2024-2025学年八年级数学下册第四章《因式分解》单元检测试卷（北师大版）

· 2024-2025学年八年级数学下册第四章《因式分解》 · 单元检测试卷（北师大版） 一、单选题 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解”是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式来进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果不是整式的乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、结果是整式的乘积的形式，是分解因式，符合题意； D、结果中含有分式，不是分解因式，不符合题意； 故选：C． 2．分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【详解】解： ， 的公因式是； 故选：B． 4．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 6．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7．如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 8．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，． ． ． ，，． ，． ． 故选：A 9．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解． 【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为， ∴即，， ∴， 故选：B． 10．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 二、填空题 11．分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 13．已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 14．已知实数满足，则 ． 【答案】8 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为8． 【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分解因式，掌握提取公因式法是解题关键． （1）直接提取公因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 17．若，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解本题的关键． 18．已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值． 【答案】2x2﹣2xy=28． 【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论． 【详解】∵x2﹣y2=12， ∴（x+y）（x﹣y）=12， ∵x+y=3①， ∴x﹣y=4②， ①+②得，2x=7， ∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键. 19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断； （2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】解：（1）∵28=82-62， ∴28是“神秘数”； ∵2012=5042-5022， ∴2012是“神秘数”； （2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下： （2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则 （2k+1）2-（2k-1）2=8k， 此数是8的倍数，但不是4的奇数倍， 由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 【点睛】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键． 20．观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 21．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可； （2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状． 【详解】（1） ； （2）是等腰三角形．理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键． 22．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 23．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【详解】（1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年八年级数学下册第四章《因式分解》 · 单元检测试卷（北师大版） 一、单选题 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式：（   ） A． B． C． D． 3．把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 4．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 7．如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 8．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 9．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．分解因式： . 12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 13．已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 14．已知实数满足，则 ． 15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)． 17．若，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 18．已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值． 19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 20．观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 21．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 22．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 23．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$