1.1等腰三角形（第3课时）（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

教学设计 教学课题 等腰三角形 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过探索等腰三角形判定定理，学生能够从几何图形中发现数学规律，理解等腰三角形的判定条件，并将其应用于实际问题中。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过反证法的学习，学生能够运用逻辑推理和逆向思维，理解并掌握反证法的基本思路，提升数学思维的严谨性和批判性。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够运用数学语言准确描述等腰三角形的判定定理及反证法的证明过程，并通过书面和口头表达清晰阐述数学推理过程。 重难点 （1）理解并掌握等腰三角形的判定定理，能够灵活运用 “等角对等边” 进行证明。 （2）初步掌握反证法的基本思路，能够在简单的情境中运用反证法进行推理和证明。 教学方式与策略 讲授法、实验法、讨论法、发现法 教学活动设计 一、情景导入，初步认知 问题 1. 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ （生：等腰三角形性质定理是说，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。题设是一个三角形有两条边相等，结论是这两条边所对的角相等。） 问题 2. 我们是如何证明上述定理的？ （学生回忆并描述上节课的证明方法，老师可以提示学生注意辅助线的使用以及全等三角形的应用。） 【教学说明】 通过问题回顾等腰三角形的性质定理及其证明思路，鼓励学生独立思考后再进行小组交流讨论。 二、思考探究，获取新知 1. 探索等腰三角形的判定定理 问题： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？ （学生分组讨论，尝试构造图形进行验证，并记录自己的观察结果。） （生：我们发现，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边确实也相等。） 归纳结论： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） （老师在黑板上画图并标注，引导学生理解这个定理。） 【设计意图】 通过学生的自主探索和验证，让他们更深入地理解等腰三角形的判定定理，培养几何直观能力。 2. 了解反证法 小明的想法： 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ （展示学生的推理过程）如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。假设 AB=AC，那么根据 “等边对等角” 定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C。“∠C=∠B” 与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC。 进一步举例： 要证明△ABC 中不可能有两个直角，也可以采用类似的证法。假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°” 与 “∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC 中不可能有两个直角。 引导学生思考： 上面两道题的证法有什么共同的特点呢？ （学生讨论后回答：都是先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立。） 归纳结论： 这种证明方法称为反证法。 【设计意图】 通过具体例子和学生讨论，让学生掌握反证法的基本思路和应用方法，提高逻辑推理能力。 三、运用新知，深化理解 例题 1 题目： 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD∥BC 且∠1=∠2。求证：AB=AC。 证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C。 ∴AB=AC（等角对等边）。 （老师详细讲解步骤，学生跟随老师的步骤在草稿纸上绘制图形并标记。） 教师引导： 在这一步骤中，我们要利用平行线的性质来得出角的关系，再结合已知条件推导出最终结论。请同学们在草稿纸上跟着绘制图形，标记角度。 例题 2 题目： 如图，BD 平分∠CBA，CD 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB=12，AC=18，求△AMN 的周长。 解： ∵BD 平分∠CBA，CD 平分∠ACB， ∴∠MBD=∠DBC, ∠NCD=∠BCD。 ∵MN∥BC, ∴∠MDB=∠DBC, ∠NDC=∠BCD。 ∴∠MDB=∠MBD, ∠NDC=∠NCD。 ∴MB=MD, NC=ND。 ∴C△AMN = AM + AN + MN = AM + AN + MD + ND = AM + AN + MB + NC =(AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC = 30。 （老师逐步讲解每一步的逻辑关系，强调平分线和线段比例的关系。） 教师引导： 在这个问题中，我们需要用到角平分线和平行线的性质来确定线段的关系，再计算△AMN 的周长。请同学们仔细观察图形，并理解每一步的推理过程。 例题 3 题目： 如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD = CE. 求证：△ABC 是等腰三角形。 解： ∵S△ABC = (AB・CE) / 2 = (AC・BD) / 2 且 BD = CE， ∴AB = AC。 ∴△ABC 是等腰三角形。 （老师详细讲解面积公式和等腰三角形的定义，帮助学生理解几何关系。） 教师引导： 这个问题涉及到了三角形面积的计算方法，通过面积公式我们可以得出边的关系，从而证明△ABC 是等腰三角形。请大家注意面积公式的应用和转化。 例题 4 题目： 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE 是等腰三角形。 证明： ∵AB = AC， ∴∠B = ∠C。 ∵DE∥BC， ∴∠B = ∠E，∠D = ∠C。 ∴∠D = ∠E。 ∴△ADE 是等腰三角形。 （老师讲解平行线的性质和等角对等边的定理。） 教师引导： 在这个问题中，我们利用了平行线和平等角的关系，通过等角对等边的定理来证明△ADE 是等腰三角形。请大家注意观察图形和推理过程。 例题 5 题目： 垂直于同一条直线的两条直线平行。 证明： 假设 a、b 不平行，那么 a、b 相交。 ∵a⊥c，b⊥c， ∴∠1 = 90°，∠2 = 90°。 ∴∠1 + ∠2 = 180°。 而 a、b 相交，则∠1 + ∠2 ≠ 180° 与∠1 + ∠2 = 180°相矛盾。 ∴假设不成立。 即：垂直于同一条直线的两条直线平行。 （老师通过具体例子帮助学生理解反证法的应用。） 教师引导： 通过反证法，我们可以证明某些几何命题。请同学们注意这种证明方法的应用，并理解它的逻辑性。 【教学说明】 学生在独立思考的基础上再进行小组交流，逐步培养他们应用知识解决问题的能力。 四、师生互动，课堂小结 结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系： 性质定理：在一个等腰三角形中，两条边相等，那么它们所对的角也相等。 判定定理：在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。 （生：性质定理是从等边得出等角，而判定定理是从等角得出等边。两者互为逆命题。） 五、布置作业 举例谈谈用反证法说理的基本思路。布置作业：教材 “习题 1.3” 中第 1、2、3 题。 课后作业 （1）请运用反证法证明以下命题：如果一个三角形的两边不相等，那么这两边所对的角也不相等。 （2）请根据等腰三角形的判定定理，绘制图形并证明：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 学科网（北京）股份有限公司 $$