_____． 18. 已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP=________． 19. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是____________ 20. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27题每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 23. 某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查（每个同学必选且只能选择一项），统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图．根据以下统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽取多少名学生进行问卷调查？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有2500名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数． 24. 已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D． （1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形． 25. 2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板。若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元． （1）求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元？ （2）若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套？ 26. 如图，内接于，． （1）如图1，求证：为的直径； （2）如图2，点在弧AB上，连接相交于点F，连接，若，求证：是的角分线； （3）如图3，在（2）的条件下．连接与相交于点G，过点B作交延长线于点H，AB与CE相交于点M，若，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． （1）求，的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析为（为常数），求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市2025年初中毕业学年调研测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在实数，，，中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据平方运算先比较与的大小，然后再根据正数大于负数，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 在四个实数：，，，中， ， 最小的数是， 故选：． 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键． 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载240000吨的货物．数字240000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 7. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵为圆O的切线， ∴， ∴， ∵与都是所对的圆周角，且， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 则． 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可． 【详解】由作法得BD平分∠ABC， ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等． 9. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 10. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 【详解】解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 16. 小明的卷子夹中放了大小相同的试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，则随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张， ∴随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为， 故答案为： 【点睛】此题考查了简单概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键． 17. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒_____． 【答案】6076 【解析】 【分析】本题考查了规律型图形的变化，解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律，要细心观察，难度适中，是中考的常见题型．观察图形寻找规律，每增加一个小正方形，需要三根小棒，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：依题意，搭2个小正方形需要根小棒； 搭3个小正方形需要根小棒； 搭4个小正方形需要根小棒； …… 以此类推：搭n个小正方形需要根小棒； ∴搭2025个小正方形需要根小棒； 故答案为：． 18. 已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP=________． 【答案】2或 【解析】 【分析】作CD⊥AB的延长线于D，求得∠CBD＝60°，解直角三角形求得DC＝3，进而求得AD＝6，根据勾股定理求得AC＝3，即可求得AO，然后求得AP＝2或． 【详解】作CD⊥AB的延长线于D． ∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°． ∵BC＝2，∴DC＝BC•sin60°＝2•3． ∵tan∠A，∴AD＝6，∴AC，∴AO． ∵OP，∴AP＝2或． 故答案为2或． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 19. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是____________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 20. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）． 【答案】①②③． 【解析】 【分析】由折叠的性质可得由平行线的性质可得 可证 可判断①；通过证明可得 可判断②；由中线的性质可得 可判断③；设则利用x表示 GH ， BH， HG 的长，可求可判断④，即可求解． 【详解】解：①∵将沿AC翻折到 ∴四边形是菱形． 故①正确． ② 又 又 ∵E是AC的中点， 故②正确． ③ 故③正确． ④如图所示：过点G作交BA延长线于H， 设则 ∵四边形是菱形， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题%是解题的关键． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27题每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【详解】当a=4cos30°+3tan45°时， 所以a=2+3 （1﹣）÷= = =. 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）如图所示： （2） 如图所示，点的坐标； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出，再在图上得出点的坐标，即可作答．； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 23. 某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查（每个同学必选且只能选择一项），统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图．根据以下统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽取多少名学生进行问卷调查？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有2500名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数． 【答案】（1）共抽取200名学生进行问卷调查 （2） 喜爱足球的人数为：（人）， 补全图形如图所示． ． （3）估计全校学生喜欢足球运动的人数为625人 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体； （1）由喜欢排球的人数除以其占比即可得到总人数， （2）先求解喜欢足球的人数，再补全图形即可； （3）由全校总人数乘以喜欢足球的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）； 答：本次共抽取200名学生进行问卷调查． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 （人）； 答：估计全校学生喜欢足球运动的人数为625人． 24. 已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D． （1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形． 【答案】 （1）证明：∵∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD⊥AD， ∴∠D=90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）△ADG，△DGH，△CDH，△ABG． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由∠D=90°，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到AB=CD，根据相似三角形的性质得到AG=GH=CH，得到S△ADG=S△DGH=S△CDH，根据全等三角形的性质得到S△ABG=S△CDH，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD， ∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点， ∴AB=CD=2AE，AD=BC=2CF， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH， ∴， ， ∴，S△CDH=2S△CHF， ∴AG=GH=CH， ∴S△ADG=S△DGH=S△CDH， 在△ABG与△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SAS）， ∴S△ABG=S△CDH， ∴S△ADG=S△DGH=S△CDH=S△ABG=2S△CHF， ∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG． 【点睛】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 25. 2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板。若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元． （1）求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元？ （2）若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套？ 【答案】（1）700元和900元 （2）61套 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元，根据“若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元”建立二元一次方程组求解； （2）设购进单板雪板套，根据“该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套”建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元， 依题意得， 解得 答：购进单板雪板和双板雪板的单价分别是700元和900元； 【小问2详解】 解：设购进单板雪板套， 依题意得：， 解得 为正整数 的最小值为61 答：单板雪板至少要购进61套． 26. 如图，内接于，． （1）如图1，求证：为的直径； （2）如图2，点在弧AB上，连接相交于点F，连接，若，求证：是的角分线； （3）如图3，在（2）的条件下．连接与相交于点G，过点B作交延长线于点H，AB与CE相交于点M，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴为的直径； （2）证明：∵， ∴ ∵， 又∵， ∴， 即是的角分线； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理并结合证明，然后利用圆周角定理的推论证明即可； （2）利用圆周角定理得出，结合三角形内角和定理以及，可得出，即可得证； （3）延长相交于点N，证明，得出，再证，可求，，证明，可得，可求出，在中，利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 延长相交于点N， ∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作，垂足为T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论，正切的定义，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． （1）求，的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析为（为常数），求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线段的长度得到，，再利用待定系数法解答即可； （2）由题意得：，过点作于点，则，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）利用中心对称的性质得到，利用待定系数法求得直线直线的解析式为，与抛物线的解析式联立求得点的坐标，将，的坐标代入直线的解析式，解方程组即可求得值，代入，化简运算即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，， ∴，， ∴，解得： ； 【小问2详解】 ∵点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为， ∴， 过点作于点，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 由（2）知：， ∵， ∴， 令，则， ∴或， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ∴， ∴或， ∴． ∵直线的解析为， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $